反饋電路分析方法詳解

在反饋電路的分析中，如果前向放大倍數(shù)為Aopen，反饋系數(shù)為β，則閉環(huán)傳遞函數(shù)Aclose=Aopen/(1+Aopenβ)，其中Aopenβ為環(huán)路增益。 但是，在Aopen和β的計算中均要考慮負載效應，即反饋網(wǎng)絡會成為前饋放大器的負載，前饋放大器也會成為反饋電路的負載。 負載效應會使Aopen和β的計算變得復雜。 另外，在計算環(huán)路增益時，也要特別考慮應該在何處斷開反饋，使環(huán)路增益的計算更加準確。

本文介紹一種不需要斷開反饋環(huán)路的反饋分析方法——Bode 分析法。 此方法由H. W. Bode 在他的書Network Analysis and
Feedback Amplifier Design 中提出。

首先，我們觀察這樣一件事情。 在前饋放大器中肯定會有晶體管存在，也許在反饋網(wǎng)絡中也有晶體管(也有可能沒有)，如果將其中一個晶體管的小信號模型重點畫出，則其構成的反饋電路如圖1所示。 在圖1中，反饋電路被建模為一個二端口網(wǎng)絡，其中的壓控電流源就是其中的一個晶體管。 由于小信號模型是線性模型，因此vout與vin的關系可以寫為vout=Av,closevin，其中Av,close為閉環(huán)電壓增益。

圖1 反饋電路的二端口模型

2 Bode分析法

如果將晶體管的模型進行修改，將受控源修改為獨立源，則其構成的反饋電路如圖2所示。 此時，電路中的激勵除了vin之外還有i1，因此有

圖2 將晶體管模型替換為獨立源后的反饋電路二端口模型

其中，系數(shù)A、B、C和D可以由下面四個式子算出：

從上面的四個式子可以看出，系數(shù)A和C是在將晶體管電流強制置零時計算得出的，系數(shù)B和D是在輸入置零時得出的。 進一步分析可以得出，系數(shù)A代表電路的直接饋通增益，因為它是在將晶體管撤銷后的電路增益，這個增益主要是由于反饋網(wǎng)絡的直接饋通效應所引入的; 系數(shù)D與該晶體管的返回比(return
ratio)有關，因為它是輸入為0情況下晶體管柵源電壓v1與電流i1的比值，如果將v1乘上晶體管的跨導gm，則gmv1這個量代表柵源電壓v1應當使晶體管產(chǎn)生多大的漏源電流，猶如i1經(jīng)過反饋環(huán)路一圈后在原位置處又產(chǎn)生的電流大小，因此?gmv1/i1=–gmD可以理解為是“環(huán)路增益”(–gmD=環(huán)路增益是有條件的，稍后會通過例子說明) ，更準確的說法是該晶體管的return
ratio。

實際上i1并不是獨立源，而是受控源，其大小為i1=gmv1。 將i1=gmv1代入vout=Avin+Bi1和v1=Cvin+Di1，可以得到閉環(huán)增益的表達式

上式即為使用Bode分析法得出的閉環(huán)增益公式。 我們觀察上式可以得出如下結論：

(1)當gm=0時(gm=0代表將該晶體管撤掉)，vout/vin=A。 這更加直觀地說明了系數(shù)A代表電路的直接饋通增益。

(2)如果A=0，則vout/vin=gmBC/(1–gmD)，這個表達式十分類似于通過傳統(tǒng)的反饋分析方法得出的閉環(huán)增益表達式vout/vin=Aopen/(1+loop
gain)。 事實上，如果電路中只存在一種反饋機制，并且我們所選擇的晶體管處于反饋環(huán)路中，則gmBC就是開環(huán)增益，–gmD就是環(huán)路增益。 另外，閉環(huán)增益表達式vout/vin=Aopen/(1+loop
gain)實際上忽略了反饋網(wǎng)絡的前饋效應，即忽略了系數(shù)A。

例1.利用Bode分析法計算圖3所示電路的閉環(huán)電壓增益(1種反饋機制，M2在反饋環(huán)路中，M1不參與反饋)

圖3

該電路為兩級放大結構，第一級為source follower，第二級為CS
stage。第一級的電阻RS引入了電流-電壓反饋，M2在該反饋環(huán)路中，而M1在反饋環(huán)路外。我們首先選擇晶體管M1進行分析。將M1的小信號電流i1置零，電阻RD上的電流為0，因此vout=0，系數(shù)A為

借助source follower的增益公式，可以得到

將vin置零，可以得到

另外，M1的return ratio為

閉環(huán)電壓增益

如果選擇晶體管M2進行分析，則M2的電流i2置零時，流經(jīng)RS的電流為0，因此v1=0，id1=0，vout=0，則有

當vin置零時，有

M2的return ratio為

閉環(huán)電壓增益

通過以上計算，并對比選擇M1和選擇M2計算的結果，可以得到如下結論：

(1)盡管選擇不同晶體管計算得到的系數(shù)A~D可能不同，但是閉環(huán)增益的結果是相同的。

(2)不同晶體管的return
ratio可能不同，這是由于不同的晶體管可能引入不同的反饋，或者一些晶體管不參與反饋(如本例子中的M1)。當晶體管處于反饋環(huán)路中時，則該晶體管的return
ratio為該反饋環(huán)路的環(huán)路增益。如果某個晶體管的return
ratio=0，則該晶體管不參與反饋。本例子中M2引入電流-電壓反饋，將輸出電流iout反饋為電壓vf，與輸入電壓vin作差后得到電壓ve，如圖4所示。其中，前向放大倍數(shù)Aopen=iout/ve=gm2，反饋系數(shù)β=vf/iout=RS，因此環(huán)路增益loop
gain=Aopenβ=gm2RS，與M2的return ratio相等。

圖4 M2引入的電流-電壓反饋

例2.利用Bode分析法計算圖5所示電路的閉環(huán)增益(2種反饋機制，M1和M2處于不同反饋環(huán)路中)

圖5

該電路中，M1既參與局部的電流-電壓反饋(與前一個例子中的source
follower引入的反饋一樣)，又參與全局的電壓-電流反饋，同時處在兩個反饋環(huán)路中;而M2只參與全局的電壓-電流反饋。

如果選擇M1進行計算，當i1=0時，流經(jīng)電阻RS的電流為iin，可以得到A和C的值

將iin置零，可以得到B和D的值

M1的return ratio為

其中的gm1RS項與局部的電流-電壓反饋有關，gm1RSgm2RD項與全局的電壓-電流反饋有關。閉環(huán)增益為

選擇M2進行計算可以得到系數(shù)A~D的值為

M2的return ratio為

閉環(huán)增益為

3 Blackman 阻抗定理

借助之前Bode 分析法的思想，如果我們將輸出量定義為端口電壓vin，將輸入量定義為同一端口的電流iin，如圖6所示，則有

圖6 Blackman 阻抗定理推導所用的電路模型

這個端口的阻抗Zin=vin/iin，也可以看作是一種vin對于iin的“增益”，因此有

為了使上式變得更加直觀，我們定義開路環(huán)路增益(open-circuit loop gain，TOC)和短路環(huán)路增益(short-circuit
loop gain，TSC)兩個量。開路環(huán)路增益的定義為：當iin=0(端口開路)時，?gmv1/i1的值(回憶在第2節(jié)中，return
ratio=?gmv1/i1可以理解為是環(huán)路增益)，如圖7所示。由于iin=0，則有

由此可以得到開路環(huán)路增益

圖7 開路環(huán)路增益的計算

類似地，短路環(huán)路增益的定義為：當vin=0(端口短路)時，?gmv1/i1的值，如圖8所示。由于vin=0，則有

由此可以得到短路環(huán)路增益

圖8 短路環(huán)路增益的計算

結合Zin、TOC和TSC的表達式，可以得到Blackman 阻抗定理：

其中A是當晶體管被撤掉時的端口阻抗，即開環(huán)端口阻抗。因此要想計算端口阻抗，只需要計算A、TOC和TSC即可。另外，我們知道：

(1)當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電流-電壓反饋時，反饋網(wǎng)絡向輸入端反饋電壓信號，其與輸入端串聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open(1+T)，其中T為環(huán)路增益。

(2)當反饋類型為電壓-電流反饋或者電流-電流反饋時，反饋網(wǎng)絡向輸入端反饋電流信號，其與輸入端并聯(lián)，輸入阻抗Zin=Zin,open/(1+T)。

(3)當反饋類型為電壓-電壓反饋或者電壓-電流反饋時，反饋網(wǎng)絡檢測輸出端電壓信號，其與輸出端并聯(lián)，輸出阻抗Zout=Zout,open/(1+T)。

(4)當反饋類型為電流-電壓反饋或者電流-電流反饋時，反饋網(wǎng)絡檢測輸出端電流信號，其與輸出端串聯(lián)，輸出阻抗Zout=Zout,open(1+T)。

將這四個阻抗表達式與Blackman 阻抗定理相比較，可知：

(1)在計算輸入阻抗時，如果TOC=0，則反饋網(wǎng)絡只向輸入端反饋電壓信號，反饋網(wǎng)絡與輸入端純串聯(lián);如果TSC=0，則反饋網(wǎng)絡只向輸入端反饋電流信號，反饋網(wǎng)絡與輸入端純并聯(lián)。

(2)在計算輸出阻抗時，如果TSC=0，則反饋網(wǎng)絡只檢測輸出電壓信號，反饋網(wǎng)絡與輸入端純并聯(lián);如果TOC=0，則反饋網(wǎng)絡只檢測輸出電流信號，反饋網(wǎng)絡與輸入端純串聯(lián)。

(3)如果TOC和TSC均不為0，則既有電壓反饋，又有電流反饋。

4 漸進形式的閉環(huán)增益(Asymptotic Gain Form)

由第2節(jié)中推導得到的閉環(huán)增益表達式

再進行延伸。當gm=0時，vout/vin=A，因此將A記為H0。下標0代表其為gm=0時的閉環(huán)增益。當gm→∞時，vout/vin=A–BC/D，因此將A–BC/D記為H∞，下標∞代表其為gm→∞時的閉環(huán)增益。又有return
ratio的值T=–gmD，因此閉環(huán)增益可以表示為

因此得到閉環(huán)增益的漸進形式：

其中，H0的意義為直接饋通增益，H∞的意義為理想增益(即將放大器作虛短和虛斷處理后，得到的增益1/β)。忽略反饋網(wǎng)絡的直接饋通時(H0=0)，vout/vin=H∞T/(1+T)，這與我們所熟知的公式vout/vin=A/(1+T)=(1/β)×T/(1+T)十分符合。