RC濾波器的截止頻率的推導(dǎo)

吃火鍋的時(shí)候，圓滾滾的魚丸不好用筷子夾到，我會(huì)用漏勺把魚丸撈出來，讓火鍋湯底漏出去，這個(gè)漏勺就相當(dāng)于一個(gè)濾波器。

濾波器的分類

電子領(lǐng)域的濾波器，可以“過濾掉”我們不需要的某個(gè)頻率的波形。按內(nèi)部是否有電源和有源器件，可以分為：

有源濾波器：一般由集成運(yùn)放和RC網(wǎng)絡(luò)組成，由電源向集成運(yùn)放提供能量。除了濾除波形以外，還能夠放大特定頻率的波形。

無(wú)源濾波器：一般由電容、電感、電阻等無(wú)源元件構(gòu)成，不具備波形放大能力，只能維持或減小輸入信號(hào)的幅度。

按幅頻特性：

低通濾波器(Low Pass Filter) ：通低頻阻高頻

高通濾波器(High Pass Filter) ：通高頻阻低頻

帶通濾波器(Band Pass Filter) ：通中頻阻高、低頻

帶阻濾波器(Band Elimination Filter) ：通高、低頻阻中頻

RC低通濾波器

使用電阻和電容可以組成無(wú)源低通濾波器與無(wú)源高通濾波器。如下圖

將電阻串聯(lián)在信號(hào)路徑中，將電容與負(fù)載并聯(lián)，就可以形成低通濾波器。低通濾波器用電容將高頻信號(hào)接到“地”上，來濾除高頻信號(hào);高通濾波器用電容自身“通高頻阻低頻”的特性，濾除低頻信號(hào)。我們本節(jié)主要討論低通濾波器。

電容在不同的頻率下有不同的阻抗。由于負(fù)載與電容是并聯(lián)關(guān)系，電容上的電壓，其實(shí)就是輸出電壓。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率較低時(shí)，相比于電阻，電容的阻抗很大，大部分的電壓都在電容上;當(dāng)輸入信號(hào)的頻率較高時(shí)，相比于電阻，電容的阻抗很小，大部分的電壓都在電阻上，電容上的電壓很小，這就是所謂的“通低頻阻高頻”。

RC濾波器的截止頻率的推導(dǎo)

隨著頻率的增加，低通濾波器對(duì)信號(hào)的阻礙作用越來越明顯。但是低頻與高頻之間沒有明顯的界限。如何定義濾波器開始阻塞信號(hào)的頻率呢?實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候，常用到截止頻率fc

截止頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)功率降低3dB的頻率。因此，截止頻率也稱為-3 dB頻率。在截止頻率時(shí)，輸出電壓幅值變?yōu)樵瓉淼?.707(1/√2)倍。由于功率跟電壓的平方成正比，所以功率變?yōu)樵瓉淼?/2。

截止頻率的計(jì)算公式如下：

截止頻率可以由分壓公式推導(dǎo)出來。不難看出下圖左側(cè)的電壓關(guān)系：

然后用電容替換R2，電容的容抗表示為Xc，變成上圖右側(cè)的情況。根據(jù)電容的自身特點(diǎn)，容抗可以計(jì)算出來：

電阻與電容串聯(lián)的總阻抗為

假設(shè)在頻率為fc的時(shí)候，Vout值變?yōu)閂in的0.707(1/√2)倍。

求解上式可得截止頻率的計(jì)算公式。

濾除噪聲能力觀察

使用100歐姆電阻與100uF的電容組成RC濾波器，截止頻率為15.915Hz。設(shè)置波形發(fā)生器，發(fā)出1KHz，5V的噪聲，可以看到電路對(duì)噪聲的濾除能力：