傳遞函數(shù)的三種形式及應(yīng)用場合

傳遞函數(shù)表示線性定常系統(tǒng)自身，將輸入信號變換成輸出信號的能力。這是線性定常系統(tǒng)自身的特點，一個不同的輸入就會有一個不同的輸出。輸入信號本身不影響傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)是我這個系統(tǒng)自身決定的。

獲得傳遞函數(shù)的方法多種多樣，可以直接使用微分方程進(jìn)行變換，也可以使用復(fù)阻抗法求取。但重要的是變換傳遞函數(shù)的能力，針對不同應(yīng)用場合，變換傳遞函數(shù)的形式。閱讀傳遞函數(shù)的能力，比如通過傳遞函數(shù)能否看出系統(tǒng)極點和零點的位置，以及增益。

根據(jù)線性網(wǎng)絡(luò)理論，由電容、電阻和電感組成的電路網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)H可以用如下通用式表示：

在這個式子中，很重要的一點是分母的階數(shù)m必須大于或等于分子的階數(shù)n。當(dāng)m>n時，H(s)的幅值會隨著s趨于無窮而趨于0，滿足該性質(zhì)的傳遞函數(shù)為”嚴(yán)格正則”。分母多項式D(s)階數(shù)反映了該電路網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)。讓分母多項式D(s)=0，解出的所有根稱為系統(tǒng)的極點，讓分子多項式N(s)等于0，解出的所有根為系統(tǒng)的零點。

傳遞函數(shù)是一個分式，分子和分母都是多項式?；趹?yīng)用場合的不同，它有三種常見的變換形式：

第1種傳遞函數(shù)寫法：在因式分解的時候，使s的最高項系數(shù)為1時。這種形式一眼就可以看出它的零點和極點。這個形式是傳遞函數(shù)根軌跡形式，也稱為首1型傳遞函數(shù)形式。這個時候提出來的常數(shù)，叫作根軌跡增益。應(yīng)用在根軌跡的場合。

第2種傳遞函數(shù)寫法：在作因式分解的時候，常數(shù)項全部提出來，常數(shù)項變?yōu)?，通俗的說我們叫尾1型傳遞函數(shù)形式。這個時候提出來的系數(shù)我們叫作環(huán)路增益或者叫開環(huán)增益。應(yīng)用在bode圖繪制，奈氏圖繪制，系統(tǒng)開環(huán)頻率響應(yīng)分析的場合。

這兩個系數(shù)有什么關(guān)系，b0和bm有什么關(guān)系，b0=bm*z1*....zm。從數(shù)學(xué)角度看，就是提取公因式的事情，提的大和提的小的問題。提的小是前面的系數(shù)，提的大是后面的系數(shù)。

第3種傳遞函數(shù)寫法：當(dāng)傳遞函數(shù)帶有積分環(huán)節(jié)，可以寫成這種形式。這種形式應(yīng)用在環(huán)路補償?shù)膱龊稀?/p>

wp0是什么呢？

引入一個概念，稱為“0dB穿越極點”。對于包含原點極點的傳遞函數(shù)，也就是當(dāng)s=0時，傳遞函數(shù)的幅值趨于無窮大。通常原點極點的s會帶有一個系數(shù)，例如1/[sRC(1+...)]，可以將其重寫為如下形式：

式中，wp0就是“0dB穿越極點”，它在上式中等于1/RC，對應(yīng)截止頻率，也就是說s=wp0時，wp0/s的幅值等于1(或0dB)。

下圖種畫出了wp0/s的幅值與頻率的關(guān)系，是一條斜率為負(fù)的斜線。

當(dāng)原點極點與一個零點組合在一起時，斜線會在零點頻率處轉(zhuǎn)折并維持在增益G0，G0稱為中頻增益。下圖顯示了不同wp0的幅值-頻率關(guān)系。

審核編輯：湯梓紅