電機(jī)FOC控制基礎(chǔ)

經(jīng)常聽到別人提Clark變換，Park變換，F(xiàn)OC和SVPWM，最近研讀了很多非常棒的文章。

終于有點(diǎn)膚淺的認(rèn)識(shí)，本著一邊學(xué)一邊筆記的節(jié)奏，本文來(lái)鞏固下這些知識(shí)，也嘗試分享給有需要的不同背景的汽車人。

1 背景

本文采用永磁同步電機(jī)來(lái)介紹其控制方法，永磁同步電機(jī)的結(jié)構(gòu)：轉(zhuǎn)子為永磁體，定子為三相交流繞組。

一個(gè)典型的永磁同步電機(jī)的3相繞組在空間120°電角度布置，繞組里面分別通相位相差120°的三相交流電：

為什么需要通相位相差120°的三相交流電？為了產(chǎn)生一個(gè)幅值大小不變的圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。

source: http://www.ece.umn.edu/users/riaz/animations/abcvec.html

針對(duì)上圖：設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)，就必須要產(chǎn)生這樣的磁動(dòng)勢(shì)，即通相位相差120°的幅值不變的三相交流電，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)幅值大小不變的圓形旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，其大小正好為單相磁動(dòng)勢(shì)最大幅值的1.5倍，如下圖所示。注意觀察上圖！從PhaseA，B，C三圖可以看出，每相電流變化產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)弱也在變化，但它們合成旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)（右下圖Resultant）強(qiáng)弱的不變，其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相同。也可以從空間矢量角度來(lái)看它們的變化(右下圖Space vectors)。

從上圖不難發(fā)現(xiàn)，如果調(diào)節(jié)三相交流電幅值，相應(yīng)地，合成的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)幅值也隨之變化，當(dāng)然其大小仍為單相磁動(dòng)勢(shì)最大幅值的1.5倍，見下圖。

source：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45757542

磁動(dòng)勢(shì)變化意味著什么呢？電機(jī)轉(zhuǎn)矩的變化，這樣我們需要找到三相交流電與電機(jī)轉(zhuǎn)矩的關(guān)系。直接找它們兩者的關(guān)系可能比較復(fù)雜，在控制實(shí)施有難度。那么是否有什么方法可以先做一些處理？注意三相交流電通定子線圈，定子線圈是靜止的，但線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)是與轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互作用，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)，線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)也在同步轉(zhuǎn)。通過這些信息，是否能夠找到一些提示？

2 Clark和Park變換

對(duì)于三相交流電，我們是否可以把它整成兩相？就好比我們看一個(gè)三維的問題，我總是傾向于轉(zhuǎn)化到二維去解決。三相交流電相互間相位相差120°，那我們是否可以構(gòu)建一個(gè)坐標(biāo)系α-β，使用它來(lái)表示三相交流電，如下所示：

也就是把Ia，Ib，Ic投影到該坐標(biāo)系α-β，不難得到變換公式：

寫成矩陣形式如下：

這就是Clark變換。在上述矩陣前通常會(huì)添加系數(shù) 2/3或 是sqrt(2/3),分別代表等幅值變換與等功率變換。通過Clark變換，使得原先的三相交流電轉(zhuǎn)換成兩相正弦電流。

注釋：Clark變換前的三相交流電

注釋：Clark變換后的兩相正弦電流

若此時(shí)轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子永磁體與坐標(biāo)系α-β有何干系呢？相當(dāng)于轉(zhuǎn)子永磁體在坐標(biāo)系α-β以轉(zhuǎn)速ω轉(zhuǎn)動(dòng)。如果建立一個(gè)坐標(biāo)系d-q，d軸和磁鐵NS線完全重合，并且正方向是N極方向；而q軸，相切于NS線，正方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。如下所示：

那么將坐標(biāo)系α-β投射到這個(gè)坐標(biāo)系d-q，由于轉(zhuǎn)子相對(duì)定子以轉(zhuǎn)速ω旋轉(zhuǎn)，即兩個(gè)坐標(biāo)系存在一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度θ（θ=ωt）,它們的關(guān)系如下所示：

其實(shí)從坐標(biāo)系α-β到坐標(biāo)系d-q的這個(gè)變換就是Park變換。將兩相正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)化為兩相的直流信號(hào)。

注釋：Park變換后的兩相直流電

上述的坐標(biāo)系d-q為什么這樣建立? 原因是通過Park變換到Id，Iq，此時(shí)d軸方向沒有切割磁感線，所以電流Id并不會(huì)產(chǎn)生洛倫茲力；而q軸方向就能切割磁感線，從而電流Iq就能產(chǎn)生洛倫茲力。

以上結(jié)合Clark變換和Park變換，就可以將一個(gè)三相交流電轉(zhuǎn)化為兩相的直流電，如下所示：

3 SVPWM

3.1 SVPWM的輸入

對(duì)于要如何獲得目標(biāo)的電磁轉(zhuǎn)矩，這時(shí)只需需要合理地控制Id和Iq。因?yàn)楦鶕?jù)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程可知：

第1部分是由轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈和三相定子繞組磁鏈相互作用產(chǎn)生的；第2部分是由凸極效應(yīng)造成磁阻變化而產(chǎn)生的反應(yīng)轉(zhuǎn)矩?？梢钥闯?，因?yàn)檗D(zhuǎn)子永磁體磁鏈恒定不變，要調(diào)節(jié)永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，只需要調(diào)節(jié)Id和Iq。由坐標(biāo)系d-q的定義，Id沒切割磁感線，Iq切割磁感線，即電磁轉(zhuǎn)矩與Iq有關(guān)，控制Iq就行。

source：TI

令I(lǐng)d=0，根據(jù)目標(biāo)的電磁轉(zhuǎn)矩就可以確定目標(biāo)的Iq (Iq=T/pψm )。這樣可以得到電機(jī)的總體FOC控制框架：

到此，關(guān)鍵是黑盒部分的處理，通常會(huì)使用SVPWM來(lái)處理，為什么要使用SVPWM? 請(qǐng)參考：如何深入理解SVPWM？- 知乎 (zhihu.com)

SVPWM具體實(shí)現(xiàn)是什么功能呢？其實(shí)就是將Vα，Vβ轉(zhuǎn)化為Va，Vb，Vc。下面揭開黑盒部分，如下所示：

source：Mathworks

由上圖可知SVPWM的輸入Vα，Vβ如何獲取：

• 目標(biāo)的Id，Iq（深藍(lán)框）：令目標(biāo)的Id=0，根據(jù)電磁轉(zhuǎn)矩可得到目標(biāo)Iq；
• 實(shí)際的Id和Iq（綠色路徑）：通過傳感器采集到Ia, Ib, Ic, 經(jīng)過Clark變換到Iα，Iβ, 再經(jīng)過Park變換到Id，Iq；
• 有了目標(biāo)的和實(shí)際的Id，Iq，采用PI控制則可以得到目標(biāo)的Vd，Vq；
• Vd，Vq經(jīng)反Park變換到Vα，Vβ。

3.2 SVPWM的輸出

那SVPWM的輸出呢？這里需要先了解下逆變器的電路原理，逆變器就是把直流電轉(zhuǎn)換為交流電，采用3組半橋MOS電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，如下所示：

每組半橋MOS電路由兩個(gè)MOS管組成，上橋臂和下橋臂，中間引出一條輸出線。通過控制上下橋臂的通斷，就可以控制輸出，如下所示：

注釋：MOS管看成一個(gè)開關(guān)就行，其功能就是控制橋臂的通斷

當(dāng)上橋臂通，下橋臂斷時(shí)，輸出OUT接通電源；當(dāng)上橋臂斷，下橋臂通，輸出OUT接地；當(dāng)上、下橋臂都通，這個(gè)我們?cè)赟VPWM不使用。這樣一根輸出線與電機(jī)的一根相線相連，使用3組半橋MOS電路就完成了最基本的電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路。即通過逆變器的3組半橋MOS管電路上下橋臂的通斷控制來(lái)實(shí)現(xiàn)直流電轉(zhuǎn)化為三相交流電。

那控制MOS管的通斷，如何就實(shí)現(xiàn)了直流電變?nèi)嘟涣麟娔?？這里需要使用到PWM，PWM定義如下：

source：Mathworks

就是以一定頻率（即上圖的周期T）不斷改變PWM的占空比，比如上圖第一周期T控制占空比20%，能到20V的平均電壓，第2周期T控制占空比50%，能到50V的平均電壓，以此類推，只要頻率夠快，就可以利用PWM控制MOS管的通斷，從而產(chǎn)生近似正弦電流，如下所示：

通過上面的分析可知，通過SVPWM算法得到3組PWM，分別控制3組半橋MOS電路就行。這樣我們就明確了SVPWM的輸入和輸出，接下來(lái)我們來(lái)了解SWPWM具體是什么

3.3 SVPWM是什么

SVPWM總體邏輯如下示意：

1. 根據(jù)反Park變換得到Vα，Vβ，這兩個(gè)矢量可以在坐標(biāo)系α-β合成矢量Vref；
2. 通過控制逆變器的3組半橋MOS電路可以構(gòu)建6個(gè)基本電壓矢量和2個(gè)零電壓矢量；
3. 用這8個(gè)電壓矢量中的幾個(gè)可以合成任意矢量，比如Vref，那意味著可以建立Vα，Vβ和幾個(gè)電壓矢量的關(guān)系；
4. 8個(gè)電壓矢量均與Va，Vb，Vc有關(guān)系的，這樣就能夠建立起Vα，Vβ與Va，Vb，Vc的關(guān)系。當(dāng)然如上面SVPWM的輸出所言，Vα，Vβ與Va，Vb，Vc的關(guān)系其實(shí)通過Vα，Vβ與施加給a, b, c三相電對(duì)應(yīng)的半橋MOS電路的PWM來(lái)體現(xiàn)。

接下來(lái)就介紹下整個(gè)邏輯的實(shí)現(xiàn)過程，首先構(gòu)建電壓矢量。這里以下圖所示的半橋MOS電路狀態(tài)來(lái)分析，a組的上橋臂通，b, c組的下橋臂通，此時(shí)等效電路如下右上圖。通過電路分析可得三相電壓與電源電壓的關(guān)系，考慮三相繞組在空間中的分布，將它們表示在一個(gè)六等分的圓內(nèi)，如右下圖，接著矢量合成，不難得到合成的電壓矢量大?。╒dc）和方向(-->A)。

source：Mathworks

接著使用相同方法，分別對(duì)不同半橋MOS電路狀態(tài)進(jìn)行分析，可得另外的7個(gè)電壓矢量，我們半橋MOS電路的a, b, c上橋臂全通或下橋臂全通構(gòu)建的2個(gè)電壓矢量稱為零矢量，其他6組稱為基本矢量。如下圖所示：

source：Mathworks

同時(shí)為了方便快速記憶空間矢量對(duì)應(yīng)的半橋MOS電路狀態(tài)，我們采用下面的命名方式：1表示上橋臂通，下橋臂斷；而0表示上橋臂斷，下橋臂通；并且V的下標(biāo)，由三組半橋MOS電路的狀態(tài)（1/0）構(gòu)建3位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制來(lái)表示，比如100表示a組的上橋臂通，下橋臂斷，b,c組的上橋臂斷，下橋臂通，二進(jìn)制100轉(zhuǎn)成十進(jìn)制為4，即V的下標(biāo)是4，即V4, 以此類推，如下所示：

我們把兩個(gè)相鄰基本電壓矢量之間形成的空間稱為扇區(qū)，因此有6個(gè)扇區(qū)。以上就構(gòu)建好了電壓矢量，接下來(lái)就可以利用它們作為基向量來(lái)合成任意矢量，那么如何用這些矢量來(lái)合成Vref？取決于Vref在哪個(gè)扇區(qū)。

當(dāng)然不管Vref在哪個(gè)扇區(qū)，采用的方法都是選擇該扇區(qū)相鄰兩個(gè)基本電壓矢量以及零矢量，按照伏秒平衡原則來(lái)合成該扇區(qū)內(nèi)的任意電壓矢量，即：

注釋：資料引用出處不統(tǒng)一，本文中V和U等價(jià)，均表示電壓，文字均采用V來(lái)書寫。

假設(shè)V確定了一個(gè)PWM周期T內(nèi)，V4, V6, V0, V7 運(yùn)行時(shí)間，但它們運(yùn)行的順序呢？，現(xiàn)在的關(guān)鍵是一個(gè)PWM周期T內(nèi)，V4, V6, V0, V7分別要運(yùn)行多長(zhǎng)時(shí)間?

根據(jù)伏秒平衡原則有: Vref = (T4/T)V4+ (T6/T)V6+ (T-T4-T6/T)(V0&V7),如下所示：

將 Uref投影分解到 U4 和 U6 的方向，由正弦定理有：

由此我們可知：T4, T6, T0, T7 的值取決于Vref，Vdc和θ的值，其中Vdc和θ均可通過傳感器實(shí)時(shí)獲取，可看成是已知量，所以關(guān)鍵在Vref，而前面我們提到可以用Vref可以用Vα, Vβ來(lái)合成。這樣通過Vref，就是可以建立T4, T6, T0, T7與Vα, Vβ關(guān)系，根據(jù)如下分析：

可得：

這樣我們可以根據(jù)Vα, Vβ（SVPWM的輸入）和 Vdc求得T4, T6, T0, T7。以上我們是以Vref在扇區(qū)I為例，為了在其他扇區(qū)中重復(fù)利用在上述結(jié)論并簡(jiǎn)化表達(dá)式，我們可以定義三個(gè)變量：

這樣我們就可以得到每個(gè)扇區(qū)的時(shí)間，如下所示：

這樣就確定了一個(gè)PWM周期T內(nèi)，U4, U6, U0, U7 運(yùn)行時(shí)間，但它們運(yùn)行的順序呢？理論上任何順序都可以，但是實(shí)際中需要考慮更多限制，比如MOS管存在開關(guān)損耗，因此希望能盡量減少M(fèi)OS管的開關(guān)次數(shù)，那么以這個(gè)為目的來(lái)設(shè)計(jì)其順序，如下所示：

注意觀察執(zhí)行順序的設(shè)計(jì)，每次只改變一組半橋MOS電路狀態(tài)，而且從000開始，結(jié)束又回到000，也就是每個(gè)PWM周期結(jié)束又可以回到初始狀態(tài)，絲毫不會(huì)影響下一個(gè)PWM周期的執(zhí)行順序。而且通過在合理的位置插入兩個(gè)零矢量，對(duì)其在時(shí)間上進(jìn)行了平均分配，這樣產(chǎn)生的PWM對(duì)稱，可以有效地降低PWM的諧波分量。采用相同的方法，不難得到6個(gè)扇區(qū)的開關(guān)時(shí)序，如下所示：

當(dāng)然上述對(duì)于Vref的合成，需要先知道 Vref在哪個(gè)扇區(qū)，具體怎么判斷？ 不難聯(lián)想到高中所學(xué)過的線性規(guī)劃把V1V6, V3V4, V2V5看成三條直線，用α，β表示這三條直線方程，那么有：

• 直線V3V4: β = 0,
• 直線V2V5: β = -sqrt(3)*α，
• 直線V1V6: β = sqrt(3)*α

為了方便判斷Vref在哪個(gè)扇區(qū)，由三條直線方程，令

• X = β,
• Y = sqrt(3)*α + β,
• Z = sqrt(3)*α - β,

從而可以將Vref坐標(biāo)(α，β)代入X, Y, Z，根據(jù)X,Y,Z值的正負(fù)情況就可以判斷Vref的位置。以Vref在扇區(qū)1為例，不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)X, Z來(lái)判斷，顯然X需要大于0，Z也需要大于0，如下所示：

使用相同的方法，可以得到其他扇區(qū)的判斷條件：

到此，基本介紹完了SVPWM，內(nèi)容還是非常多，不過把握好整體邏輯，還是不難理解。如果你已經(jīng)認(rèn)真地看到此處，可跳到文章最后看看a, b, c 3組PWM執(zhí)行是如何實(shí)現(xiàn)的。回顧SVPWM整個(gè)邏輯：

• 控制3組半橋MOS電路狀態(tài) --> 構(gòu)建6個(gè)基本電壓矢量和2個(gè)零矢量；
• 利用基本電壓矢量和零矢量作為基矢量可合成任意矢量，且根據(jù)伏秒平衡原則可得到各基矢量的作用時(shí)間；
• 根據(jù)基矢量（V0~V7)--> Vref <-- Vα，Vβ，可知用Vα，Vβ，Vdc表示各基矢量的作用時(shí)間；
• 將幾個(gè)基矢量的作用時(shí)間合理排序，得到作用于a，b，c 3組半橋MOS電路的占空比（PWM）。

4 總結(jié)

上文就介紹完了FOC控制方法的關(guān)鍵知識(shí)，掌握好了這些知識(shí)，那么就能把握FOC控制方法的整體邏輯，讀懂FOC控制方法的代碼或者模型，最后借助下圖在腦海串聯(lián)這些知識(shí)。

5 彩蛋

基于SVPWM排序之后得到PWM波形，有個(gè)問題：從000到100，怎么判斷執(zhí)行切換？從圖看是過了T0/2時(shí)間就執(zhí)行，但是怎么知道的？其原理是怎樣的？

接下來(lái)我們就要解釋這個(gè)問題，首先定義三個(gè)時(shí)間變量Ta，Tb，Tc：

將這三個(gè)時(shí)間變量與一個(gè)三角波比較后算法就能精確的在指定的時(shí)間進(jìn)行切換，但是這個(gè)三角波需要是一個(gè)等腰直角三角形，即高是底邊的一半，高代表半個(gè)PWM周期，即Ts/2。自然地，底就是1個(gè)PWM周期，即Ts。

接下來(lái)結(jié)合下圖理解下這三個(gè)時(shí)間變量與一個(gè)三角波比較實(shí)現(xiàn)切換的原理。

• 當(dāng)三角波發(fā)生器開始產(chǎn)生，經(jīng)過t=T0/2時(shí)間，即Ta，下一刻意味著t>Ta，那么在t=Ta時(shí)刻開始從000切換到100，即a組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 隨著時(shí)間t=Tb，下一刻意味著t>Tb，那么在t=Tb時(shí)刻開始從100切換到110，即b組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 以此邏輯，在t=Tc時(shí)刻開始從110切換到111，即c組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 最終經(jīng)過t=Ts/2時(shí)間，三角波到達(dá)其頂點(diǎn)。

當(dāng)三角波到達(dá)其頂點(diǎn)，接下來(lái)從頂點(diǎn)減小到0。不難理解，將會(huì)在t=Ts-Tc，從111切換到110；lt=Ts-Tb，從110切換到100；t=Ts-Ta，從100切換到100，所以通過整個(gè)過程的比較分析，就可明白三個(gè)時(shí)間變量與一個(gè)三角波比較實(shí)現(xiàn)切換的原理，如下所示：

本文到此結(jié)束，預(yù)告下篇文章將結(jié)合電機(jī)map介紹完整的電機(jī)控制方法。