何為濾波？粒子濾波是怎么來的？

一、前言

粒子濾波（particle filter）是一種常見的濾波算法，廣泛應用于目標跟蹤、移動機器人等領域。網(wǎng)絡上有不少關于粒子濾波的資料，但大多是直接給出了粒子濾波的相關公式和證明，或較為直觀上的解釋。作者在學習粒子濾波的過程中對一些概念和操作時常感到突兀，后來發(fā)現(xiàn)想要完整了解粒子濾波，需要首先了解前因，逐漸深入才能理解粒子濾波，而不是直接學習粒子濾波這個方法。

本文將側(cè)重從“粒子濾波是怎么來的”這個問題介紹粒子濾波。限于篇幅與易懂性，對一些概念并沒有展開介紹，讀者在了解基本思路后可以根據(jù)給出的資料深入學習。本文包含了作者自己不嚴謹?shù)睦斫馀c闡述，如有疏漏，望批評指正。

二、對“濾波”的一些介紹

2.1 何為“濾波”？

貝葉斯濾波、卡爾曼濾波、粒子濾波……種種這些濾波方法，都涉及到了“濾波”這個詞。那么到底什么是濾波，不同的領域有不同的定義。比如在信號系統(tǒng)領域，濾波是指將信號中特定波段的頻率濾除的操作。而在移動機器人領域，我暫時沒有看到較為嚴格的定義。我認為可以姑且理解為：通過不斷地觀測，使得對目標狀態(tài)的估計變得更加準確。

2.2 貝葉斯濾波

卡爾曼濾波與粒子濾波都是基于貝葉斯濾波框架下的濾波算法。講粒子濾波便不得不提貝葉斯濾波。貝葉斯濾波的基本思想是根據(jù)上一時刻的狀態(tài)對當前狀態(tài)進行預測，并根據(jù)此時的觀測進行更新。基本算法是：



（圖片來源：《概率機器人》） 可以看出，在預測部分需要求一個積分，而這個積分往往很難求。所以顯有方法可以直接利用原始的貝葉斯進行處理。

2.3 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波也是非常龐大的一塊內(nèi)容，這里不展開介紹。只在這里說明，卡爾曼濾波是貝葉斯濾波在線性高斯系統(tǒng)下的一種濾波算法。而對于非線性系統(tǒng)，則衍生出來了擴展卡爾曼濾波。同時指出，無論是卡爾曼還是擴展卡爾曼濾波，都是參數(shù)化的濾波方法，對于無法用參數(shù)化進行表示的，則采用粒子濾波。粒子濾波是一種無參的濾波算法。

三、積分計算：從蒙特卡洛說起

3.1 分段近似法求積分

3.2 蒙特卡洛采樣求積分

（此處略過蒙特卡洛基本原理）

3.2.1 簡單的均勻采樣

求積分和求期望是相同的。假設我們對一個分布求取積分，采用最簡單的采樣方式——均勻采樣。我們求取在x滿足均勻分布u(x)時，f(x)在[a,b]的期望I。按照分布u(x)進行N次隨機采樣：

可以發(fā)現(xiàn)最后一項對f(x)的積分，就是x的期望。所以我們可以發(fā)現(xiàn)，當我們按照均勻分布u(x)對x進行大量采樣，計算對應的f(x)的平均值，就是f(x)的積分。

3.2.2 任意分布的采樣

下面我們研究，如果不是按照均勻分布u(x)采樣，而是任意分布p(x)進行采樣，結(jié)果如何。此時

依舊與原始的積分相同。所以我們得出了重要的結(jié)論：在蒙特卡洛時，我們可以按照任意分布進行采樣，再計算對應f(x)的積分。

這一點很好理解，如果我們選擇的分布p(x)就是真實的分布，那么我們從p(x)進行采樣，就和直接從真實分布進行采樣是一樣的，積分結(jié)果當然是沒有誤差的。這提醒我們，在選取p(x)分布時要盡可能的與實際分布接近，從而極大程度的降低方差，從而減少需要采樣的數(shù)量。

四、重要性采樣與序列重要性采樣

4.1 重要性采樣(Importance Sampling, IS)

4.2 序列重要性采樣(Sequential Importance Sampling, SIS)

4.3 重采樣(Resampling)

在實際過程中，我們發(fā)現(xiàn)利用權重更新公式進行更新時，在幾次迭代之后，權重的分布會極其不均勻，出現(xiàn)個別粒子權重很大接近于1，而其他的都接近于0的情況。這時候采用了一種“重采樣”策略，即每次權重更新之后，根據(jù)當前權重對所有粒子進行重采樣，之后將所有權重設定為相同。這樣我們用粒子的數(shù)量代替了粒子的權重，避免了權重的不均勻。

5. 粒子濾波(Particle Filter)

此時對權重更新公式進行變形（在不產(chǎn)生歧義情況下部分內(nèi)容用點省略）：

6. 總結(jié)

本文首先從濾波問題說起，指出了貝葉斯濾波框架下積分很難求的問題。由此引出蒙特卡洛方法。之后為了降低誤差、減少運算量和避免權重集中，對應出現(xiàn)了重要性采樣、序列重要性采樣與重采樣，順理成章的得出了粒子濾波的數(shù)學原理，之后給出了對應的物理模型。最后給出了簡單的粒子濾波的完整算法。





審核編輯：劉清