衍射極限、MTF與分辨率的分析與介紹

關(guān)于衍射極限、MTF以及像素大小的幾個(gè)問題：

1、已知一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的F數(shù)、光波長，那它的像素大小到達(dá)一個(gè)什么水平時(shí)，算是充分利用了光學(xué)系統(tǒng)的分辨率？換句話說，像素最小做到多大合適？

2、鏡頭設(shè)計(jì)時(shí)一般以lp/mm作為分辨率的指標(biāo)來衡量MTF，那是否這個(gè)值越好，鏡頭就越好呢？

3、為什么1000多萬像素的手機(jī)，分辨率反而不如幾百萬像素的相機(jī)？

一、衍射極限與艾里斑

一個(gè)理想的光點(diǎn)，通過鏡頭成像后，哪怕鏡頭沒有任何像差，它也會變成一個(gè)光斑。光斑大小與F數(shù)有關(guān)，F(xiàn)數(shù)越小，光斑越小。而更深入一點(diǎn)，就得有一些光學(xué)的基礎(chǔ)才能理解了，這是由于衍射引起的。簡單說來，一個(gè)理想的物點(diǎn)發(fā)出的光，它的空間頻譜是1，就是在各個(gè)空間頻率均勻分布。而我們用鏡頭去成像，沒辦法把所有方向的光收集起來，只能收集鏡頭大小(嚴(yán)格的說，應(yīng)該是入瞳大小)對應(yīng)的這部分。這就不可避免造成了信息的丟失。這也就是衍射的本質(zhì)。

光學(xué)鏡片的輪廓一般是圓形，而圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布與[J1(x)/x]^2成正比，J1(x)是一階貝塞爾函數(shù)，x=πDsinθ/λ，J1(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，前三個(gè)為3.832，7.016，10.173。光斑的一級暗環(huán)對應(yīng)J1(x)的第一個(gè)零點(diǎn)3.832，即2πsinθ/λ=3.832，也就是sinθ=1.22λ/D時(shí)，出現(xiàn)了一級暗環(huán)。相應(yīng)地，后續(xù)的每個(gè)零點(diǎn)都對應(yīng)相應(yīng)的二級暗環(huán)，三級暗環(huán)……，暗環(huán)和暗環(huán)之間還有亮環(huán)，但能量迅速衰減。一般我們常說的艾里斑，就是中心最亮的這個(gè)光斑，即從中心到一級暗環(huán)的這個(gè)范圍。因此也就有了每提艾里斑必提到的1.22λF的這個(gè)公式，對照上面的一級暗環(huán)角度公式，我們看到/D被換成了F數(shù)，二者之間相差一個(gè)焦距f。

二、MTF與線對lp/mm

我們知道由于衍射和像差的存在，一個(gè)理想的光點(diǎn)，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，將變成一個(gè)光斑，這是這個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)。從空域的角度來看，一幅圖像經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，由于像差和衍射的存在，肯定會退化，退化成什么樣呢？就是每個(gè)點(diǎn)都變成了一個(gè)光斑，整幅圖像就是理想圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)的卷積。卷積這個(gè)變換有點(diǎn)復(fù)雜，不太直觀，于是人們就想到從頻域的角度來考慮問題。因?yàn)榭沼虻木矸e對應(yīng)頻域的乘積。一幅圖像，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)成像以后，它的頻譜變化為在原來的基礎(chǔ)上乘了一個(gè)函數(shù)H(w)，H(w)是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(t)的傅里葉變換。H(w)就是傳遞函數(shù)，分為幅值和相位兩部分，代表了各個(gè)頻率的成分，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)以后，分別受到了不同程度的衰減和相位變化。幅值部分它影響條紋對比度的衰減，而相位部分代表?xiàng)l紋的移動。一般來說，我們只關(guān)注成像清晰度，這時(shí)幅值傳遞函數(shù)影響比相位傳遞函數(shù)大得多，所以我們只考慮幅值傳遞函數(shù)，就是我們通常說的MTF。

MTF是一個(gè)頻率域的概念，代表不同頻率成分對比度的衰減。就是說你去看一個(gè)單一頻率的正弦條紋，理想情況下它是黑白條紋相間，反差很好；但實(shí)際上由于光學(xué)系統(tǒng)的像差和衍射的影響，每個(gè)點(diǎn)都會影響它相鄰的區(qū)域，反差(對比度)會下降。條紋越密，對比度下降越厲害。而衡量這個(gè)疏密程度的單位，就是lp/mm，也就是我們常說的每毫米線對。代表每mm范圍內(nèi)，有幾個(gè)明暗相間的正弦條紋。實(shí)際中為了方便，一般用明暗矩形條紋代替正弦條紋，一名一暗兩個(gè)矩形條紋構(gòu)成了一個(gè)線對。我們測試一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的MTF，就是測試對不同疏密(lp/mm為單位)的條紋的對比度衰減。為了方便比較，lp/mm通常是指像平面上的線對數(shù)。

三、離散采樣、像素與線對

像質(zhì)退化不僅發(fā)生在光學(xué)系統(tǒng)成像的過程中，還發(fā)生在將光學(xué)像變成數(shù)字化圖像的過程中。現(xiàn)代數(shù)字設(shè)備的圖像傳感器無非就是CCD和CMOS兩種。像素大小和間距都會造成像質(zhì)的下降。整個(gè)系統(tǒng)的MTF是光學(xué)系統(tǒng)的MTF與傳感器的MTF的乘積。

首先，像素大小會造成對比度的下降。因?yàn)橐粋€(gè)像素產(chǎn)生的電信號是與它面積范圍內(nèi)光強(qiáng)的平均值成正比的。這就好比在原始連續(xù)光學(xué)圖像上用一個(gè)均值濾波器做了一次卷積。這種均值卷積核造成的對比度下降比艾里斑的影響還有過之而無不及。

其次，像素和像素之間的間距形成了離散采樣。一幅連續(xù)的光學(xué)圖像，它本來有無窮多個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在用一些離散的像素值來表示，難免會造成信息的丟失。Shannon采樣定理告訴我們，對于頻率為f 的信號，我們至少要用2f的頻率來采樣，才能把它恢復(fù)出來。從前面的敘述，我們知道，空間頻率一般是用每毫米線對數(shù)來表示的。一個(gè)線對就是一個(gè)周期，我們至少需要兩個(gè)像素來采樣它。因此，如果一個(gè)鏡頭，它最高可以分辨n lp/mm頻率的條紋，那么我們必須保證每毫米有2n個(gè)像素才行，這樣才能充分利用鏡頭的分辨能力；反過來，如果我們每mm只有n個(gè)像素，那么鏡頭分辨率做到n/2 lp/mm就可以了，再做高沒意義，在離散采樣的過程會丟失掉這些高頻信息。

四、艾里斑、線對與MTF

是時(shí)候把艾里斑和MTF聯(lián)系起來了。我們來看一看艾里斑對對比度的衰減能達(dá)到什么程度。

首先來看最經(jīng)典的一個(gè)情形——瑞利判據(jù)。瑞利判據(jù)是說，當(dāng)兩個(gè)相鄰的艾里斑距離為其半徑時(shí)，這兩個(gè)艾里斑勉強(qiáng)能夠分辨出來。

我們看到，從一個(gè)艾里斑的中心3到另一個(gè)艾里斑的中心5，依次經(jīng)歷了一個(gè)從最亮到最暗再到最亮的過程。因此，一個(gè)線對(兩個(gè)像素)的寬度等于艾里斑的半徑大小。當(dāng)然由于它們是這么密，實(shí)際上暗部和亮部沒差多少，MTF非常差，只有0.09。在這個(gè)頻率往上，系統(tǒng)是衍射受限的。哪怕沒有任何像差，MTF都很差，細(xì)節(jié)幾乎不可分辨。

好，我們不要太貪心，條紋太密的話MTF很差，沒有意義。我們將空間頻率減小一半，讓一個(gè)線對寬帶等于艾里斑直徑的大小

可以看到條紋變寬了以后，對比度明顯提高了不少(MTF約有50%左右) 頻率繼續(xù)減半，讓一個(gè)線對寬帶等于兩個(gè)艾里斑直徑大小

這個(gè)時(shí)候，對比度已經(jīng)很好了(MTF~0.8)。可以說，在這個(gè)空間頻率之下，系統(tǒng)已經(jīng)不再是衍射受限了，影響像質(zhì)的主要是光學(xué)系統(tǒng)的像差，只要像差控制得夠好，接近理想光學(xué)系統(tǒng)，那么MTF可以做得很好。

至此我們可以來回答一下第一個(gè)問題。對于一個(gè)F數(shù)為2.8的鏡頭，假設(shè)我們用555nm的黃綠光來成像，像素大小做到多少合適呢？我們?nèi)【€對寬度等于艾里斑的直徑大小作為依據(jù)，此時(shí)只考慮衍射的話，MTF約有0.5，也還算可以了。一個(gè)線對對應(yīng)兩個(gè)像素，那么一個(gè)像素大小就相當(dāng)于艾里斑的半徑，也就是1.22λF，算出來約為1.9微米。如果固定傳感器大小的話，那么它的像素?cái)?shù)就是有上限的。到達(dá)一個(gè)限度，再增加像素?cái)?shù)，就會導(dǎo)致像素小于1.9微米，再增加的像素已經(jīng)提供不了新的信息了。具體表現(xiàn)，就是我們經(jīng)?？词謾C(jī)拍的圖片時(shí)會有的感覺，雖然像素很多，但只能在一個(gè)縮放比例以下去看，放大到原始大小來看，像素和像素之間是模糊的，沒有細(xì)節(jié)。

五、線對越多，MTF越高，鏡頭就越好嗎？

現(xiàn)在來說說第二個(gè)問題吧。假設(shè)有兩個(gè)鏡頭，一個(gè)到30lp/mm時(shí)，MTF就降到了0.5；而另一個(gè)直到60 lp/mm時(shí)，MTF才降到0.5。那可不可以說后一個(gè)鏡頭好呢？

首先我們來想一下，什么是好鏡頭呢？從純技術(shù)角度說，就是拍同樣的景物，看到的細(xì)節(jié)比較多的那個(gè)鏡頭比較好嘍。那這樣看來是不是上面說的后一個(gè)鏡頭比較好呢，因?yàn)樗麺TF好，細(xì)節(jié)比較多嘛。但我們別忘了還有另一個(gè)前提，“拍同樣的景物”。是啊，后一個(gè)鏡頭在像面上是能分辨更多的條紋。但如果它視場比較小呢，為了看到同樣大小的景物，它就得距離遠(yuǎn)一點(diǎn)，把景物縮小到感光芯片的范圍內(nèi)。這樣一來，換算到物方，誰能看清更多的細(xì)節(jié)還真不好說。

我們再來說得具體一點(diǎn)吧。假設(shè)那個(gè)30線對的鏡頭是一個(gè)全幅單反上的，全幅單反的CCD大小為36*24mm，我們假設(shè)它的像素大小是1000/30/2=16微米，這樣它剛好能充分利用鏡頭的分辨能力。1mm長度上就有60個(gè)像素，那我們的像素?cái)?shù)就是36*60*24*60=3.1e6，310萬像素；而另一個(gè)鏡頭呢，它是一個(gè)手機(jī)的鏡頭模組，我們假設(shè)感光CMOS和iPhone5S這么大吧，網(wǎng)上查到它的大小是1/3"，大概是4.89*3.67mm。同樣假設(shè)像素大小剛好夠用，1mm長度上120個(gè)像素(看了前面的文章，你應(yīng)該明白再來更多的像素也沒有用，鏡頭分辨力有限)，那么它的像素?cái)?shù)是4.89*3.67*120*120=0.26e6，26萬！！想象一下，比如有一幅畫，你用單反去拍(配上前面那個(gè)鏡頭哦)，使之剛剛好充滿視場，那這幅畫會被分成310萬個(gè)像素；同樣的一幅畫，你用手機(jī)去拍呢，只有26萬個(gè)像素點(diǎn)。你說誰能看到的細(xì)節(jié)更多呢？

所以我們可以得出結(jié)論了：看一個(gè)鏡頭好不好，不能光看數(shù)字，多少線對時(shí)MTF是多少，得結(jié)合應(yīng)用場合來看。當(dāng)然如果兩個(gè)鏡頭都用在同樣規(guī)格的感光芯片上，在同樣的線對MTF越高當(dāng)然就越好了。

六、感光芯片的像素?cái)?shù)

你可能不服氣，前面兩個(gè)鏡頭，MTF曲線都是你隨口編的，最后算出來iPhone5S只需要26萬像素就夠了，簡直貽笑大方。實(shí)際手機(jī)用的鏡頭，MTF能分辨的線對，比你這個(gè)高多了，否則5S為何還要做到8MP(3264*2448)。嗯，好，我們嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)，用真實(shí)的iPhone5S的數(shù)據(jù)來計(jì)算點(diǎn)東西。

網(wǎng)上查到的iPhone5S數(shù)據(jù)如下：

鏡頭：5片塑料鏡片，F(xiàn)2.2，焦距4.12mm

感光芯片：大小4.89*3.67mm，像素大小1.5微米，像素?cái)?shù)3264*2448。

首先:3264*1.5e-3=4.896，2448*1.5e-3=3.672，和感光芯片大小一致。

鏡頭的MTF數(shù)據(jù)查不到，我們就按像素大小來，我們假設(shè)鏡頭保證不拖后腿。那就是1000/2/1.5=333lp/mm。看吧，前面編的數(shù)據(jù)果然胡扯，和實(shí)際情況相差太大了。別急，前面本來就是為了方便比較，隨便舉的一個(gè)例子嘛。我們從另一個(gè)角度看，iPhone5S的鏡頭能分辨到333線對，而一般單反鏡頭呢，你去看測評報(bào)告，都是30lp啊。如果說iPhone5S的5個(gè)塑料鏡片就比光學(xué)廠家辛苦設(shè)計(jì)的單反鏡頭好，誰也不信吧。是不是再次證明了前面的那個(gè)結(jié)論呢。

放眼當(dāng)今手機(jī)界，iPhone5S才800萬像素，太少了，簡直比山寨機(jī)都不如啊。試試幫它把像素?cái)?shù)提高點(diǎn)吧。要提高像素?cái)?shù)，有兩個(gè)辦法，一個(gè)是維持像素大小不變，直接增加像素。這樣的話感光芯片大小就會增加，同時(shí)鏡頭大小也有隨之增加，整個(gè)CMOS模組體積就要變大，不劃算。另一個(gè)辦法就是維持感光芯片大小不變，減小像素尺寸。那樣其實(shí)對鏡頭的分辨能力要求就更高了，5片塑料片可能不夠。不，我們假設(shè)鏡頭足夠好，你盡管減小像素尺寸就行了。像素大小最小能做到1.22λF，假設(shè)λ=550nm，那像素大小就是：1.48微米?。?！看了iPhone5S已經(jīng)盡力了。

另外，現(xiàn)在的手機(jī)，為了像素做小，F(xiàn)數(shù)都做得比較小。這就對鏡頭像差提出了很高的要求。所以有時(shí)光看F數(shù)，只計(jì)算衍射帶來的像質(zhì)退化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。只能說從F數(shù)計(jì)算出來的最大像素?cái)?shù)是一個(gè)上限，實(shí)際上還應(yīng)該要打不少折扣的。

審核編輯：郭婷