理解信號(hào)的抽樣與恢復(fù)過(guò)程

信號(hào)的抽樣我們都知道了：

圖1

上圖最后一步?jīng)_激抽樣信號(hào)的頻譜的推導(dǎo)用到了這個(gè)公式：

這個(gè)公式的推導(dǎo)可以參考：

就是

我們注意到圖1中抽樣函數(shù)的頻譜

是由無(wú)窮個(gè)等間隔重復(fù)的頻譜函數(shù)F(w)組成，這就是時(shí)域的離散導(dǎo)致的頻域周期現(xiàn)象，如下圖所示：

由于相同的頻譜函數(shù)等間隔重復(fù)，就由可能導(dǎo)致頻譜混疊現(xiàn)象，如下圖：

為了能由頻譜函數(shù)有效地恢復(fù)出原來(lái)的時(shí)域信號(hào)，就必須消除頻譜混疊現(xiàn)象。在不存在頻譜混疊的前提下，采用一個(gè)頻域中的矩形濾波器H(w)將第一個(gè)周期的頻譜函數(shù)取出，如下圖：

圖2

由上圖可以看到，頻域中的矩形函數(shù)，在時(shí)域中是一個(gè)sinc函數(shù)。關(guān)于門(mén)函數(shù)，我們有：

對(duì)于單個(gè)門(mén)函數(shù)：

其頻譜(傅里葉變換，積分限實(shí)際上是無(wú)窮)為：

由以上分析看出，單個(gè)的門(mén)函數(shù)其頻譜函數(shù)sa是連續(xù)的非周期函數(shù)，在w=0時(shí)取得最大值1。

下面通過(guò)圖2中的低通濾波器H(w)進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)：

H(w)的時(shí)域函數(shù)為

證明如下：

由于頻域的乘積

等于時(shí)域的卷積，得到：

上圖表明，恢復(fù)出的時(shí)域信號(hào)f(t)是抽樣點(diǎn)上的值f(nTs)與sinc(sa)函數(shù)在最大值點(diǎn)1(t=nTs)的乘積之和。

圖解恢復(fù)過(guò)程：

上圖表明，最后恢復(fù)出的時(shí)域信號(hào)f(t)，是由一個(gè)個(gè)以nTS為中心點(diǎn)的sinc(sa)函數(shù)的最大值點(diǎn)構(gòu)成的包絡(luò)線。顯然，TS越小，ws越大，恢復(fù)的效果越好。

也可以圖解如下：

同樣可以看出f(t)的構(gòu)成過(guò)程。

簡(jiǎn)單總結(jié)：

1：時(shí)域信號(hào)抽樣以后，得到按周期拓展的頻域信號(hào);

2：用一個(gè)頻域的低通濾波器H(w)進(jìn)行濾波，得到需要恢復(fù)的時(shí)域信號(hào)的頻譜函數(shù);

3：由于頻域的乘積等于時(shí)域的卷積，得到待恢復(fù)信號(hào)與sinc(sa)函數(shù)的關(guān)系，從而確定f(t)是由一個(gè)個(gè)以nTS為中心點(diǎn)的sinc(sa)函數(shù)的最大值點(diǎn)構(gòu)成的包絡(luò)線，顯然，TS越小，恢復(fù)的效果越好。

4：恢復(fù)出的時(shí)域信號(hào)f(t)實(shí)際上是由一個(gè)個(gè)sinc(sa)函數(shù)合成。

審核編輯：湯梓紅