數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)----邏輯函數(shù)的化簡方法

1邏輯函數(shù)的化簡方法

本文通過具體題目來總結(jié)邏輯函數(shù)的化簡方法：

總的來說包括兩大部分：公式化簡法和卡諾圖化簡法：

一、公式化簡法

①并項法：AB + AB'= A

例：

Y1=A(B'CD)'+AB'CD=A[(B'CD)'+B'CD]=A;
Y2=AB'+ACD+A'B'+A'CD=B'(A+A')+CD(A+A')=B' + CD;
Y3=A'BC' + AC' + B'C' = A'BC' + (A + B')C' = A'BC' + (A'B)'C' = C';
Y4=B(C'D+CD')+B(C'D'+CD)=B(C^D)+B(C^D)'=B;

這種方法本質(zhì)上是類似于合并同類項，將剩余部分構(gòu)造成A + A’的形式；其中Y3和Y4需要稍微注意一下。

[注]^代表的是異或，()'代表的是取非。

②吸收法：A + AB = A

例：

Y1=((A'B')'+C)ABD+AD=((A'B')'+C)BAD+AD=AD;
Y2=AB+ABC'+ABD+AB(C'+D')=AB+AB(C'+D+C'+D')=AB;
Y3=A+(A'(BC)')'(A'+(B'C'+D)')+BC=A+(A+BC)(A'+(B'C'+D)')+BC=A + BC;

其中，Y3中，化簡出(A + BC)后，將式子乘開，則后面每一項中要么含有A，要么含有BC，所以，可以直接使用吸收法得出最后結(jié)果。

吸收法的本質(zhì)類似于數(shù)學(xué)中的大小集合問題，畫個卡諾圖來解釋一下：

可以看到，A的范圍比AB要大，所以他們屬于一個包含關(guān)系，在A為真的情況下，則AB一定為真，故A + AB = A；

③消項法：AB + A'C + BC = AB + A'C ,AB + A'C + BCD = AB + A'C

例：

Y1=AC+AB'+(B+C)'=AC+AB'+B'C' = AC + B'C';
Y2=AB'CD'+(AB')'E+ A'CD'E = AB'CD' + (AB')'E;
Y3=A'B'C+ABC+ A'BD' + AB'D' + A'BCD' + BCD'E'
=C(A^B)'+D'(A^B)+CD'(B(A' + E')) = C(A^B)' + D'(A^B);

注意出題的時候，不一定按照常規(guī)的公式來出，有可能換著字母出題，讓人覺得不適應(yīng)。第一個公式和第二個公式之間，很明顯暗含了一個吸收法的公式，因為BC所表示的范圍要比BCD大，所以第一個公式成立的話，那么第二個公式一定成立。

④消因子法：A + A'B = A + B;

例：

Y1=B'+ABC=B'+AC;
Y2=AB'+ B + A'B = B + A + A'B = A + B;
Y3=AC+A'D+C'D=AC+(A'+C')D=AC+(AC)'D=AC+D;

⑤配項法：

1.根據(jù)基本公式：A + A = A；所以，邏輯函數(shù)中重復(fù)寫入某一項，有時能夠獲得更加簡單的化簡結(jié)果。

Y=A'BC'+A'BC+ABC;重復(fù)寫入A'BC
所以：Y =(A'BC'+A'BC)+(A'BC+ABC)=A'B+BC;

2.根據(jù)基本公式A + A'=1；所以，可以在函數(shù)式中的某一項乘以(A+A')，然后拆分成兩項分別與其他項合并，有時可以得到更加簡單的結(jié)果。

例：

Y = AB' + A'B + BC' + B'C
  = AB' + A'BC + A'BC' + BC' + AB'C + A'B'C
=(AB'+AB'C)+(BC'+A'BC')+(A'BC+A'B'C)
= AB' + BC' + A'C

二、卡諾圖化簡法

卡諾圖化簡比較直觀簡單，一般可以用于公式法化簡之后的驗證！

三、考研真題解析

（2017山東大學(xué)考研906）用公式化簡：F=AD+BCD'+(A'+B')C

【解析】

常規(guī)想法：

F = AD + BCD' + A'C + B'C
=AD+C(B' +BD')+A'c
=AD+C(B'+D')+A'C
=AD+C(A'+B'+D')
……

好像做不動了，怎么去解決這個問題呢？

用卡諾圖！

雖然題目中，明確規(guī)定使用公式法化簡，但是此處想不到用什么公式怎么辦，那就從卡諾圖入手，看看是否有突破口，然后反推公式法化簡。

卡諾圖如下：

可以得出最后的結(jié)果是：AD + C;

怎么由這個結(jié)果往回推呢？

首先：前面得到F = AD + BCD' + A'C + B'C

F=AD+BCD'+A'C+B'C //式子中已經(jīng)有AD，暫時不用處理

在卡諾圖中，除去AD的部分，再把其余表達式在卡諾圖中標出來，可以看到，剩余的部分無論怎樣都無法構(gòu)成C，少了一項ABCD：

所以，需要從AD（綠圈）中分出一部分來，即下圖中粗長方形圈的部分：

這便相當于在原有的表達式中添加了一項：ACD

即：

F = AD + BCD' + A'C + B'C
  = AD + ACD + BCD' + A'C + B'C
=AD+C(A'+ AD)+C(B'+BD')
=AD+C(A' + D) + C(B' +  D')
=AD+A'C+CD+B'C + CD'
=AD+C(D'+D)+A'C + B'C
= AD + C + A'C + B'C
= AD + C

【總結(jié)】

上題旨在分析添加某一項的思想。

添加某一項來幫助化簡，本身就是一個比較難想出來的過程；通過卡諾圖畫圖分析的形式，可以幫助我們理解為什么要添加某一項。并且，這樣做也可以在遇到困難的題目，實在解決不了時，當成一個急救的辦法。

審核編輯：湯梓紅