DOE中的“已編碼系數(shù)”和“以未編碼單位表示的回歸方程”

什么是編碼單位和未編碼單位？

編碼單位和未編碼單位定義實驗設(shè)計中的因子水平。例如，您要確定哪種壓力設(shè)置與底漆類型的組合能夠獲得最優(yōu)的涂層附著力。實驗中的低設(shè)置（壓力 = 310，底漆類型 = 一）由采用編碼單位的 -1 標(biāo)識，高設(shè)置（壓力 = 380，底漆類型 = 二）由采用編碼單位的 1 標(biāo)識。

注：如果實驗中有中心點處實驗，則中心點的編碼單位用0標(biāo)識

默認(rèn)情況下，Minitab 使用編碼單位來執(zhí)行分析。

未編碼與已編碼的互相轉(zhuǎn)換

在Minitab 19中的路徑：統(tǒng)計-DOE-顯示設(shè)計

在“顯示設(shè)計”的因子單位改選為“已編碼單位”

我們也可以手動計算實現(xiàn)編碼和未編碼的轉(zhuǎn)換（詳見藍(lán)寶書P505）。

編碼值=（未編碼值-M）/ D
未編碼值=M+D*編碼值

其中，中心值M=（高+低）/ 2
板間距D =（高-低）/ 2

我們以已編碼工作表第一行的加熱溫度0為例，把它轉(zhuǎn)換為未編碼值（加熱溫度高水平860，低水平820）。

M=（高+低）/ 2=（860+820）/ 2=840
D=（高-低）/ 2 =（860-820）/ 2 =20

未編碼值=M+D*編碼值=840+20*0=840

DOE中的以編碼系數(shù)與未編碼回歸方程

在實驗設(shè)計的分析結(jié)果中，我們會看到以下兩個輸出：

“已編碼系數(shù)”表，可以幫助我們用來確定哪些項對響應(yīng)具有統(tǒng)計意義顯著的效應(yīng)。要確定響應(yīng)與模型中每個項之間的關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計意義上是否顯著，請將該項的 P 值與顯著性水平進行比較以評估原假設(shè)。原假設(shè)聲明該項的系數(shù)等于零，這意味著該項與響應(yīng)之間沒有關(guān)聯(lián)。通常，顯著性水平（用 α 或 alpha 表示）為 0.05 即可。顯著性水平 0.05 指示在實際上不存在關(guān)聯(lián)時得出存在關(guān)聯(lián)的風(fēng)險為 5%。

P 值 ≤ α：關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計意義上顯著
如果 P 值小于或等于顯著性水平，則可以得出響應(yīng)變量與項之間的關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計意義上顯著的結(jié)論。

P 值 > α：關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計意義上不顯著
如果 p 值大于顯著性水平，則無法得出響應(yīng)變量與該項之間的關(guān)聯(lián)在統(tǒng)計意義上顯著的結(jié)論。您可能希望重新擬合沒有該項的模型。

如果多個預(yù)測變量與響應(yīng)在統(tǒng)計意義上沒有顯著的關(guān)聯(lián)，則可以通過刪除項（一次刪除一個）來簡化模型。

在該“已編碼系數(shù)”表中，我們看到每項的P值都是小于0.05，也就是說這些項都是顯著的，需要在最終模型中保留。我們也可以借助效應(yīng)Pareto圖得到相同的結(jié)論。

而我們在上面看到的另外一個輸出“以未編碼單位表示的回歸方程”其實是根據(jù)“已編碼系數(shù)”表轉(zhuǎn)換而來。下面我們來說明這兩者的轉(zhuǎn)換過程。

在轉(zhuǎn)換之前我們首先來理解一下“已編碼系數(shù)”表中的各項系數(shù)是怎么來的。

系數(shù)用于描述模型中的項和響應(yīng)變量之間關(guān)系的大小和方向（要最小化各項之間的多重共線性，所有系數(shù)都需采用編碼單位。）一個項的系數(shù)表示在其他項保持恒定時，與該項中一個編碼單位的增長相關(guān)聯(lián)的平均響應(yīng)的變化。系數(shù)的符號表明項與響應(yīng)之間關(guān)系的方向。

系數(shù)的大小是效應(yīng)大小的一半。效應(yīng)表示當(dāng)因子水平由低變高時預(yù)測平均響應(yīng)中的變化。也就是說各項的系數(shù)=（該項因子在高水平的響應(yīng)均值-該項因子在低水平的響應(yīng)均值）/2.，其中“常量項的系數(shù)大小為所有響應(yīng)值（C9列）的平均值。那么下面我們先來求一下“常量”項的系數(shù)。

而各因子項和因子交互作用項的系數(shù)就是對應(yīng)項的效應(yīng)值一半，比如，在該“已編碼系數(shù)”表中加熱溫度項的效應(yīng)值20.04（加熱溫度的效應(yīng)值是以下工作表中紅色列對應(yīng)的強度均值-綠色列對應(yīng)的強度均值）。
( ( ( ( ( ( ( 553 + 548.3 ) + 549.1 ) + 574.5 ) + 536.2 ) + 561.8 ) + 551.3 ) + 536.5 ) / 8 - ( ( ( ( ( ( ( 549 + 518.3 ) + 528.3 ) + 526.8 ) + 522.5 ) + 531.5 ) + 550.2 ) + 523.8 ) / 8=20.0375

效應(yīng)20.04的一半，所以加熱溫度的系數(shù)則為10.02，其他項的計算也是如此，不再贅述。

理解了效應(yīng)和系數(shù)的計算后，我們現(xiàn)在來把“已編碼系數(shù)”表轉(zhuǎn)換為“以未編碼單位表示的回歸方程”。

強度 = 541.63 + 10.02 * ( 編碼的加熱溫度 ) + 8.44 * ( 編碼加熱時間 ) + 5.56 * ( 編碼保溫時間 ) + 3.56 * ( 編碼加熱時間 * 編碼保溫時間 )

其中編碼的加熱溫度=（溫度值-M）/ D, 具體計算過程見本文前面內(nèi)容。所以：

強度=541.63+10.02 * [ ( 加熱溫度-840 ) / 20 ]+8.44 * [ ( 加熱時間-2.5 ) / 0.5 ] + 5.56 * [ ( 保溫時間-55 )/5 ] + 3.56 * [ ( 加熱時間-2.5 ) / 0.5 ] * [ ( 保溫時間-55 ) / 5 ]

手算結(jié)果為：強度=213.23+0.501加熱溫度-61.44加熱時間-2.448保溫時間+1.424加熱時間*保溫時間

與Minitab的“以未編碼單位表示的回歸方程”結(jié)果比較一下

結(jié)論

如果你想更好的理解DOE中的分析結(jié)果，找個例子手算看看，會加深你的印象。當(dāng)然有Minitab的幫助你也可以直接忽略計算過程。學(xué)習(xí)了DOE中的已編碼和未編碼，那你知道編碼的作用嗎？

審核編輯 黃昊宇