基于Buck變換器的大小信號模型

幾個網(wǎng)紅問題

之前的文章介紹了Buck在模擬控制中，常見的PWM調制與對應的控制方式：

談及控制必有環(huán)路，而提到環(huán)路則會條件反射想到小信號建模。 《模擬電子技術》就曾詳細介紹三極管/ MOSFET組成的放大電路其大小信號分析，對以Buck為代表的開關電源來說同理，有小信號模型也必然有大信號模型，那么：

筆者曾在大四研一入門建模的階段被這些問題困擾，本文想繼續(xù)圍繞模擬控制的Buck電路，不引入任何公式，以綜述性質討論它們的答案。

大信號與小信號的關系

觀察一條曲線函數(shù)f(x)，位于該曲線上有一點(X0,Y0)，可在該點求取微分作切線，從而實現(xiàn)局部的線性化，得到一條在X0處附近，小擾動范圍內和原先曲線等效的直線。

實際的開關變換器系統(tǒng)，包含多個狀態(tài)變量和輸入輸出，遠比一元函數(shù)復雜，但穩(wěn)態(tài)工作點和大小信號的內涵是類似的。 一元函數(shù)曲線上每個點相當于每個穩(wěn)態(tài)工作點，x在曲線上大幅移動相當于跨越多個穩(wěn)態(tài)工作點的變工作點過程，而x停在X0處附近作小信號擾動，從而局部線性化，恰相當于在某個穩(wěn)態(tài)工作點附近注入小信號擾動的輸入，從而求取對應輸出的，線性化的小信號模型。

由此回答 問題1和2 ，按某穩(wěn)態(tài)工作點局部線性化得到的小信號模型設計的環(huán)路，嚴格來說只能適用于該穩(wěn)態(tài)工作點附近的穩(wěn)定性與動態(tài)分析，并不能用于電路有大幅波動，使得工作點偏離從而連續(xù)跨越多個穩(wěn)態(tài)工作點的情況 ，如大擺幅動態(tài)，零狀態(tài)啟機等工況，主要原因在于不同工作點的小信號模型可能完全不同，使用同一套控制環(huán)路參數(shù)，可能導致部分工作點附近的動態(tài)表現(xiàn)遠不及預期，甚至不穩(wěn)定而發(fā)散。 這些情況應當使用大信號模型處理。

然而，為了避免處理大信號這樣的非線性系統(tǒng)， 實際工程中只要參數(shù)設計得合理，負反饋控制系統(tǒng)本身就有一定的“魯棒性”，且功率主電路的非線性并不十分強烈，使用同一套環(huán)路參數(shù)穿越多個工作點往往也是可行的，雖然一定不是最優(yōu)的。

開關變換器的模型特點

針對我們最熟悉的線性時不變(LTI)系統(tǒng)，經典控制理論基于拉氏變換和頻率特性傳遞函數(shù)的形式，提供了大量的分析工具，如波特圖和穩(wěn)定裕量判據(jù)等。 開關變換器是非線性，時變，高階，離散，病態(tài)的系統(tǒng)，尤其非線性和時變這兩大特點，阻礙了經典控制理論模型的建立和使用，必須找到辦法逐一解決。

傳統(tǒng)平均模型及其缺陷

如下展示了傳統(tǒng)的開關平均模型求取大信號模型和小信號模型手法及對應關系。

以Buck為例，為了把主電路中非線性的開關網(wǎng)絡直接平均化，會要求滿足“低頻”假設和“小紋波”假設。 電路中看不到開關頻率及諧波及其邊頻帶的任何信息，從而移除開關動作造成的非線性影響。

這種平均思想的代價也是顯而易見的：線性化后的頻率特性無法反應高頻（開關頻率附近）的特征。 由于環(huán)路的帶寬遠離開關頻率，設計者對高頻特性并不關心，這種假設是完全可以接受的。

需要注意，Buck類型的變換器，包含的非線性開關網(wǎng)絡是最容易平均簡化為線性模型的，也導致了Buck類平均模型導出的小信號模型與穩(wěn)態(tài)工作點無關，其他拓撲勢必會更加復雜。

上述均是針對功率主電路中的非線性開關網(wǎng)絡的，并未包含PWM調制器的處理。 除非是一個完全由方波發(fā)生器產生PWM而開環(huán)運行，一個閉環(huán)控制的環(huán)路必包含PWM調制器的模型。

下圖描述了“基于平均值的比較行為”的PWM調制器，這種最基本的調制方式可直接對應到單電壓環(huán)模式/平均電流模式。 圖中紅色信號verr為補償器的輸出作為調制波，藍色信號為開關頻率的載波vsaw。

當調制波verr緩慢變化（頻率較低）時，PWM調制器被建模為一個純比例環(huán)節(jié)是完全合理的。 該環(huán)節(jié)配合主電路的平均模型，結合補償器，一起組成了傳統(tǒng)平均法完整的閉環(huán)環(huán)路。

然而，當調制波verr快速變化（頻率較高）時，PWM調制器的輸出與調制波輸入的時刻相關，系統(tǒng)是時變系統(tǒng)，難以用傳遞函數(shù)描述。

為了方便推導小信號模型，假設調制波verr近似為低頻信號，故而PWM調制器和整個系統(tǒng)可當作時不變系統(tǒng)處理，這便是平均模型成立的 “時不變”假設 。

需要注意， “時不變”假設是閉環(huán)環(huán)路進一步限制傳統(tǒng)平均模型的有效頻率范圍的核心因素 ，相比非線性的開關網(wǎng)絡，它會在更低的頻率處體現(xiàn)出平均模型的失準。

由此回答 問題3 ，當實測頻率特性時，注入的擾動輸入頻率較高時，PWM調制器的時變特性會導致依據(jù)傳統(tǒng)平均模型求得的小信號模型，在fsw以內并不高的頻率處開始，Phase曲線和實際相比已經失準，導致環(huán)路的設計只能被限制在相對低頻的位置。

因此，使用傳統(tǒng)平均模型指導環(huán)路設計時，穿越頻率一般被限制在開關頻率的約1/10~1/5處。 另一方面，實際的開關變換器系統(tǒng)環(huán)路很多是類二階系統(tǒng)，這個位置的帶寬設計也是幫助實現(xiàn)充足相位裕量的權衡之舉。

若找到適用于時變系統(tǒng)的建模方法，最后的小信號模型便可解除低頻有效的限制，如上圖中的“多頻率模型”。

同樣的，如果能找到突破“低頻”，“小紋波”，“小信號”三個假設的其他建模方法，自然可以提高建模的精確度。 下一節(jié)將將要介紹這些多樣的建模方法。

解析法建模的分類和舉例

除了適用于計算機仿真的數(shù)值計算建模手法，回答問題4，從理論角度通過解析法建模主要有以下手段。

除了最經典的開關平均模型，最常見的應當是離散采樣迭代模型 ，離散模型遵循了PWM調制器作為采樣保持器的本質，不必拘泥于滿足平均模型的“低頻”“小紋波”“小信號”等所有假設，能 求解精準的大信號非線性動力學行為模型 ，并還原出1/2*fsw頻率處的小信號模型。 它和平均模型的轉換關系如下。

建模方法的發(fā)展歷史

選取部分被引量較高的、有代表性的建模方法，按時間線羅列如下。

選取具有較強主觀性，僅供參考，如有遺漏還請包涵

大信號穩(wěn)定性和小信號穩(wěn)定性

既然我們可以借助離散模型，建立精準的動力學行為模型，利用非線性系統(tǒng)的分析手段，勢必可以發(fā)現(xiàn)開關變換器更多的動態(tài)運行規(guī)律。

和線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義不同，非線性系統(tǒng)存在多個平衡態(tài)（包含平衡點或周期平衡態(tài)），其 穩(wěn)定性一般指平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性 （可進一步明確局部的范圍有多大），可用如下方法判斷：

• 平衡點：李雅普諾夫Lyapunov穩(wěn)定性
• 周期平衡態(tài)：龐加萊Poincare穩(wěn)定性

回答 問題5 ， DC-DC開關變換器，其非線性的大信號模型，平衡點的局部穩(wěn)定性，類似于穩(wěn)態(tài)工作點，線性化后小信號模型的穩(wěn)定性，區(qū)別在于 非線性的大信號可以借助李雅普諾夫函數(shù)的構造進一步明確局部的范圍大小，而不僅僅是小信號模型中模糊的"附近"。

非線性系統(tǒng)的大信號 失去平衡態(tài)后，其動力學行為可用分岔與混沌理論進行解釋和預測 ，典型的分岔行為有：

• 霍普夫hoph分岔，不期望的周期平衡態(tài)，也就是“極限環(huán)”低頻振蕩
• 倍周期分岔，也就是次諧波振蕩

如下給出了發(fā)生低頻振蕩，和次諧波振蕩的波形實例。

在失穩(wěn)之前直到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，小信號模型依然有效，可以預測臨界穩(wěn)定的條件。

在失穩(wěn)之后，意味著不能穩(wěn)定在該穩(wěn)態(tài)工作點，小信號模型失效，在大信號上可能表現(xiàn)為低頻振蕩（霍普夫hoph分岔）或次諧波振蕩（倍周期分岔），以及其他更復雜的動力學行為。

通過對小信號模型臨界穩(wěn)定的具體特征進行識別，可以在一定程度上預測失穩(wěn)以后的行為。 但其充要條件必須嚴格來自于分岔與混沌理論的推導，極少文獻對此進行嚴格證明。

• 如下為小信號波特圖，預測Buck電壓模式控制中，低頻振蕩（霍普夫hoph分岔）臨界條件（Kp足夠大）的實例。

• 如下為小信號波特圖，預測Buck峰值電流控制中，次諧波振蕩（倍周期分岔）臨界條件（D=0.5）的實例。