如何精準計算出書里每張紙的厚度？

給你一本書，你能用普通的刻度尺，量出一張紙的厚度嗎？

答案是肯定的！我想讀者都已經想到了到了。謎底是，量出全書的厚度（如果書很薄，可以把相同的書疊幾本?。缓蟪匀珪埖膹垟?，即得每張紙的厚度。

以《辭海》縮印本（1980年8月版）為例，該書除封面外厚60毫米，全書共2256頁，計1128張紙，那么每張紙厚約

x=60/1128=0.0532（毫米）

上述方法可以用于類似的場合。

例如，為了測出細漆包線的直徑大小，可以采用繞線的辦法，在一根鉛筆上，緊密地繞上n圈，測量出這n圈漆包線在鉛筆上所占位置的長L，則該漆包線的直徑d，顯然應該滿足

然而，盡管很多人都懂得應該這樣去做，但并不一定所有的人都知道這樣做的科學原理。

仍以測量《辭?！返臅摓槔?，實際上我們很難找到書中哪一頁紙的厚度恰好等于0.0532毫米，所有1128張紙都有它們各自的厚度（單位：毫米）

a1，a2，a3，…，a1128

只是這1128個數的總和是一個常量，即

而0.0532毫米，則是這1128個數的平均值。現在需要證明的是：對于量x的n個觀測值a1，a2，…，an，它們的平均值

是所要測定的量x的最理想取值。式中求和符號表示從1累加到n。

事實上，最理想的取值x，應當使它與n個觀察值的差的總和為最小。但考慮到差（x-ai）（i=1，2，…，n）可能有正有負，如果直接把它們相加，勢必使某些差的值相抵消，影響了偏離的真實性，這顯然是不合理的。

于是，人們想到了用（x-ai）的2次方來替代相應的差。這樣一來，最理想的取值x應當使函數

取極小值。這是關于x的二次函數，易知當時y取極小。這就是為什么平均值可以看成是觀測量最理想取值的道理。

同樣的原理可以用于二維的情形，只是計算稍微復雜一些，我們將要得到的結果在數學上非常有名，叫作最小二乘法。它是德國數學家高斯于1795年創(chuàng)立的，那時他年僅18歲！現在假定我們觀察到n個經驗點：

（xi，yi），（x2，y2），…，（xn，yn）

如果我們認定這n個經驗點Mi（i=1，2，…，n）是對直線y=Ax+B上的點在觀測時的誤差。那么，這些經驗點Mi（xi，yi）與直線上相應點N（xi，Axi+B）之間的以下量

應當取極小值?！白钚《朔ā钡拿Q，大約就是由此而來！

函數y顯然可以寫成A的二次函數

時取極小值。整理得

同理，函數y又可以寫成B的二次函數，而當這一函數取極小值時，又得

這樣，由線性方程組

便可以確定參數A、B的值。從而得到一條最逼近n個經驗點Mi（i=1，2，…，n）的直線

y=Ax+B

最小二乘法在科學上有許多妙用。

下面是一個實例，數學工具幫助歷史學家解開了一個千古之謎！

傳說古日本有一個邪馬臺國。239年，邪馬臺國女王卑彌呼曾經派遣使臣前往當時魏國的京都洛陽，向魏明帝（曹操的孫子）進貢物品。魏明帝賜卑彌呼為“親魏倭王”，并賞給黃金、絲綢等大批物資。

這個歷史事件，在經歷了近兩千年的漫長歲月后，在人們的記憶中漸漸淡薄，連邪馬臺國位于日本島的何方也成了不解之謎！

東京大學有位歷史學教授平山朝治，不僅精通歷史，而且擅長數學。一天，平山教授正專心翻閱中國古籍史書《三國志》，突然一篇《魏志·倭》落入他的視野。文中記述了當時魏國使者前往倭國的實際行程。平山對邪馬臺國的奧秘發(fā)生了濃厚的興趣。他把文章細讀了一遍，見文中寫道：

“從郡至倭，循海岸水行，歷韓國，乍東乍南，到其北岸狗邪韓國，七千余里，始渡一海，千余里至對馬國?！帜隙梢缓Ｇв嗬铮烈淮髧?，……又渡一海，千余里至末盧國，……東南陸行五百里，到伊都國，……東南至奴國百里，……東行至不彌國百里，……南至投馬國，水行二十日，……南至邪馬壹國，女王之所都，……可七萬余戶。”

然而，當平山先生讀完全文時，原先熱乎乎的心，涼了半截！

原來《魏志·倭》中的“里”，是個謎中之謎！這種懷疑不能說沒有道理。古代的長度單位顯然是不同于今的。就好像《三國演義》里描寫劉備身高7.5尺，張飛身高8尺，關云長身高9尺。按現在換算，他們的高度堪稱世界之最。..。..。

又如《水滸》中矮得出奇的武大，書中寫他身高5尺，這在現在已是中等個兒，所以文中的“里”就更值得打個問號了！

不過，平山先生并沒有因此灰心喪氣。他從《魏志·倭》的字里行間的差異，分析出了伊都國應當是使者的大本營。又“對馬國”和“一大國”，被令人信服地判明就是現今的對馬島和壹歧島。這樣，平山就使自己的所有數據，有了一個可被信賴的參照點。從而使得他能夠運用科學的最小二乘法，找到了魏時的里與今天千米之間的函數關系

y=-9.90+0.0919x

由此判定，伊都國即當今日本國本州島的福崗縣。不過，接下去情況似乎有點不妙！因為最后推出邪馬臺國竟坐落在九州島的荒涼山區(qū)。這是不可思議的！連平山本人也懷疑這樣的結論！昔日有7萬戶的繁華國度，今天不可能荒無人跡！

經過反復研究，推測使者實際上走的并非是一條直線，而是一條弧線。經修正后，平山教授得出了以下結論：“古邪馬臺國中心，位于現日本國福岡縣的久留米。”

審核編輯 ：李倩