如何在相控陣設(shè)計中應(yīng)用優(yōu)化技術(shù)

在本篇文章中，我們會展開一個適用于采用相控陣前端的雷達(dá)和無線系統(tǒng)應(yīng)用的主題。 內(nèi)容涵蓋：

如何在相控陣設(shè)計中應(yīng)用優(yōu)化技術(shù)。

什么是二次規(guī)劃？

在設(shè)計過程中采用優(yōu)化解算器。

當(dāng)設(shè)計大型相控陣系統(tǒng)時，這種優(yōu)化工作流程可以節(jié)省大量時間，因為此過程會涉及很多設(shè)計參數(shù)，包括單個天線單元的位置和應(yīng)用到每個天線單元的權(quán)重。因此，當(dāng)從事電磁解算器層級的物理陣列設(shè)計工作以及系統(tǒng)層級陣列設(shè)計工作時，可以采用這些優(yōu)化技術(shù)。

本文專注于系統(tǒng)級應(yīng)用，同時我們在文章末尾提供了一個鏈接，通過其可以獲取有關(guān)電磁解算器級應(yīng)用的更多資源。

與單天線天線單元相比，相控陣的一個主要優(yōu)點是可以形成一個波束（或多個波束），以增強所需的信號并降低干擾信號的影響。

通常，在合成一種方向圖時，N 天線單元相控陣可提供 N 個自由度。這意味著可以調(diào)整N個權(quán)值，每個天線單元一個權(quán)值，以控制波束形狀，從而滿足一些預(yù)定義的約束。

正如在這篇博客（https://www.mwrf.com/technologies/systems/article/21849359/algorithms-to-antenna-synthesizing-an-antenna-array-with-optimization-techniques）中所述，可以采用各種技術(shù)來實現(xiàn)方向圖合成，包括調(diào)零、加窗和稀布(Thinning)。應(yīng)用優(yōu)化技術(shù)有助于消除方向圖合成時的“反復(fù)試錯”過程。

許多常用的波束形成技術(shù)都可以表示為優(yōu)化問題。例如，最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）波束形成器用于最大限度減小總噪聲輸出，同時保留給定方向的信號。我們之前在另一篇博客中介紹了此類波束形成器，但在數(shù)學(xué)上，通過解決優(yōu)化問題即可得到MVDR波束形成權(quán)值。

在本文中，我們省略了數(shù)學(xué)運算，但是一個 N 天線單元陣列能夠處理 N?1 個約束。MVDR 波束形成器可以進行擴展，以包含更多約束，從而成為線性約束最小方差（LCMV）波束形成器。LCMV 波束形成器中的附加約束常用于消除給定方向的干擾。

這些技術(shù)適用于任何陣列結(jié)構(gòu)，但我們考慮一個包含 32 個天線單元、天線單元之間具有半波長間距的均勻線性陣列。我們可以采用 LCMV 方法執(zhí)行陣列合成。我們的相關(guān)信號位于0度方位，干擾源位于 -70 度、-40 度和 -20 度方位。噪聲功率假定比信號低 40 dB。圖 1 顯示了我們的方向圖結(jié)果。此波束形成器可有效消除垂直虛線圖中所示方向的噪聲源。

1.LCMV波束形成器用于消除干擾源。（2021 The MathWorks, Inc.）

MVDR 和 LCMV 算法的一個共同點是只處理等式約束。但是，方向圖合成的另一常見要求是確保陣列響應(yīng)一組給定的角度范圍內(nèi)低于某一閾值。例如，我們可以將以下要求添加到所需方向圖中：

1. 在 ?30 和 ?10 度方位之間，旁瓣應(yīng)低于 ?40 dB。

2. 在主瓣以外的任何地方，旁瓣應(yīng)低于 ?20 dB。

圖 2 闡述了我們將嘗試實現(xiàn)的系統(tǒng)所需的方向圖要求。

2.圖示為陣列方向圖的所需特性。（2021 The MathWorks, Inc.）

MVDR 和 LCMV 算法無法再用于解決此類問題，因此我們想介紹另一種涉及優(yōu)化解算器的技術(shù)。

優(yōu)化解算器用于最小化給定約束集下的目標(biāo)函數(shù)?；谀繕?biāo)函數(shù)和約束條件，一些優(yōu)化解算器比其他解算器更有效。因此，選擇適合應(yīng)用的優(yōu)化解算器非常重要。

在本文中，由于目標(biāo)函數(shù)旨在最大限度減小功率，所以很自然地將其視為二次規(guī)劃（QP）問題。例如，可以使用優(yōu)化工具箱中（https://www.mathworks.com/products/optimization.html）的 quadprog 函數(shù)。

盡管 QP 解算器似乎很適合我們的方向圖合成問題，但是將陣列合成問題轉(zhuǎn)化為 QP 公式并不簡單。這是因為解算器通常處理實數(shù)，而陣列方向圖計算會涉及復(fù)數(shù)。我們需要首先將復(fù)數(shù)運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算，形成目標(biāo)函數(shù)和約束的實部和虛部，然后確立二次規(guī)劃并使用解算器。

圖 3 所示為使用合成權(quán)值產(chǎn)生的方向圖。請注意重疊的虛線部分，這就是我們的所需要求。?70、?40 和?20 度方位均為零，并實現(xiàn)了新的旁瓣水平。

3.此合成方向圖采用二次規(guī)劃優(yōu)化技術(shù)，滿足了所需要求。（2021 The MathWorks, Inc.）

二次規(guī)劃可以完成此項工作。但是，為了將復(fù)數(shù)約束轉(zhuǎn)化為實數(shù)約束，我們不得不分別考慮實部和虛部，而在理論上，我們只需要確保兩者的范數(shù)滿足不等式。因此，在QP公式中，我們對波束方向圖的實部和虛部采用更嚴(yán)格的約束。

另一種優(yōu)化解算器稱為二階錐規(guī)劃（SOCP），具有以范數(shù)形式定義的約束。此解算器可為解決我們的問題提供另一種可行的選擇。

此外，由于我們方向圖合成問題中的約束更自然地與 SOCP 公式相匹配，所以我們預(yù)計采用 SOCP 獲得的結(jié)果可能優(yōu)于通過QP獲得的結(jié)果。

但是，即使 SOCP 問題的目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)而不是范數(shù)，也可以將包含范數(shù)的原目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為附加的二階錐約束。然后，可以利用 SOCP 解決我們的最小方差方向圖合成問題。

圖 4 展示了采用優(yōu)化工具箱中的 coneprog 函數(shù)實現(xiàn)的方向圖。將此結(jié)果與通過 QP 得到的方向圖進行比較，我們可以看到，SOCP 解算器達(dá)到了更低的旁瓣水平。

4.在這里，合成方向圖采用二次規(guī)劃優(yōu)化技術(shù)，滿足了所需要求，并與SOCP相比。（2021 The MathWorks, Inc.）您可以采用相控陣系統(tǒng)工具箱、天線工具箱和優(yōu)化工具箱設(shè)計系統(tǒng)中的陣列。相控陣系統(tǒng)工具箱 https://www.mathworks.com/products/phased-array.html 天線工具箱 https://www.mathworks.com/products/antenna.html 優(yōu)化工具箱 https://www.mathworks.com/products/optimization.html

審核編輯 ：李倩