開環(huán)函數(shù)波特圖的一些特征

在工程上我們常見下圖所示的波特圖來描述一個系統(tǒng)開環(huán)函數(shù)的頻率特性，通過零點和極點畫出波特圖我們可以得到系統(tǒng)是否穩(wěn)定的結(jié)論。

首先講一下人們?yōu)槭裁匆褂貌ㄌ貓D：

由于在研究一個模擬系統(tǒng)的頻率相應(yīng)時，信號的頻率范圍很寬，通常從Hz級到GHz級，如果用線性線性坐標畫系統(tǒng)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性曲線，動態(tài)范圍和精度之間的矛盾不可避免，因此使用對數(shù)坐標，將會壓縮坐標，擴大觀察的視野，解決了前述矛盾。

如上圖所示，橫坐標頻率每增大一個單位，即表示頻率增大10倍，就是我們常說的“10倍頻程”。應(yīng)當注意的是，如果波特圖具有負半軸，并不表示小于0的頻率，而是表示為ω omegaω小于1的頻率。如果需要小于0的頻率特性，利用系統(tǒng)頻率特性的共軛對稱特性可以得到。

對于縱坐標而言，幅頻特性曲線表示為dB，而相頻特性依舊用°(degree)表示。

波特圖又分為開環(huán)波特圖(G ( s ) G(s)G(s))和閉環(huán)波特圖(H ( s ) H(s)H(s))，兩者能夠提供的信息也不一樣。

開環(huán)波特圖能夠提供的信息：

開環(huán)頻率響應(yīng)，進而可以通過圖解法（如向量圖/等M圓圖/等N圓圖）求得閉環(huán)頻率響應(yīng)

通過觀察相位裕度/幅值裕度來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般來說在幅值穿越頻率點處的相位閾值為50°-60°比較合適，最低不能小于45°。

開環(huán)伯德圖的形狀也可以用來表征閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)特性，如下圖所示：

閉環(huán)波特圖可以提供系統(tǒng)全部頻率響應(yīng)特性，也能與時域響應(yīng)聯(lián)系起來。通過閉環(huán)波特圖我們能夠?qū)ο到y(tǒng)的性能進行評估，根據(jù)實際情況選擇合適的系統(tǒng)。

本文主要討論的是開環(huán)函數(shù)的波特圖，由于其幅頻特性通常以對數(shù)坐標軸上的一條直線為漸近線，因此幅頻特性的曲線通常可以只畫漸近線來表示系統(tǒng)的一些特征。

一般系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)可以表示為：

由上面的公式可知，在對數(shù)域，系統(tǒng)開環(huán)函數(shù)的零極點幅頻特性、相頻特性都滿足線性疊加關(guān)系。l o g ω = 0 log omega=0logω=0時的初始值由ω = 1 omega=1ω=1狀態(tài)下的幅度和相位決定。

(說人話!) 好的，下面就來進行一個通俗易懂的規(guī)律總結(jié)，零極點對于波特圖的影響如下：

a. 每一個極點會給幅頻響應(yīng)帶來一個-20dB/10倍頻程斜率的變化，每一個零點會給幅頻響應(yīng)帶來一個+20dB/10倍頻程斜率的變化。

b.每一個極點會給相頻響應(yīng)帶來一個-90°的相位變化，每一個零點會給相頻響應(yīng)帶來一個+90°的相位變化。

另外，最近在B站上刷視頻的時候發(fā)現(xiàn)一個很有意思的想法（與從系統(tǒng)函數(shù)的零極點出發(fā)不同，利用的是系統(tǒng)函數(shù)的級聯(lián)特性）：由于波特圖的可加性，一個復雜系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)可以差分為若干個簡單子系統(tǒng)的級聯(lián)，那么把簡單子系統(tǒng)的波特圖分別畫出來、相加之后就是復雜系統(tǒng)的波特圖。

視頻鏈接為 https://www.bilibili.com/video/BV1yt411c7W8 講得很不錯，推薦~

比如我們可以熟悉一些常見的簡單系統(tǒng)的波特圖：

下面舉一個復雜系統(tǒng)利用這些常見的簡單波特圖拆分、然后相加得到自身波特圖的例子：

將所有子系統(tǒng)的波特圖相加可以得到：

而實際中的系統(tǒng)框圖也可以表示為：

因此，當我們已知一個系統(tǒng)的波特圖特征，要求系統(tǒng)函數(shù)時，可以根據(jù)波特圖的情況拆分為多個子系統(tǒng)的波特圖疊加，然后分別求出子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，最后級聯(lián)相乘就可以得到最終的系統(tǒng)函數(shù)了。這對于我們實際的系統(tǒng)設(shè)計中也是有啟發(fā)的。