如何在軟件中實(shí)現(xiàn)高精度NCO

在本系列的第 1 部分中，我們將了解如何基于直接數(shù)字頻率合成 （DDFS） 原理設(shè)計(jì)一個(gè)非常精確的正弦波發(fā)生器，但在浮點(diǎn) DSP 處理器上通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)。在第 2 部分中，我們將介紹如何在軟件中實(shí)現(xiàn)高精度 NCO。

構(gòu)建一個(gè)具有與最好的模擬振蕩器相似或更好的失真性能的高精度交流音發(fā)生器，如最著名的惠普分析儀或應(yīng)用筆記 AN-1323 中所述，即使專用于音頻，也不是一件容易的事頻譜（直流至 20 kHz 范圍）。然而，如前所述，完整的軟件實(shí)現(xiàn)，使用嵌入式處理器的足夠算術(shù)精度執(zhí)行相位計(jì)算 （ωt） 和正弦函數(shù) （sin（ωt）） 近似，當(dāng)然可以幫助最大限度地減少量化副作用、噪聲、以及由此產(chǎn)生的馬刺。這意味著圖 2 中的所有 NCO 功能塊都轉(zhuǎn)換為代碼行（沒(méi)有 VHDL！

對(duì)于相位到正弦幅度轉(zhuǎn)換引擎，完整的 LUT 方案或任何變化都需要過(guò)多的內(nèi)存或過(guò)多的插值操作才能實(shí)現(xiàn)完美的正弦一致性。相反，用于正弦逼近的多項(xiàng)式方法通過(guò)允許使用成本非常低的通用 DSP，提供了非常好的復(fù)雜性與精度之間的折衷。多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)也非常有吸引力，因?yàn)樗鄬?duì)簡(jiǎn)單，并且能夠在選擇冪級(jí)數(shù)類型時(shí)提供充分的靈活性，并為給定的精度定制算法。它不需要大的存儲(chǔ)空間、少于 100 行 SHARC DSP 裝配線，并且只需要幾個(gè) RAM 位置來(lái)存儲(chǔ)多項(xiàng)式系數(shù)和變量，因?yàn)檎抑祪H在采樣時(shí)刻計(jì)算。

首先，正弦逼近函數(shù)的明顯選擇是使用具有適當(dāng)階數(shù)的直線 Taylor/MacLaurin 冪級(jí)數(shù)來(lái)滿足目標(biāo)精度。然而，由于冪級(jí)數(shù)往往在端點(diǎn)處失效，因此在執(zhí)行任何多項(xiàng)式評(píng)估之前，必須將參數(shù)輸入范圍縮小到更小的區(qū)間。在沒(méi)有參數(shù)范圍縮減的情況下，只有非常高階的多項(xiàng)式才能支持函數(shù)域上的高精度，例如 ［–π， +π］。因此，需要對(duì)初等函數(shù)應(yīng)用一些變換以得到簡(jiǎn)化參數(shù)，例如 sin（|x|） = sin（f + k × π/2） 和 sin（f） = sin（x – k × π/ 2） 0≤f《π/2。因此，應(yīng)特別注意三角函數(shù)以避免減法抵消，這將導(dǎo)致嚴(yán)重的精度損失并產(chǎn)生災(zāi)難性的結(jié)果，尤其是在算術(shù)精度較差的情況下。在我們的例子中，當(dāng)相位輸入較大或接近 π/2 的整數(shù)倍時(shí)，可能會(huì)發(fā)生這種情況。

除了周期性和模 2π 重復(fù)之外，sin（x） 函數(shù)的對(duì)稱特性還可用于進(jìn)一步減小逼近范圍。鑒于正弦函數(shù)在區(qū)間 ［0， 2π］ 中關(guān)于點(diǎn) x = π 反對(duì)稱，因此可以使用以下關(guān)系：

將范圍縮小到 ［0， π］。以同樣的方式，sin（x） 顯示了關(guān)于區(qū)間 ［0， π］ 中由 x = π/2 定義的線的對(duì)稱性，使得：

對(duì)于區(qū)間 ［0， π/2］ 中的 x，這進(jìn)一步減小了角度輸入逼近范圍。進(jìn)一步將參數(shù)減少到更小的區(qū)間（如 ［0， π/4］ 以提高準(zhǔn)確性）效率不高，因?yàn)樗枰瑫r(shí)評(píng)估正弦和余弦函數(shù)，這由常見(jiàn)的三角關(guān)系決定：sin（a+b ） = sin（a） × cos（b） + cos（a） × sin（b），值得產(chǎn)生正交音。

ADI 公司的 ADSP-21000 系列應(yīng)用手冊(cè)第 1 卷描述了一種幾乎理想的（用于嵌入式系統(tǒng)）正弦逼近函數(shù)，該函數(shù)基于為第一個(gè) ADI DSP 浮點(diǎn)處理器（即 ADSP-21020）編寫的優(yōu)化冪級(jí)數(shù)，它基本上是一個(gè)SHARC核心。sin（x） 的這種實(shí)現(xiàn)依賴于 Hart 等人 4 發(fā)表并由 Cody 和 Waite5 改進(jìn)的極小極大多項(xiàng)式近似，用于浮點(diǎn)運(yùn)算，以減少舍入誤差并避免如前所述的取消的發(fā)生。minimax 方法依賴于 Chebyshev 多項(xiàng)式和 Remez 交換算法來(lái)確定所需最大相對(duì)誤差的系數(shù)。如圖 3 中的 MATLAB 所示，

圖 3. 與定義在 0 附近的 Taylor-MacLaurin 方法不同，極小極大正弦近似方法在 ［–π/2 到 +π/2］ 區(qū)間內(nèi)最小化和均衡最大相對(duì)誤差。

雖然所有計(jì)算都可以使用 32 位定點(diǎn)算術(shù)執(zhí)行，但多年來(lái)，最常見(jiàn)和最方便的數(shù)學(xué)計(jì)算格式一直是 IEEE 754 浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)，尤其是在處理長(zhǎng)數(shù)時(shí)。當(dāng)時(shí)根本沒(méi)有單片浮點(diǎn)DSP處理器，只有ADSP-3212和ADSP-3222等簡(jiǎn)單的浮點(diǎn)乘法器和ALU計(jì)算IC。這種格式取代了計(jì)算機(jī)行業(yè)的大多數(shù)專有格式，并成為所有 SHARC DSP 處理器的原生格式，包括單精度 32 位、擴(kuò)展精度 40 位以及最近用于 ADSP-SC589 的雙精度 64 位和 ADSP-SC573。

SHARC 40 位擴(kuò)展單精度浮點(diǎn)格式及其 32 位尾數(shù)為該正弦波生成應(yīng)用提供了足夠的精度 （u 2–32） 并保持相等，Cody 和 Waite 表明 15 階多項(xiàng)式是合適的對(duì)于 32 位的整體精度，在 ［0 到 +π/2］ 輸入域上具有均勻分布的誤差。最小化運(yùn)算次數(shù)并保持準(zhǔn)確性的最后調(diào)整是實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式計(jì)算的霍納規(guī)則，這是一種在一個(gè)點(diǎn)上計(jì)算多項(xiàng)式的快速取冪方法，例如：

R1 到 R7 是多項(xiàng)式級(jí)數(shù)的 Cody 和 Waite 系數(shù)，只需 8 次乘法和 7 次加法即可計(jì)算任何輸入?yún)?shù) ε［0， π/2］ 的正弦函數(shù)。以匯編子程序形式編寫的完整 sin（x） 近似代碼在 SHARC 處理器上大約需要 22 個(gè)內(nèi)核周期執(zhí)行。原始匯編子程序被修改為在獲取 40 位多項(xiàng)式浮點(diǎn)系數(shù)時(shí)同時(shí)執(zhí)行雙內(nèi)存訪問(wèn)，以節(jié)省六個(gè)周期。

圖 4. 軟件 DDS 簡(jiǎn)化框圖給出了數(shù)據(jù)算術(shù)格式和處理元件之間各種量化步驟的位置。

NCO 64 位相位累加器本身使用雙精度二進(jìn)制補(bǔ)碼小數(shù)格式的 SHARC 32 位 ALU 來(lái)執(zhí)行。具有內(nèi)存更新的完整相位累加器執(zhí)行需要 11 個(gè)內(nèi)核周期，因此，每個(gè) NCO 輸出樣本在大約 33 個(gè)內(nèi)核周期內(nèi)生成。

圖 4 中的圖表顯示了基于軟件 DSP 的 NCO 的功能塊實(shí)現(xiàn)，其中參考了每個(gè)階段的算術(shù)格式精度。此外，信號(hào)模擬重構(gòu)還需要一個(gè)或兩個(gè) DAC 及其模擬抗混疊濾波器電路，以實(shí)現(xiàn)完整的 DDFS。處理鏈的關(guān)鍵要素是：

64位相位累加器（SHARC ALU雙精度加法溢出）；

64 位小數(shù)定點(diǎn)到 40 位 FP 轉(zhuǎn)換塊；

范圍縮減塊 ［0 到 + π/2］ 和象限選擇（Cody 和 Waite）；

用于相位幅度轉(zhuǎn)換的正弦逼近算法 （Hart）；

–1.0 到 +1.0 范圍內(nèi)的 sin（x） 重建和歸一化階段；

必要時(shí)進(jìn)行 LP FIR 濾波器和 sin（x）/x 補(bǔ)償；

以及 40 位 FP 到 D 位定點(diǎn)轉(zhuǎn)換和縮放功能，以適應(yīng) DAC 數(shù)字輸入。

可以在 NCO 的輸出端放置一個(gè)可選的數(shù)字低通濾波器，以消除可能折疊在感興趣頻帶中的任何雜散和噪聲?？蛇x地，該濾波器可以根據(jù)為模擬重建選擇的 DAC 提供插值和/或逆 sin（x）/x 頻率響應(yīng)補(bǔ)償。這種低通 FIR 濾波器可以使用 MATLAB 濾波器設(shè)計(jì)器工具來(lái)設(shè)計(jì)。例如，假設(shè)采樣頻率為 48 kSPS，直流至 20 kHz 帶寬，帶內(nèi)紋波為 0.0001 dB，帶外衰減為 –150 dB，則可以使用 40 位浮點(diǎn)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量等紋波濾波器系數(shù)。只有 99 個(gè)濾波器系數(shù)，它的總執(zhí)行時(shí)間將在單指令、單數(shù)據(jù) （SISD） 單計(jì)算單元模式下消耗大約 120 個(gè) SHARC 內(nèi)核周期。數(shù)字濾波后，DMA 使用其中一個(gè) DSP 同步串行端口將計(jì)算的樣本對(duì)發(fā)送到 DAC。為了獲得更好的速度性能，鏈接 DMA 操作也可以與大型乒乓存儲(chǔ)器緩沖區(qū)一起支持按塊操作進(jìn)行處理。例如，塊數(shù)據(jù)大小可以等于 FIR 數(shù)據(jù)延遲線的長(zhǎng)度。

NCO 的最終調(diào)整以獲得最佳 SFDR

如前所述，NCO 受到雜散的影響主要是由于相位累加器輸出的截?cái)?，并且在較小程度上，來(lái)自對(duì)通過(guò)計(jì)算或制表獲得的正弦值進(jìn)行的幅度量化。相位截?cái)鄬?dǎo)致的誤差通過(guò)相位調(diào)制（鋸齒波）在載波頻率附近產(chǎn)生雜散，而正弦幅度量化導(dǎo)致諧波相關(guān)的雜散，盡管長(zhǎng)期以來(lái)被認(rèn)為是隨機(jī)誤差和噪聲。今天，如 Henry T. Nicholas 和 H. Samueli 的技術(shù)論文 7 中所描述的，相位累加器的操作在數(shù)學(xué)上是眾所周知的。經(jīng)過(guò)全面分析，提出了一個(gè)模型，將相位累加器視為離散相位樣本置換發(fā)生器，從中可以預(yù)測(cè)頻率雜散。

（其中 GCD 是最大公約數(shù)）由頻率調(diào)諧字 M 的最右邊位位置 L 確定，如圖 4 所示。因此，L 的值定義了序列類別，每個(gè)類別共享自己的一組相位組件，但根據(jù)排列

比率。在時(shí)域中生成的這些截?cái)嘞辔粯颖拘蛄杏糜谕ㄟ^(guò) DFT 確定頻域中每個(gè)雜散線的相應(yīng)位置和幅度。這些序列還表明 M （FTW） 的奇數(shù)值表現(xiàn)出最低頻率雜散的幅度，并建議對(duì)相位累加器進(jìn)行簡(jiǎn)單修改，以滿足這些最小條件，只需將 1 LSB 添加到 FTW。這樣，無(wú)論 M 值和相位累加器的初始內(nèi)容如何，相位累加器輸出序列都被迫始終具有相同的 2N 個(gè)相位元素。然后，最差雜散音幅度的電平降低 3.922 dB，等于 SFDR_min （dBc） = 6.02 × W。 Nicholas 改進(jìn)的相位累加器為 NCO 帶來(lái)了幾個(gè)好處，

圖 5. FTW 最右邊的非零位的位置設(shè)置了理論上的 SFDR 最壞情況水平。Nicholas 改進(jìn)的相位累加器解決了任何 N 值的問(wèn)題，并使 NCO 的 SFDR 最大化。

因此，對(duì)于 32 位的輸出相位字 W，由于相位截?cái)喽鴮?dǎo)致的最大雜散幅度被限制為 –192 dBc！正弦樣本值的有限量化也會(huì)導(dǎo)致另一組頻率雜散，通常將其視為噪聲，并通過(guò)眾所周知的關(guān)系 SNRq（dB） = 6.02 × D + 1.76 進(jìn)行估計(jì)。由于相位到正弦幅度轉(zhuǎn)換算法階段的近似誤差，這必須添加到寄生元素中，但是，考慮到在選擇相位到正弦近似算法和計(jì)算的精度。

這些結(jié)果表明，我們的軟件正弦 NCO 的線性度和噪聲都處于理論水平，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了測(cè)試市場(chǎng)上大多數(shù)高精度 ADC 所需的閾值。仍然需要找到信號(hào)鏈中最后但也是最關(guān)鍵的元素：重建 DAC 及其互補(bǔ)模擬抗混疊濾波器和相關(guān)的驅(qū)動(dòng)器電路，這些都可以滿足預(yù)期的性能水平。

審核編輯：郭婷