布辛涅斯克近似概述

導(dǎo)讀：大家好，我是仿真秀專欄作者-極度喜歡上課（又叫小極老師），主要研究方向?yàn)镃FD，發(fā)表COMSOL相關(guān)方向中文核心期刊論文1篇，授權(quán)發(fā)明專利7項(xiàng)。使用COMSOL軟件4年，熟練運(yùn)用微流體、兩相流、流固耦合以及傳熱等模塊。目前運(yùn)營COMSOL相關(guān)的“b站賬號(hào)-極度喜歡上課”，關(guān)注粉絲累計(jì)6000+。積累了一定的原創(chuàng)COMSOL案例，熟悉COMSOL初學(xué)者的需求。前不久，注冊(cè)了仿真秀平臺(tái)講師，未來將在仿真秀平臺(tái)持續(xù)創(chuàng)作COMOSOL流體傳熱原創(chuàng)內(nèi)容，以下是正文。

一、布辛涅斯克近似概述

“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似”通常被用于處理熱浮力流的問題中，其中這里的熱浮力流指“流體由于各部分溫度分布不均勻而形成密度差，在重力的作用下產(chǎn)生浮升力，進(jìn)而引起流體內(nèi)部流動(dòng)的現(xiàn)象。”

如果要向同學(xué)更清楚的介紹“布辛涅斯克近似”，本文還得從熱浮力流的問題說起。不知道同學(xué)們對(duì)于“溫度分布不均勻而形成密度差。”這個(gè)表述是怎么理解的？（大家可以先思考一下，因?yàn)橄旅嫠婕暗膬?nèi)容會(huì)帶有一點(diǎn)點(diǎn)理論性。）

“溫度分布不均勻而形成密度差?！边@句話翻譯成大白話就是“溫度導(dǎo)致了流體的密度發(fā)生了變化?！痹趯?duì)流體問題進(jìn)行數(shù)值求解的時(shí)候，考慮流體密度的變化其實(shí)是一項(xiàng)很艱巨的任務(wù)，而在COMSOL的描述中“密度發(fā)生變化”就意味著流體是可壓縮的，如圖1所示，以“層流”接口為例，用戶可以根據(jù)需要將流體設(shè)置為“不可壓縮”、“弱可壓縮”或者“可壓縮（Ma＜0.3）”三種情況，其中“弱可壓縮”對(duì)比“可壓縮（Ma＜0.3）”會(huì)將壓力對(duì)密度的影響進(jìn)行簡化。（對(duì)于我們絕大多數(shù)同學(xué)其實(shí)只會(huì)用到“不可壓縮”和“弱可壓縮”兩種，然后記住密度不發(fā)生變化就用“不可壓縮”，密度發(fā)生變化就用“弱可壓縮”。）

根據(jù)上面的敘述各位同學(xué)應(yīng)該就能知道，如果要考慮熱浮力流那么就是需要用到可壓縮的納維-斯托克斯方程了，方程表達(dá)式如下：

其中表示與溫度相關(guān)的密度（是一個(gè)變量），u是流體的速度，p是流體的壓力，g是重力加速度，“”表征的就是流體所受到的熱浮力。從方程中可以看出，是與方程強(qiáng)烈的耦合在了一起，如果發(fā)生了變化勢必會(huì)讓方程的求解變得更加困難，接連導(dǎo)致的可能是模型的求解速度變慢以及收斂性能變差。

為了解決因?yàn)槊芏鹊淖兓鶎?dǎo)致的求解困難，“布辛涅斯克近似”就應(yīng)運(yùn)而生了。在密度變化不大又需要考慮熱浮力流的時(shí)候，可以利用“布辛涅斯克近似”進(jìn)行求解，包含了“布辛涅斯克近似”的不可壓縮的納維-斯托克斯方程的表達(dá)形式如方程（2）所示：

在不可壓縮的納維-斯托克斯方程中，由于速度散度等于零[1]，對(duì)比方程（1），方程（2）中“”這一項(xiàng)會(huì)被移除。（注意這里之所以將“”移除，是因?yàn)閷⒘黧w考慮成不可壓縮的時(shí)候就可以進(jìn)行移除，與“布辛涅斯克近似”無關(guān)。）“”這一項(xiàng)表示的就是“布辛涅斯克近似”項(xiàng)，其中是熱膨脹系數(shù)，是參考溫度。在方程（2）中利用“”項(xiàng)代替方程（1）中的“”來表征流體所受到的熱浮力，并將方程（1）中原本的關(guān)于溫度的變量通通改寫成了常數(shù)。（是參考溫度下流體的密度。）最終在考慮了熱浮力流的情況下，就可以將原本復(fù)雜的方程（1）變成了較為容易求解的方程（2）。

綜上所述，“布辛涅斯克近似”就是利用了較為簡單的不可壓縮的納維-斯托克斯方程來求解熱浮力流問題。當(dāng)然同學(xué)的眼界要放開，“布辛涅斯克近似”常用于求解熱浮力流問題，但是完全可以擴(kuò)寬到其他方面，例如物質(zhì)濃度、壓力所引起的密度不均導(dǎo)致的浮力流都可以利用“布辛涅斯克近似”進(jìn)行求解。

二、COMSOL熱浮力流計(jì)算

下面以COMSOL官網(wǎng)的“自然對(duì)流傳熱”二維模型為例子[2]，用三種方法處理這個(gè)熱浮力流問題，其中方法1為利用COMSOL內(nèi)置的“布辛涅斯克近似”進(jìn)行求解，方法2為利用自定義的“布辛涅斯克近似”進(jìn)行求解，方法3為利用可壓縮的納維-斯托克斯方程直接進(jìn)行求解。

方法1COMSOL內(nèi)置的“布辛涅斯克近似”。按照“自然對(duì)流傳熱”二維模型COMSOL官網(wǎng)PDF的步驟進(jìn)行操作[3]，就能采用內(nèi)置的“布辛涅斯克近似”進(jìn)行求解，如圖2所示為啟用COMSOL內(nèi)置的“布辛涅斯克近似”的復(fù)選框。如圖3所示，為左右兩壁溫差為10K時(shí)采用方法1計(jì)算所得的的速度云圖和溫度云圖。從圖中可以看出由熱浮力流產(chǎn)生的流速最大值為0.00316809米每秒左右。

圖2

圖3

方法2自定義的“布辛涅斯克近似”。（感興趣的同學(xué)也可以嘗試一下根據(jù)“”這條表達(dá)式，自定義“布辛涅斯克近似”。）如圖4所示，為左右兩壁溫差為10K時(shí)采用方法2計(jì)算所得的的速度云圖和溫度云圖，其余邊界條件均與方法1保持一致。（根據(jù)COMSOL官網(wǎng)“自然對(duì)流傳熱”二維模型的參數(shù)設(shè)置，自定義“布辛涅斯克近似”的參考溫度為288.15K比較合適。）對(duì)比方法1所計(jì)算出的結(jié)果，采用方法2計(jì)算得到的流速最大值為0.00320519米每秒左右，兩種方法的結(jié)果非常接近。

圖4

方法3可壓縮的納維-斯托克斯方程。如圖5所示，為左右兩壁溫差為10K時(shí)采用方法3計(jì)算所得的的速度云圖和溫度云圖，其余邊界條件均與方法1保持一致。理論上來說采用方法3計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是最為準(zhǔn)確的，其中方法3計(jì)算得到的流速最大值為0.00327296米每秒左右，三種方法的結(jié)果都非常接近。

圖5

以上就是COMSOL官方用三種方法處理這個(gè)熱浮力流問題，為了幫助大家理解和掌握COMSOL中的“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似應(yīng)用，以及解決大家COMSOL學(xué)習(xí)過程中一些問題，歡迎大家關(guān)注我在仿真秀平臺(tái)的公開課。