RC低通濾波電路的結(jié)構(gòu)和特性

1、濾波的含義

濾波是頻域范疇，它說的是不同頻率的信號經(jīng)過一個電路處理后，信號發(fā)生變化的問題，變化包含了原始信號幅值和相位的變化，濾波電路對信號的幅值做出的響應(yīng)稱為幅頻響應(yīng)，對信號相位做出的反應(yīng)稱為相頻響應(yīng)。每一個頻率的信號對應(yīng)在時域就是信號的充放電特性。

濾波通常借助動態(tài)器件如電感和電容，利用它們在不同頻率下阻抗變化，從而在其上面產(chǎn)生壓降，對我們需要去除的信號進(jìn)行衰減，從而達(dá)到濾波的效果。

我們知道電感和電容的阻抗特性其實(shí)就是儲能特性，儲能意味著時間特性，需要過程，這個過程是濾波特性的體現(xiàn)的一方面。

2、分析方法和工具

在s域，寫出回路的傳遞函數(shù)，根據(jù)波特圖進(jìn)行分析，傳遞函數(shù)是輸入和輸出的增益關(guān)系

為了同時分析相位和幅值引入虛數(shù)，并且在虛平面進(jìn)行分析，和頻率相關(guān)的電路阻值特性，我們用阻抗描述，通常包含實(shí)部與虛部，這個數(shù)學(xué)工具的引入，包含了幅值和相位信息的體現(xiàn)，簡化了分析難度。

角速度描述表示

注：

由于自然界正弦信號認(rèn)為是單一頻率的信號，是基礎(chǔ)信號，不可再分解，其它信號是以正弦為基礎(chǔ)的合成信號，所以，以下從電路輸入某個頻率的正弦信號開始分析。正弦信號輸入這些線性電路，達(dá)到穩(wěn)定后，輸出信號只會發(fā)生幅值和相位的改變，不改變信號的頻率。

3、RC低通濾波電路結(jié)構(gòu)和特性

（1）RC濾波電路，圖中包含了這個電路的傳遞函數(shù)G(s)表達(dá)式

RC濾波電路

從傳遞函數(shù)解出一個稱作為極點(diǎn)的根，即令傳遞函數(shù)的分母為零，最后得出一個頻率，由于這個頻率從波特圖上看，曲線在這個點(diǎn)前后發(fā)生突變的現(xiàn)象，我們形象地將這個頻率稱為“轉(zhuǎn)折頻率”，轉(zhuǎn)折頻率意味著一個響應(yīng)發(fā)生“突變”的頻率點(diǎn)，轉(zhuǎn)折意味著響應(yīng)的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，前后會發(fā)生較大的變化。記住波特圖圖橫軸是頻率，代表著一系列不同頻率信號通過這個電路后，輸出會發(fā)生不一樣的變化，是一系列的信號，不是單一信號。轉(zhuǎn)折頻率代表了電路的固有特性，是電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的結(jié)果，是電路的固有屬性。

RC的轉(zhuǎn)折頻率

借助matalab工具進(jìn)行繪制響應(yīng)曲線，其它工具也可以，只要是自己熟悉的工具即可

下面我們對R和C賦值，R=100Ω，C1=100uF，得到轉(zhuǎn)折頻率f=15.915Hz

syms s R C % 定義符號參量

R=100; C=100*10^-6;% 給分子分母賦值

G(s)=1/(s*R*C+1);% 傳遞函數(shù)表達(dá)式

num=[0,1];% 分子系數(shù) den=[1/100,1];% 分母系數(shù)

G1=tf(num,den)% 得出傳遞函數(shù)

margin(G1)% 畫出增益和相位裕量圖

grid on;

% 得出傳遞函數(shù)為G(s)=1/(s/100 + 1)

RC的幅頻和相頻曲線

曲線說明

（1）直流增益，即低頻增益，在傳遞函數(shù)中令s=0，得到直流增益為1，轉(zhuǎn)換成dB剛好為0dB（0dB=20log1），這正是我們無源器件低通濾波器的特點(diǎn)，不能放大信號，在低頻段，電容容抗幾乎為無窮大，即電容為開路狀態(tài)，信號被原模原樣傳輸過來，這時候增益就是1，由于電容看做開路，那么阻性電路中，信號自然也不會產(chǎn)生任何相位偏移。

直流增益

（2）轉(zhuǎn)折頻率的地方，這個頻率的信號增益被衰減到原來的70.7%，也就是-3dB的地方，圖中為-2.99dB對應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率為15.9Hz，這是由于實(shí)際計(jì)算轉(zhuǎn)折頻率為15.915Hz，存在一點(diǎn)誤差。對相位來說，在這個頻率點(diǎn)，相位會偏移-45°，負(fù)號表示信號被滯后了，從時間看，也就是被延時了。但是對其它不同頻率信號在這個頻率點(diǎn)前后響應(yīng)出現(xiàn)較大的不同。之前看做不衰減也就是直流增益部分，之后信號被快速衰減，同時產(chǎn)生一定的相移。

（3）延時時間計(jì)算，也就是相位延遲和具體時間的對應(yīng)關(guān)系，方便我們理解相位和延遲之間的關(guān)系，延遲時間為：延遲時間=Kd*周期

延遲系數(shù)Kd，即在一個360°周期里延遲角度占有的比例，這里是45/360=1/8，也就是45°占有360°的1/8。

轉(zhuǎn)折頻率約為15.9Hz，即一個周期為62.89ms。

那么，輸入信號被延時時間為62.89ms*1/8=7.86ms，輸出信號晚來輸入信號7.86ms。

如下是對一個100Hz和200Hz信號進(jìn)行延時舉例，也說明了相位差和時間差之間的關(guān)聯(lián)，它們一一對應(yīng)（one to one）

相位延遲的含義表示

用TINA仿真進(jìn)行波形驗(yàn)證，借助仿真軟件驗(yàn)證你的結(jié)果，并且可以幫助你理解

RC仿真電路

相比于輸入信號Uin，穩(wěn)態(tài)后，電容電壓為輸出信號被滯后45°，并且幅度被衰減到70.7%，從下圖波形也可以看出。（穩(wěn)態(tài)后，電阻上電壓超前了45°，想象一下，這個電路測量對象不同，帶來了“高通”和“低通”的概念）

仿真波形

4、直接帶載后會發(fā)生什么？

如下圖，我們將R2放置在電路中，模擬一個負(fù)載

帶載的RC電路

我們再次借助MATLAB化簡方程

%zo輸出阻抗，是電容C1和電阻R2的并聯(lián)值 % z是電路總阻抗 % G(s)傳遞函數(shù)

syms R1 R2 C1

zo=R2/(s*C1*R2+1); z=R1+zo;

G(s)=zo/z; G1(s)=simplify(G(s))%化簡代數(shù)式

最后得出傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)=R2/(R1 + R2 + C1*R1*R2*s)

同時令傳遞函數(shù)的分母為零解出極點(diǎn)，如上圖，我們可以把它寫作為頻率的形式，這個頻率在波特圖中正好是轉(zhuǎn)折頻率，我們利用MATLAB進(jìn)行驗(yàn)證

帶載后RC電路的轉(zhuǎn)折頻率

轉(zhuǎn)折頻率處，輸出信號相比輸入信號，輸入信號的幅值被衰減到原來的70.7%，相位被滯后45°（圖中就是-45，符號表示信號相位被滯后）

下面我們對R1、R2和C1賦值，R1=100Ω、R2=20Ω，C1=100nF

syms R1 R2 C1 s

R1=100;R2=20;C1=100*10^-9;

zo=R2/(s*C1*R2+1); z=R1+zo;

G(s)=zo/z;

G1(s)=simplify(G(s))%化簡代數(shù)式

% G(s)=G1(s)=R2/(R1 + R2 + C1*R1*R2*s)

%得到傳遞函數(shù)表達(dá)式 G(s)=G1(s)=100000/(s+600000)

num=[0,100000]; den=[1,600000];

G1=tf(num,den)% 得到傳遞函數(shù)

margin(G1)

grid on;

最終得到幅頻和相頻特性圖

幅頻和相頻特性圖

（1）直流增益，也就是低頻下的增益，我們對傳遞函數(shù)頻率項(xiàng)s=0，那么就得到直流增益，這也是我們在做電源環(huán)路中分析中采取的方法得到直流增益。這里直流增益如下，也就是除去了時效性動態(tài)器件的影響，純阻性表現(xiàn)的特性，就是一個簡單的分壓電路。

直流增益

注：1/6剛好是-15.6dB，負(fù)分貝表示信號被衰減

（2）轉(zhuǎn)折頻率處，我們經(jīng)過簡單計(jì)算，得到轉(zhuǎn)折頻率為f=95.49kHz，如下圖，轉(zhuǎn)折頻率處信號衰減到原來的70.7%，即1/6*70%=0.1178，即為-18.6dB，波特圖中可以看出，同時相位被滯后45°（-45℃）。

這個電路，我們對并聯(lián)在C1上的R2取值為無限大，我們將R2取值無窮大后，只需要把傳遞函數(shù)簡單化簡后求極限，則電路重回到開頭的RC電路，傳遞函數(shù)和RC低通電路相同。

轉(zhuǎn)折頻率

注：負(fù)載的直接接入導(dǎo)致轉(zhuǎn)折頻率會向右移，即轉(zhuǎn)折頻率比單純的RC會偏高，若R2趨于∞，那么轉(zhuǎn)折頻率由95.49k變?yōu)?5.92k（用Excel快速計(jì)算一下）。

實(shí)際中濾波電路該怎么樣接負(fù)載

實(shí)際當(dāng)中，尤其是采樣電路，我們經(jīng)常會用到RC低通濾波，我們會采用輸入阻抗很大的運(yùn)放組成跟隨器。

在MCU中，采樣輸入端口往往也是阻抗很大，所以我們也可以直接用RC濾波進(jìn)行直接接入

高輸入阻抗端口，這些都是讓我們想要的信號幅值不發(fā)生衰減，而且?guī)缀醪划a(chǎn)生相移、設(shè)定的轉(zhuǎn)折頻率不發(fā)生偏移，信號能夠被正常采集。