描述電磁場的麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組（英語：Maxwell's equations）是英國物理學(xué)家麥克斯韋在19世紀建立的描述電磁場的基本方程組。

它含有四個方程，不僅分別描述了電場和磁場的行為，描述了它們之間的關(guān)系。

在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經(jīng)成為一個不可分割的整體。

該方程組系統(tǒng)而完整地概括了電磁場的基本規(guī)律，并預(yù)言了電磁波的存在。

麥克斯韋提出的渦旋電場和位移電流假說的核心思想是：

變化的磁場可以激發(fā)渦旋電場，變化的電場可以激發(fā)渦旋磁場；

電場和磁場不是彼此孤立的，它們相互聯(lián)系、相互激發(fā)組成一個統(tǒng)一的電磁場

（也是電磁波的形成原理）。

麥克斯韋進一步將電場和磁場的所有規(guī)律綜合起來，建立了完整的電磁場理論體系。

這個電磁場理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。

麥克斯韋方程組，是英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋在19世紀建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。

從麥克斯韋方程組，可以推論出光波是電磁波。

麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。

從這些基礎(chǔ)方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技。

麥克斯韋1865年提出的最初形式的方程組由20個等式和20個變量組成。

他在1873年嘗試用四元數(shù)來表達，但未成功。

現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達的。

麥克斯韋方程組的地位

麥克斯韋方程組在電磁學(xué)中的地位，如同牛頓運動定律在力學(xué)中的地位一樣。

以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹立了這樣一種信念：

物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。

另外，這個理論被廣泛地應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域。

1845年，關(guān)于電磁現(xiàn)象的三個最基本的實驗定律：

庫侖定律（1785年）;

安培—畢奧—薩伐爾定律（1820年）;

法拉第定律（1831-1845年）已被總結(jié)出來;

法拉第的“電力線”和“磁力線”概念已發(fā)展成“電磁場概念”。

場概念的產(chǎn)生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當時物理學(xué)中一個偉大的創(chuàng)舉，因為正是場概念的出現(xiàn)，使當時許多物理學(xué)家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、安培—畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)分析方法帶進了電磁學(xué)的研究領(lǐng)域，由此導(dǎo)致麥克斯韋電磁理論的誕生。

麥克斯韋方程組的積分形式:

（1）描述了電場的性質(zhì)。

電荷是如何產(chǎn)生電場的高斯定理。

（靜電場的高斯定理）

電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

電場E （矢量）通過任一閉曲面的通量，即對該曲面的積分等于4π乘以該曲面所包圍的總電荷量。

靜電場（見電場）的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內(nèi)的總電量之間的關(guān)系。

根據(jù)庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，

通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數(shù)和與電常數(shù)之比。

電場強度對任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，與曲面內(nèi)電荷的分布情況無關(guān)，與封閉曲面外的電荷亦無關(guān)。

在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。

當存在介質(zhì)時,Σq應(yīng)理解為包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷和極化電荷的總和。

在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內(nèi)有凈余的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；

高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。

凡是有正電荷的地方，必有電力線發(fā)出；凡是有負電荷的地方，必有電力線會聚。

正電荷是電力線的源頭，負電荷是電力線的尾閭。

高斯定理是從庫侖定律直接導(dǎo)出的，它完全依賴于電荷間作用力的二次方反比律。

把高斯定理應(yīng)用于處在靜電平衡條件下的金屬導(dǎo)體，就得到導(dǎo)體內(nèi)部無凈電荷的結(jié)論，因而測定導(dǎo)體內(nèi)部是否有凈電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。

對于某些對稱分布的電場,如均勻帶電球的電場,無限大均勻帶電面的電場以及無限長均勻帶電圓柱的電場，可直接用高斯定理計算它們的電場強度。

電位移對任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。

（2）描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。

磁場是如何產(chǎn)生電場的法拉第電磁感應(yīng)定律。

（靜電場的環(huán)路定理）

在沒有自由電荷的空間，由變化磁場激發(fā)的渦旋電場的電場線是一系列的閉合曲線。

在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻。

麥克斯韋提出的渦旋電場的概念，揭示出變化的磁場可以在空間激發(fā)電場，并通過法拉第電磁感應(yīng)定律得出了二者的關(guān)系，上式表明，任何隨時間而變化的磁場，都是和渦旋電場聯(lián)系在一起的。

（3）描述了磁場的性質(zhì)。

論述了磁單極子的不存在的高斯磁定律

（穩(wěn)恒磁場的高斯定理）

在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。

這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

（4）描述了變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。

電流和變化的電場是怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。

（磁場的安培環(huán)路定理）

變化的電場產(chǎn)生的磁場和傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場相同，都是渦旋狀的場，磁感線是閉合線。因此，磁場的高斯定理仍適用。

在穩(wěn)恒磁場中，磁感強度H沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數(shù)和。

磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。

麥克斯韋提出的位移電流的概念，揭示出變化的電場可以在空間激發(fā)磁場，并通過全電流概念的引入，得到了一般形式下的安培環(huán)路定理在真空或介質(zhì)中的表示形式，上式表明，任何隨時間而變化的電場，都是和磁場聯(lián)系在一起的。

合體：

式中H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。

在采用其他單位制時,方程中有些項將出現(xiàn)一常數(shù)因子,如光速c等。

上面四個方程組成：

描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、

描述時變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律、

論述磁單極子不存在的高斯磁定律、

描述電流和時變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。

綜合上述可知，變化的電場和變化的磁場彼此不是孤立的，它們永遠密切地聯(lián)系在一起，相互激發(fā)，組成一個統(tǒng)一的電磁場的整體。

這就是麥克斯韋電磁場理論的基本概念。

麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關(guān)系。

麥克斯韋方程組微分形式：

式中J為電流密度,，ρ為電荷密度。

H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。

上圖分別表示為：

（1）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和；
（2）電場強度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；
（3）磁感強度的散度處處等于零 （磁通連續(xù)性原理） 。
（4）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。

在電磁場的實際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。

從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。

上面的微分形式分別表示：

（1）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。
（2）磁感強度的散度處處等于零 （磁通連續(xù)性原理） 。
（3）電場強度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；
（4）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和；

利用矢量分析方法，可得：

(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程有同樣的形式。
(2) 應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質(zhì)對電磁場的影響。
例如在各向同性介質(zhì)中，電磁場量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：
在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關(guān)系。
在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科學(xué)意義

經(jīng)典場論是19世紀后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實驗定律，并把它與力學(xué)模型進行類比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。

但麥克斯韋的主要功績恰恰是他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：

在物理上以"場"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運算符。

這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。

這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)的框架，只是由于當時的歷史條件，人們?nèi)匀恢荒軓呐ｎD的經(jīng)典數(shù)學(xué)和力學(xué)的框架去理解電磁場理論。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)，Hilbert空間中的數(shù)學(xué)分析是在19世紀與20世紀之交的時候才出現(xiàn)的。

而量子力學(xué)的物質(zhì)波的概念則在更晚的時候才被發(fā)現(xiàn)，特別是對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數(shù)理邏輯聯(lián)系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。

從麥克斯韋建立電磁場理論到現(xiàn)在，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數(shù)學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生,形式,內(nèi)容和它的歷史過程中可以看到：

第一，物理對象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達方式而被人類所掌握，所以科學(xué)的進步不會是在既定的前提下演進的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進步的標志。

第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無法認識到這個對象的"存在"。

第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實,這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來的困惑。

麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對稱性優(yōu)美，這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到充分的表達。

但是，我們一方面應(yīng)當承認，恰當?shù)臄?shù)學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗方法中看不到的整體性(電磁對稱性)，但另一方面，我們也不應(yīng)當忘記，這種對稱性的優(yōu)美是以數(shù)學(xué)形式反映出來的電磁場的統(tǒng)一本質(zhì)。

因此我們應(yīng)當認識到應(yīng)在數(shù)學(xué)的表達方式中"發(fā)現(xiàn)"或"看出" 了這種對稱性，而不是從物理數(shù)學(xué)公式中直接推演出這種本質(zhì)。

審核編輯：郭婷