均值與方差的測量

我們的感知就是測量。人通過視覺、聽覺、嗅覺、味覺乃至直覺感知這個(gè)世界的酸甜苦辣和世間冷暖。

測量是一種量化的感知，也經(jīng)常引申到度量，乃至測度。測量所用的方法、獲得數(shù)據(jù)的數(shù)量乃至分析方法構(gòu)成現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品系統(tǒng)中感知、決策、執(zhí)行三大行為中的一環(huán)。比如自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中車輛的行駛行為與常規(guī)車輛區(qū)別不大，但是基于毫米波雷達(dá)、光學(xué)攝像頭乃至激光雷達(dá)等對于周圍環(huán)境的測量及判別是ADAS系統(tǒng)中最困難的一環(huán)。

從高中物理試驗(yàn)開始，到大學(xué)的各種科研進(jìn)行的試驗(yàn)，有一個(gè)經(jīng)常使用的隱含規(guī)則：每組數(shù)據(jù)測量三次。小編突然發(fā)現(xiàn)好像似乎莫非這里面有一個(gè)挺有意思的問題，隱隱約約有一種科學(xué)發(fā)現(xiàn)的趕腳和三頓沒吃遇到豬腳飯的沖動(dòng)。

為了簡化問題，首先把測量分為：待測對象和測量系統(tǒng)（當(dāng)然我先找出了高中的概率論，畢竟算錯(cuò)的話得有個(gè)責(zé)任方）。方便討論就分別假設(shè)為電熱水器和溫度計(jì)。

由于電熱水器和溫度計(jì)由獨(dú)立廠家生產(chǎn)，再假設(shè)為質(zhì)量穩(wěn)定的產(chǎn)品。那么什么叫質(zhì)量穩(wěn)定產(chǎn)品呢？就是對于一個(gè)預(yù)設(shè)溫度（稱為真值TT），比如100攝氏度，電熱水器完成加熱后實(shí)際的溫度值為以真值為均值μ=TT，σ為方差的高斯分布。

簡單理解為如果熱水器做足夠多次同樣預(yù)設(shè)溫度的加熱，則所有加熱的均值為預(yù)設(shè)真值。

同樣對于熱水器單次加熱結(jié)果的的溫度測量，如果溫度計(jì)做足夠多次測量，則測量均值為當(dāng)時(shí)的加熱真值Tr，當(dāng)然此真值并非為預(yù)設(shè)真值TT。

Tr（熱水器）服從

類似 Tw（溫度計(jì)）服從

整理一下。實(shí)際上有兩個(gè)溫度值：熱水器加熱的溫度值，溫度計(jì)測量的溫度值。這兩個(gè)溫度值在熱水器不同次的加熱中，和同一次加熱的不同次測量中都各不相同。

為方便理解再次簡化：

Tr（熱水器）只有三個(gè)離散值（Tr1=TT-σ1，Tr2=TT，Tr3=TT+σ1），

Tw（溫度計(jì)）也只有三個(gè)離散值（Tw1=Tr-σ2，Tw2=Tr，Tw=Tr+σ2），

同時(shí)再次簡化假設(shè)，Tr與Tw三個(gè)離散值出現(xiàn)的概率都為（20%，60%，20%）

現(xiàn)在的問題是對于預(yù)設(shè)溫度TT=100℃，如果進(jìn)行三次試驗(yàn)，每次使用溫度計(jì)測量三次，我們獲得的溫度值等于預(yù)設(shè)值TT的概率是多少？

首先考慮Tw測量獲得Tr的概率，問題簡化為對于下述樣本的獨(dú)立抽樣：

Tw1， Tw2，Tw2，Tw2，Tw3

A：三次均為Tw2的概率，0.6*0.6*0.6=0.216

B：一次Tw1，一次Tw2，一次Tw3，0.2*0.6*0.2=0.24

C：總概率=0.456

這里面有個(gè)反直覺的情況，就是如果測量次數(shù)增加，A情況的概率是減少的，怎么理解？其實(shí)很容易理解，測量誤差取決于方差。所以實(shí)際上隨著測量次數(shù)增加B（以及其他更多的概率組合）情況概率增加，A情況概率減少，獲得真值的概率最終接近于0.6。

同理如果熱水器只開啟三次（做三次加熱），則加熱數(shù)值為預(yù)設(shè)真值的概率也為0.456。

所以實(shí)際上結(jié)論有點(diǎn)出乎意料對于如此簡易的系統(tǒng)來說，進(jìn)行3次試驗(yàn)，總共9次測量，則測量均值為真實(shí)預(yù)設(shè)值TT的概率為0.456*0.456=0.2079，大概21%。

如果試驗(yàn)次數(shù)繼續(xù)增加到一個(gè)較多的次數(shù)比如50次，單次試驗(yàn)測量次數(shù)也增加到較多的次數(shù)比如20次，那么測量獲得真實(shí)溫度預(yù)設(shè)值TT的概率最終趨近于36%。

這個(gè)結(jié)論是高度反直覺的。

那么應(yīng)該怎么去理解這個(gè)問題？其實(shí)結(jié)論非常簡單，高品質(zhì)系統(tǒng)需要控制的是方差的大小，就是質(zhì)量體系中的西格瑪概念。將單個(gè)方差（西格瑪）控制到足夠小，那么即便獲得真值的概率永遠(yuǎn)只和分布與測量次數(shù)有關(guān)，但是總體和真值的誤差是非常小的。

概率計(jì)算給我們的建議：你以為你測量的是均值，實(shí)際上你測量的是方差。

世界真奇妙，一測嚇一跳。

審核編輯：劉清