關(guān)于零點(diǎn)和極點(diǎn)

不知不覺(jué)，環(huán)路內(nèi)容已經(jīng)寫(xiě)了7節(jié)了，以理論分析為主，下面來(lái)說(shuō)說(shuō)兄弟們都很關(guān)心的內(nèi)容——零點(diǎn)和極點(diǎn)。

前面幾節(jié)內(nèi)容，我們已經(jīng)將傳遞函數(shù)的來(lái)源，推導(dǎo)過(guò)程說(shuō)明白了。有了傳遞函數(shù)，我們就能夠畫(huà)出波特圖，就能夠分析系統(tǒng)到底穩(wěn)不穩(wěn)定。

但是問(wèn)題來(lái)了，假如我們得到的波特圖表明這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么該如何調(diào)整呢？該修改什么器件呢？或者說(shuō)一個(gè)原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，但是我們想修改其中某個(gè)元件，會(huì)不會(huì)造成系統(tǒng)不穩(wěn)定？總不至于每次修改一個(gè)器件，然后畫(huà)出傳遞函數(shù)看看長(zhǎng)什么樣子，不行就接著改？這種鳥(niǎo)槍法總歸不好。

鳥(niǎo)槍法不行，自然有更好的法子，那就是找到一些特殊點(diǎn)進(jìn)行分析。這些特殊點(diǎn)，就是零點(diǎn)和極點(diǎn)，零點(diǎn)和極點(diǎn)可以幫助我們調(diào)整電路。

關(guān)于零點(diǎn)和極點(diǎn)，結(jié)合我自己的經(jīng)驗(yàn)，我覺(jué)得以下幾個(gè)問(wèn)題是值得思考一下的。

1、傳遞函數(shù)中，讓分母為0的頻率點(diǎn)叫極點(diǎn)，既然分母為0，那算出來(lái)的值不是無(wú)窮大嗎？增益無(wú)窮大？這也能出現(xiàn)？

2、老是看到說(shuō)增加一個(gè)電容，就增加了一個(gè)極點(diǎn)，增加一個(gè)電阻，就增加了一個(gè)零點(diǎn)，這到底是怎么回事？其中的道理又是為什么？

3、拿到具體的電路，那個(gè)零極點(diǎn)如何能直接看出來(lái)呢？

這一節(jié)就來(lái)看看上面這幾個(gè)問(wèn)題吧。

零點(diǎn)和極點(diǎn)的定義

先來(lái)復(fù)習(xí)一下概念，什么是零點(diǎn)和極點(diǎn)，一般教材上面給出的定義大致是這樣的：

極點(diǎn)

上面這個(gè)很好理解，清晰明了，但是一個(gè)大坑也就隨之而來(lái)了。如果從數(shù)學(xué)公式的角度看，這定義沒(méi)啥好說(shuō)的，該咋樣咋樣。

但是一放到電路里面去，就尷尬了，H(s)的物理意義不是輸出除以輸入嗎？

那極點(diǎn)的意思不就是使輸出為無(wú)窮大的點(diǎn)，既然輸出無(wú)窮大了，那么系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的，那么我們常說(shuō)的極點(diǎn)又到底是什么？

比如下面是從網(wǎng)上找的別人寫(xiě)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的物理意義，難道自己寫(xiě)的時(shí)候不懵嗎？

那怎么理解我上面這個(gè)問(wèn)題呢？

結(jié)合實(shí)際的情況，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)算出來(lái)的根多是負(fù)數(shù)，而現(xiàn)實(shí)世界中是沒(méi)有負(fù)頻率的，貌似都是直接把負(fù)號(hào)去掉之后稱(chēng)為極點(diǎn)。

比如下面的低通濾波器的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)：

假如R=1Khz，C=1uF，那么極點(diǎn)是s=-1000，但是我們通常說(shuō)極點(diǎn)是1000，理由貌似是自然界中沒(méi)有負(fù)頻率，所以對(duì)s求了個(gè)模，頻率w=|s|=1000，我們把這個(gè)求模后的值也還是叫極點(diǎn)，并沒(méi)有重新取名字。

這個(gè)取了模之后的極點(diǎn)再代入原式子H(s)中，就不能夠使H(s)等于無(wú)窮大了，當(dāng)然了，也不能是無(wú)窮大，因?yàn)闊o(wú)窮大意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定。我們研究的電路系統(tǒng)一般是穩(wěn)定的，所以基本上極點(diǎn)都是負(fù)的，或者說(shuō)在復(fù)平面的左半平面。

不過(guò)，我們所有的系統(tǒng)的極點(diǎn)都是負(fù)的嗎？都在左半平面嗎？

我想也不是的，這讓我想到了皮爾斯晶體振蕩器，它輸入為0，但是能夠輸出一個(gè)固定的頻率的信號(hào)，即晶振的輸出嘛，我猜它應(yīng)該是有極點(diǎn)在右半平面的。因?yàn)榫д癫痪褪且约赫袷幤饋?lái)嗎？當(dāng)然，我的猜測(cè)也可能是錯(cuò)誤的，感興趣的兄弟可以研究研究。

總之吧，對(duì)于具體的電路，我們常說(shuō)的極點(diǎn)，已經(jīng)不再是嚴(yán)格摳定義得到的極點(diǎn)了，而是取了絕對(duì)值之后的，其對(duì)應(yīng)信號(hào)的頻率都是正的，代入系統(tǒng)就不再能使輸出無(wú)窮大。

極點(diǎn)就說(shuō)這么多吧，來(lái)看看零點(diǎn)

零點(diǎn)

相對(duì)于極點(diǎn)一般都是負(fù)的，根據(jù)系統(tǒng)的不同，零點(diǎn)是有負(fù)的，也有正的，像boost，Buck-boost，F(xiàn)lyback都是有右半平面零點(diǎn)，也就是分子N(s)=0有正的根。

零點(diǎn)和極點(diǎn)定義的問(wèn)題就先說(shuō)這么多吧，總的來(lái)說(shuō)，我們求解的零點(diǎn)和極點(diǎn)的時(shí)候，可以假設(shè)下頻率可正可負(fù)的就好。

下面來(lái)看看，對(duì)于一個(gè)具體的電路，零點(diǎn)和極點(diǎn)都怎么快速的直接用眼睛“瞪”出來(lái)。

如何快速找到系統(tǒng)的零極點(diǎn)

功率級(jí)傳遞函數(shù)目前我是找不到快速的方法的，不過(guò)放大和補(bǔ)償級(jí)的傳遞函數(shù)，我倒是能想出點(diǎn)道道。

下面是常見(jiàn)的三種補(bǔ)償方式

如何快速找到零極點(diǎn)呢？

其實(shí)思路很簡(jiǎn)單，我們列出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)就行了，上面三種結(jié)構(gòu)，傳遞函數(shù)其實(shí)不就是放大器的增益表達(dá)式嗎？

傳遞函數(shù)都是：H(s)=實(shí)線(xiàn)橢圓阻抗/虛線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)阻，我們根據(jù)定義求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就行了。不過(guò)這個(gè)方法有點(diǎn)麻煩，還得計(jì)算。

簡(jiǎn)單一點(diǎn)是這么想，零點(diǎn)就是讓輸出為0的點(diǎn)，極點(diǎn)就是讓輸出為無(wú)窮大的點(diǎn)（這時(shí)候考慮負(fù)頻率，就是求的時(shí)候假定負(fù)頻率是存在的），然后我們?nèi)フ覍?duì)應(yīng)的點(diǎn)就行了。

I型補(bǔ)償

要想得到零點(diǎn)，那么我們就找使輸出等于0的頻率點(diǎn)，顯然，要想輸出等于0，必須C1的阻抗為0，電容的阻抗是1/sC，那么得頻率為無(wú)窮大才行，一般我們不考慮無(wú)窮大的頻率，所以說(shuō)I型補(bǔ)償沒(méi)有零點(diǎn)。

要想得到極點(diǎn)，那么我們需要找使輸出為無(wú)窮大的點(diǎn)，顯然，輸出無(wú)窮大，只需要電容C1的阻抗是無(wú)窮大就行，顯然，頻率為0時(shí)，輸出阻抗1/sC為無(wú)窮大，也就是說(shuō)0是I型補(bǔ)償?shù)臉O點(diǎn)。

所以，對(duì)于I型補(bǔ)償，沒(méi)有零點(diǎn)，有一個(gè)極點(diǎn)

II型補(bǔ)償

同樣的，要想得到零點(diǎn)，那么我們就找使輸出等于0的頻率點(diǎn)，顯然，要想輸出等于0，必須下面這一坨的阻抗為0。

這一坨的結(jié)構(gòu)是R2和C1串聯(lián)后，再和C2并聯(lián)。要想上面那一坨整體阻抗為0，要么C2的阻抗為0，要么R2和C1串聯(lián)后的阻抗為0。

因?yàn)椴豢紤]無(wú)窮大頻率，所以C2的阻抗不可能為0。R2和C1串聯(lián)后的阻抗是可以為0的，即R2+1/sC1=0，解出來(lái)就是s=-1/(R2*C1)，我們?nèi)〗^對(duì)值換算成頻率，即有一個(gè)零點(diǎn)w=1/(2π*R2*C1)

同樣的道理，極點(diǎn)就是下面一坨整體的阻抗為無(wú)窮大時(shí)的點(diǎn)

因?yàn)樯厦娼Y(jié)構(gòu)是并聯(lián)的關(guān)系，首先，可以很容易觀(guān)察到，當(dāng)頻率為0的時(shí)候，兩個(gè)并聯(lián)的支路阻抗都是無(wú)窮大，那么并聯(lián)之后自然還是無(wú)窮大，即，0是這個(gè)補(bǔ)償器的一個(gè)極點(diǎn)。

除此之外，R2和C1串聯(lián)之后，再與C2并聯(lián)，也會(huì)在其它的頻率點(diǎn)等于無(wú)窮大，有一個(gè)簡(jiǎn)單方法，只需要把R2和C1和C2的阻抗相加等于0，算出來(lái)的點(diǎn)就是極點(diǎn)，原理是什么呢？

所以，我們把R2和C1，C2阻抗加起來(lái)，如果阻抗等于0，那么整體并聯(lián)的阻抗就是無(wú)窮大的了，即R2+1/sC1+1/sC=0，那么最終極點(diǎn)就是：s=-(1/C1+1/C2)/R2。

取絕對(duì)值換算成頻率：w=(1/C1+1/C2)/(2π*R2)

所以，對(duì)于II型補(bǔ)償，有兩個(gè)極點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)。

III型補(bǔ)償

由前面可知，II型補(bǔ)償?shù)牧銟O點(diǎn)都是從反饋網(wǎng)絡(luò)得來(lái)的，我們觀(guān)察III型補(bǔ)償，它的反饋網(wǎng)絡(luò)和II型補(bǔ)償一模一樣。因此，III型補(bǔ)償反饋網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的零極點(diǎn)，同II型補(bǔ)償是一模一樣的，也有兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，就不再贅述了。

除了反饋網(wǎng)絡(luò)，III型補(bǔ)償在同相輸入的電阻上面并聯(lián)了電阻和電容，那么這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否產(chǎn)生零極點(diǎn)呢？

自然是會(huì)的，不然III型補(bǔ)償不就沒(méi)用了嗎？方法其實(shí)和前面差不多。

先看零點(diǎn)，零點(diǎn)是使輸出為0的點(diǎn)，要想輸出為0，那么虛線(xiàn)框的總阻抗要為無(wú)窮大。并聯(lián)之后阻抗要想等于無(wú)窮大，那么R1，R3，C3三者加起來(lái)的阻抗要等于0，原理還是下面這個(gè)

即：R1+R3+1/sC3=0，即s=-1/((R1+R3)*C3)，取絕對(duì)值然后換算成頻率：w=1/(2π*(R1+R3)*C3)

再看極點(diǎn)，極點(diǎn)是使輸出為無(wú)窮大的點(diǎn)，要想輸出為無(wú)窮大，那么虛線(xiàn)框的總阻抗為0。易知，當(dāng)R3和C3串聯(lián)的阻抗為0，那么虛線(xiàn)框的總阻抗就為0。R3+1/sC3=0，算s=-1/(R3*C3)，取絕對(duì)值之后換算成頻率：w=1/(2π*R3*C3)，即該頻率點(diǎn)就是一個(gè)極點(diǎn)。

綜上所述，III型補(bǔ)償有3個(gè)極點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)。

上面三種補(bǔ)償匯總?cè)缦拢?/p>

以上是我覺(jué)得，寫(xiě)出零極點(diǎn)最快的方式了，基本不用動(dòng)筆，寫(xiě)得有點(diǎn)長(zhǎng)，顯得有點(diǎn)復(fù)雜。不過(guò)要是知道里面的道理，應(yīng)該還是挺方便的。

小結(jié)

本節(jié)內(nèi)容就寫(xiě)到這里了，主要針對(duì)常見(jiàn)的幾種補(bǔ)償，看怎么能做到“看著圖把零極點(diǎn)看出來(lái)”。

以上純屬個(gè)人想法，不一定對(duì)，有問(wèn)題可以留言交流。

審核編輯 ：李倩