用蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)來檢查元件容差如何影響級(jí)聯(lián)電路網(wǎng)絡(luò)的電氣行為

專業(yè)電路設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)電路時(shí)不僅僅使用并聯(lián)和串聯(lián)的元件。構(gòu)建電路的一種方法是使用具有輸入和輸出端口的電路網(wǎng)絡(luò)。可以通過傳統(tǒng)方式（SPICE、手動(dòng)等）分析每個(gè)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部發(fā)生的情況，但重要的是網(wǎng)絡(luò)將輸入電壓/電流對(duì)映射到輸出電壓/電流對(duì)。在數(shù)學(xué)上，這可以用傳遞函數(shù)進(jìn)行量化。

在進(jìn)行高可靠性設(shè)計(jì)時(shí)，需要了解的一個(gè)重要因素是系統(tǒng)某一部分的方差如何傳播到系統(tǒng)的輸出。但這個(gè)因素有時(shí)并不直觀。它需要手動(dòng)進(jìn)行一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)，或者需要一些仿真來確定系統(tǒng)中電氣行為的變化和波動(dòng)。

在本文中，我將展示如何使用蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)來檢查元件容差如何影響級(jí)聯(lián)電路網(wǎng)絡(luò)的電氣行為。數(shù)學(xué)涉及幾個(gè)常見的概率論要點(diǎn)，但最終結(jié)果和所涉及的過程可以很容易在SPICE和Excel中實(shí)現(xiàn)。

01 理論：級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中的方差

接下來我要介紹一個(gè)理論，目的是推導(dǎo)出表達(dá)式，該表達(dá)式將級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓變化定義為每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)傳遞函數(shù)的變化。盡管還有溫度或隨機(jī)噪聲等情況，我們假定網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的變異僅由元件容差造成。

首先，讓我們來看下面所示的級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，我們考慮的方案中每個(gè)網(wǎng)絡(luò)有2個(gè)端口（輸入和輸出）。擴(kuò)展到3個(gè)端口稍顯復(fù)雜，但如果其他端口只是固定的功率輸入，我們?nèi)匀豢梢允褂么颂幩镜睦碚?。?jí)聯(lián)中每個(gè)網(wǎng)絡(luò)都有一個(gè)傳遞函數(shù)H。

網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出之間的關(guān)系如方程式(1)所示。在這個(gè)方程式中，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是每個(gè)網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的乘積：

方程式(1)：級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)定義。

在方程式(1)中，我們的事實(shí)依據(jù)是，如上所示的串聯(lián)級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的總傳遞函數(shù)是所有單個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。這個(gè)方程適用于構(gòu)建為二端口網(wǎng)絡(luò)的各種電路。現(xiàn)在，我們可以檢查給定元件容差值的傳遞函數(shù)中的統(tǒng)計(jì)變化。

02 轉(zhuǎn)移函數(shù)的變量

每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的元件容差將在每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的傳遞函數(shù)中產(chǎn)生一些變化。我們現(xiàn)在要定義傳遞函數(shù)中的方差。

方程式(2)：每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)定義為常數(shù)部分（平均值）和隨機(jī)部分（標(biāo)準(zhǔn)差）。

在方程式（2）中，Hi是一個(gè)隨機(jī)變量，它與網(wǎng)絡(luò)i（?Hi）傳遞函數(shù)的隨機(jī)變化有關(guān)。為了使該表達(dá)式為真，分布?Hi必須允許這種類型的線性轉(zhuǎn)換。一般來說，高斯分布和均勻分布都是如此，因此這在蒙特卡羅仿真中經(jīng)?？紤]的兩種主要情況下都是有效的。

我們沒有將?Hi與具有特定等式的元件公差聯(lián)系起來。但是，如果您知道電路網(wǎng)絡(luò)中所有元件的公差，則可以使用蒙特卡羅仿真來確定?Hi。只需為單個(gè)網(wǎng)絡(luò) Hi 進(jìn)行仿真，然后運(yùn)行蒙特卡羅仿真以確定傳遞函數(shù) ?Hi 的方差。

03 輸出電壓的變量

現(xiàn)在我們已經(jīng)定義了單個(gè)傳遞函數(shù)的隨機(jī)變量，我們可以通過將公式(2)中所示的相同線性變換應(yīng)用到公式(1)中的傳遞函數(shù)的乘積來定義輸出電壓的變量。我將其寫成公式(3)：

公式(3): 輸出電壓的變量。

這里，輸出電壓也有常數(shù)部分（平均值）和隨機(jī)部分（標(biāo)準(zhǔn)差）。換句話說，現(xiàn)在電壓是一個(gè)與隨機(jī)變量乘積相關(guān)的隨機(jī)變量。平均輸出電壓是右側(cè)的常數(shù)項(xiàng)：

方程式(4)：根據(jù)組成級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)平均值表示的平均輸出電壓。

由此可知，傳遞函數(shù)的乘積是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的平均值：

方程式(5)：整個(gè)級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)平均值以級(jí)聯(lián)中各個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均傳遞函數(shù)值表示。

如果我們展開方程式(3)中的乘積，將得到一個(gè)包含多個(gè)?Hi 項(xiàng)、Hmean 和輸出電壓方差的乘積的表達(dá)式。在這里，我們將采取近似值，因?yàn)槿我?Hi項(xiàng)的乘積非常小，可以忽略不計(jì)?？紤]到常見的元件公差，這是完全可以接受的，即使它們高達(dá) 20%。這里我就省略中間步驟，留給讀者自行運(yùn)算，最終可以得到以下方程式：

方程式(6)：以傳遞函數(shù)均值和隨機(jī)變化表示的輸出電壓。

這看起來不像最終答案，但是方程式(6)確實(shí)告訴您在傳遞函數(shù)存在一些差異的情況下，您需要了解有關(guān)輸出電壓隨機(jī)行為的所有信息！在這里，我們根據(jù)隨機(jī)變量的線性組合（?Hi 項(xiàng)集）定義了一個(gè)隨機(jī)變量（Vout）。從多元概率論中，我們知道這個(gè)和的標(biāo)準(zhǔn)差等于?Hi 項(xiàng)的正交和。換句話說，Vout 的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：

方程式(7)：輸出電壓基于傳遞函數(shù)方差的標(biāo)準(zhǔn)差。

在這個(gè)方程式中，st.dev運(yùn)算指標(biāo)準(zhǔn)差，Var運(yùn)算指方差。使用方程式(7)，我們可以開發(fā)一個(gè)仿真過程，將輸出電壓的變化與級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中傳遞函數(shù)的變化聯(lián)系起來。

04 過程

現(xiàn)在我們可以開發(fā)一個(gè)根據(jù)傳遞函數(shù)方差來確定輸出電壓方差的過程。您的主要工具將是蒙特卡羅仿真和簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)分析程序，如Excel：

1. 將級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)電路設(shè)計(jì)劃分為單獨(dú)的二端口網(wǎng)絡(luò)。

2. 針對(duì)#1中的每個(gè)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行蒙特卡羅仿真。

3. 獲取每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)并計(jì)算每次蒙特卡羅運(yùn)行的傳遞函數(shù)。

4. 計(jì)算每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)結(jié)果的平均值。

5. 計(jì)算#3中每個(gè)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，得出每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的?Hi。

6. 使用來自#4、#5和方程式(7)的結(jié)果，得出輸出電壓的變化。

根據(jù)您在此過程中使用的數(shù)據(jù)數(shù)量，您可以更進(jìn)一步，得出結(jié)果的置信區(qū)間。 示例計(jì)算：

為什么要在單個(gè)傳遞函數(shù)上進(jìn)行如此麻煩的運(yùn)算？讓我們來舉個(gè)例子，了解其中原因。

假設(shè)您有三個(gè)具有不同元件容差（1%、5%和10%）的電路網(wǎng)絡(luò)，并且您已經(jīng)完成了上述過程以確定每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)的變化。假設(shè)這些元件公差值轉(zhuǎn)化為下圖中顯示的示例方差。使用方程式(7)，我們可以預(yù)測(cè)這個(gè)假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓變化：

已知元件容差和傳遞函數(shù)變化的輸出電壓計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差示例。

根據(jù)應(yīng)用，13.63%的容差可能過大。由此，我們可以判斷是否應(yīng)該降低某些元件組的容差。

現(xiàn)在假設(shè)輸出電壓變化對(duì)于我們的應(yīng)用來說是不可接受的，我們希望得到更小的變化。我們決定將 5% 的容差和 10% 的容差換成 1% 的容差。無需運(yùn)行任何新的仿真，我們就可以立即知道輸出變化是什么。對(duì)于線性電路，將容差降低 10 倍應(yīng)將傳遞函數(shù)方差降低 10 倍，對(duì)于其他降低因子，依此類推。然后我們會(huì)得到以下結(jié)果：

針對(duì)較小的元件容差，修改輸出電壓計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差。

將輸出電壓從13.63%降低到2.23%，這一折減幅度非常大，而它所需要的只是一個(gè)簡(jiǎn)單的元件交換。無需添加新電路，無需更改設(shè)計(jì)，只需選擇一些備用元件編號(hào)即可。這些類型的方差折減步驟正是您在精確仿真應(yīng)用中所需要的。

現(xiàn)在假設(shè)您想改變運(yùn)行頻率。在這種情況下，您可以使用從蒙特卡羅仿真中獲得的傳遞函數(shù)數(shù)據(jù)，使用相同的計(jì)算來確定在這個(gè)新頻率下輸出電壓將如何變化。

05 總結(jié)與比較

通過了解如何增加不同級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中的方差，得出輸出電壓的總方差，您可以執(zhí)行以下任意操作，直接確定輸出電壓將如何變化：

將網(wǎng)絡(luò)中的元件換成容差更嚴(yán)格的元件

把一個(gè)網(wǎng)絡(luò)換成一個(gè)完全不同的網(wǎng)絡(luò)

在級(jí)聯(lián)中添加額外的網(wǎng)絡(luò)

上面顯示的擾動(dòng)方法僅適用于串聯(lián)級(jí)聯(lián)濾波器或放大器。如果您有并行網(wǎng)絡(luò)，它們的傳遞函數(shù)相加，使上面顯示的方差分析更容易。此外，您可以使用這個(gè)想法來推導(dǎo)出串聯(lián)和并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)組合的方差表達(dá)式。無論您如何安排電路網(wǎng)絡(luò)以獲得方差表達(dá)式，都適用上述相同的仿真和分析方法。

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審核編輯：劉清