如何去描述度量信號的幾個概念

［導(dǎo)讀］ 遇到一些朋友說信號處理真難，學(xué)是很辛苦的學(xué)了，就是不知道怎么用。學(xué)而不能致用，如此辛苦的學(xué)習(xí)就有點費時費力了。當然本文也并非想說學(xué)必致用，有的東西學(xué)了還真不見得能用上。只不過學(xué)過的，想用的要會用則達到學(xué)的目的了。此言：學(xué)以致用，學(xué)能致用！謹與諸君共勉！

很多時候，為什么學(xué)而不能致用呢？沒有用的需求，當然就不說了。往往不會用，是因為不知道怎么去用，而不知道怎么用，個人覺得很重要的原因是因為很多基礎(chǔ)的概念沒有理解到位，對于工程技術(shù)人員而言，對于基礎(chǔ)概念的理解把握，往往決定了解決問題的方向、思路、深度。以信號處理來說，里面就有大量的基礎(chǔ)概念需要真正去理解。本文就來聊聊如何去描述度量信號的幾個概念。

均值信號處理中一個最為簡單的概念就是均值（Mean），和你想的一樣，加起來除以樣本數(shù)量：

在學(xué)習(xí)DSP時，要習(xí)慣各種數(shù)學(xué)表示的方案，比如這里 就是表示求和，表示從開始求和。為了讓都能看懂，這個公式換一個表達形式：

所以就是更為簡潔的描述求和的數(shù)學(xué)語言。

對于這個公式在延申一下，這里是離散信號，如果是離散概率序列，對于確定的其概率為，則這樣的離散概率分布序列，其均值則為：

其實，對于前一公式也可以用概率均值去理解，看成N個樣本集合，則每一個樣值其概率就是！

那么研究均值有啥意義呢？其實一般對于原始樣本直接計算均值可能意義不是特別大，但是基于均值衍生的其他統(tǒng)計量則非常有價值，比如接下來要說的標準偏差，簡稱為標準差。

平均偏差在談標準差之前，先談?wù)勂骄睢：螢槠骄?，嚴格講應(yīng)該稱為平均絕對偏差（Average Absolute Deviation），在談平均絕對偏差前，先談?wù)劷^對偏差，絕對偏差，從字面意義上理解，很容易可以想到其計算這樣是這樣得來，由某樣本與均值的差的絕對值：

那么平均絕對偏差，所差的就是一個平均了：

來試著理解一下這個公式，是任一樣本與該樣本集均值的差的絕對值，表示的是該樣本與均值的偏離程度，每個樣本與均值的偏離程度之和再求平均，則就是字面意思了，所有樣本與平均值的偏離程度，故稱為平均偏差。

平均偏差可以反應(yīng)樣本點與均值的平均偏離程度。

標準偏差標準偏差（Standard Deviation）與平均偏差（Average Deviation）類似，也是基于平均值的統(tǒng)計量。所不同的是，標準差是利用樣本與均值絕對偏差的平方和求取的。

標準差反應(yīng)信號相對平均值的波動程度。標準差數(shù)值越小，反應(yīng)信號數(shù)值分布更靠近平均值，反之越大則表示信號相對平均值更分散

標準偏差根據(jù)樣本是研究樣本的總體，還是只是收集的部分樣本而分為兩種情況：

總體標準偏差

樣本標準偏差

總體標準偏差如果僅將數(shù)據(jù)視為總體，則可以將其各點絕對偏差之和除以數(shù)據(jù)點總數(shù)N，而后開平方：

樣本標準偏差如果待研究的數(shù)據(jù)看成待研究系統(tǒng)數(shù)據(jù)的部分，則可以將其各點絕對偏差之和除以數(shù)據(jù)點總數(shù)N-1，而后開平方：

看到這個公式，有的盆友或許會問，為啥除的是N-1？而不是N！所以這個就是對這個概念需要理解的一個點：

這里計算的是樣本的標準偏差，總體標準偏差公式是基于正態(tài)分布推導(dǎo)而來，所以總體標準差公式是除以N，而在應(yīng)用中，不是數(shù)學(xué)統(tǒng)計的意義，只能以有限的樣本序列去近似描述總體的特征，除以N-1是一種無偏估計，所謂無偏估計，是指無偏性，無偏性的實際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差。在多次重復(fù)下，它們的平均數(shù)接近所估計的參數(shù)真值。

我們計算這個參數(shù)，就是想利用這個參數(shù)去反應(yīng)樣本序列集的客觀特征，所計算的樣本序列往往可能只是截取的數(shù)據(jù)段，并非所有的數(shù)據(jù)樣本。在信號處理中，我們拿到的數(shù)據(jù)一般而言都是系統(tǒng)的部分樣本，所以實際使用中應(yīng)該使用樣本標準差進行計算。

對于標準偏差的理解，還有一層需要理解透，它的量綱仍然是原樣本的量綱，比如研究的是電壓信號，單位為伏，則計算而得的標準偏差依然是伏。

有趣的栗子在國外網(wǎng)站上看到一組有趣的圖片，可以更好的幫助理解：

https://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

假設(shè)有這樣幾種可愛的狗狗：其身高分別為：600mm， 470mm， 170mm， 430mm， 300mm.

則其均值為：

所以上圖中用綠色線標識下身高均值：

從而每個狗相對均值的偏差如下圖：

從而，其標準差則為：

然后再標識一下每個狗的身高

上圖可看出第2、4、5個狗的身高與均值的偏差在一個標準差內(nèi)，而第1、3只狗身高與均值超出了一個標準差。標準差概念也經(jīng)常用來衡量產(chǎn)品的生成品質(zhì)，比如你常聽到的說法，這個零件的加工偏差是否在一個標準差內(nèi)，這里的標準差就是標準偏差的意思。

上面的公式如果不開平方，這就是常說的方差了，類似有兩種概念：

樣本方差：

總體方差：

再來個栗子前面說標準差，常用來衡量數(shù)據(jù)的分布情況：

標準差反應(yīng)信號相對平均值的波動程度。標準差數(shù)值越小，反應(yīng)信號數(shù)值分布更靠近平均值，反之越大則表示信號相對平均值更分散

為啥這樣說，看看下面這個栗子就好理解了：

假設(shè)有這樣三組數(shù)據(jù)，假定這三組數(shù)據(jù)來自三個同類型傳感器的采樣值，對相同的外界多次采樣（這里為了說明問題，請不用考慮數(shù)據(jù)本身的合理性），我們來計算一下其均值、平均偏差、樣本標準差。

135791113151719

24578913151324

35577810121330

三組數(shù)據(jù)連同其均值繪制成曲線：

第1組：

第2組：

第3組：

從曲線圖我們可以很直觀的看出第1個傳感器表現(xiàn)更好，那么如何用一個特征值來區(qū)分呢？如用平均絕對偏差顯然并不能很好的描述，三組數(shù)據(jù)均值相同，無法區(qū)分三個傳感器的表現(xiàn)，因為計算出平均絕對偏差相同。如用樣本標準差進行度量，則可以得出：

其物理含義，表示第1組數(shù)據(jù)分布程度相對更為靠近平均值。

總結(jié)一下均值、平均偏差、標準偏差、方差是信號處理幾個基礎(chǔ)概念，尤其標準差、方差在很多復(fù)雜的濾波算法、估計算法中是重要的理論基礎(chǔ)概念。所以準確的理解這些概念，也是能理解更為復(fù)雜的算法的基礎(chǔ)。所謂基礎(chǔ)不牢、地動山搖！

原文標題：學(xué)信號處理要理解均值、平均偏差、標準差、方差

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