關(guān)于數(shù)字預(yù)失真的數(shù)學(xué)計(jì)算及實(shí)現(xiàn)方法

DPD是數(shù)字預(yù)失真的首字母縮寫，許多射頻（RF）工程師、信號(hào)處理愛好者和嵌入式軟件開發(fā)人員都熟悉這一術(shù)語(yǔ)。DPD在蜂窩通信系統(tǒng)中隨處可見，使功率放大器（PA）能夠有效地為天線提供最大功率。隨著5G使基站中的天線數(shù)量增加，頻譜變得更加擁擠，DPD開始成為一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，支持開發(fā)經(jīng)濟(jì)高效且符合規(guī)格要求的蜂窩系統(tǒng)。

對(duì)于DPD，無(wú)論從純粹的數(shù)學(xué)角度出發(fā)，還是在微處理器上實(shí)現(xiàn)更受限制，我們?cè)S多人都有自己獨(dú)特的見解。您可能是負(fù)責(zé)評(píng)估RF基站產(chǎn)品中DPD性能的工程師，或者是一名算法開發(fā)人員，很想知道數(shù)學(xué)建模技術(shù)在實(shí)際系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)方式。本文旨在拓寬您的知識(shí)面，幫助您從各個(gè)角度全面了解這個(gè)主題。

什么是DPD？為什么要使用DPD？

當(dāng)基站射頻裝置輸出RF信號(hào)時(shí)（參見圖1），需要先將其放大，然后再通過天線發(fā)射。我們使用RF PA來(lái)執(zhí)行此操作（放大）。在理想情況下，PA接收輸入信號(hào)，然后輸出與其輸入成正比的更高功率信號(hào)。在執(zhí)行此操作期間，PA會(huì)盡可能保持高能效，將提供給放大器的大部分直流電源都轉(zhuǎn)化為信號(hào)輸出功率。

但這不是一個(gè)理想的世界。PA由晶體管構(gòu)成，晶體管是有源器件，本身具有非線性。如圖2所示，如果我們?cè)谄洹熬€性”區(qū)域使用PA（這里的線性是相對(duì)而言；所以加了引號(hào)），則輸出功率與輸入功率相對(duì)成比例。此方法的缺點(diǎn)是PA的使用效率通常很低，提供的大部分功率都會(huì)作為熱量流失。我們通常希望在PA開始?jí)嚎s時(shí)使用。這意味著，如果輸入信號(hào)增加了設(shè)定量（例如3 dB），PA輸出不會(huì)增加同樣的量（可能只增加1 dB）。很顯然，此時(shí)放大器使信號(hào)嚴(yán)重失真。

這種失真發(fā)生在頻域中的已知位置，具體取決于輸入信號(hào)。圖3顯示了這些位置，以及基頻與這些失真產(chǎn)物之間的關(guān)系。在RF系統(tǒng)中，我們只需要對(duì)基波信號(hào)附近的失真進(jìn)行補(bǔ)償，這些信號(hào)是奇階交調(diào)產(chǎn)物。系統(tǒng)濾波處理帶外產(chǎn)物（諧波和偶階交調(diào)產(chǎn)物）。圖4顯示RF PA的壓縮點(diǎn)附近的輸出。交調(diào)產(chǎn)物（特別是三階）清晰可見，就像是圍繞著目標(biāo)信號(hào)的“裙擺”。

DPD旨在通過觀察PA輸出來(lái)表征這種失真，要了解所需輸出信號(hào)，隨之更改輸入信號(hào)，使得PA輸出接近理想值。只有在相當(dāng)具體的情況下才能有效地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們需要配置放大器和輸入信號(hào)，使放大器有一定程度的壓縮但未完全飽和。

PA失真建模背后的數(shù)學(xué)計(jì)算

Volterra級(jí)數(shù)是DPD的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它用于建立具有記憶的非線性系統(tǒng)模型。記憶僅僅意味著系統(tǒng)的當(dāng)前輸出取決于當(dāng)前和過去的輸入。Volterra級(jí)數(shù)很常用（所以功能強(qiáng)大），在電氣工程以外的許多領(lǐng)域都有使用。對(duì)于PA DPD，Volterra級(jí)數(shù)可以精簡(jiǎn)使用，使其在實(shí)時(shí)數(shù)字系統(tǒng)中更易實(shí)現(xiàn)，也更穩(wěn)定。GMP就是這樣一種精簡(jiǎn)方法。

圖5顯示如何使用GMP對(duì)PA的輸入x和輸出y之間的關(guān)系進(jìn)行建模?？梢钥吹?，該等式的三個(gè)單獨(dú)的求和塊彼此都非常相似。我們先來(lái)看看下方用紅色圈出來(lái)的第一個(gè)。|x（…）|k項(xiàng)是指輸入信號(hào)的包絡(luò)，其中k是多項(xiàng)式階。l將記憶集成到系統(tǒng)中。如果La = {0，1，2}，那么該模型允許輸出yGMP （n）由當(dāng)前的輸入x（n）和過去輸入x（n – 1）和x（n – 2）決定。圖6分析多項(xiàng)式階k對(duì)樣本向量的影響。向量x是單個(gè)20 MHz載波，在復(fù)基帶上表示出來(lái)。去除記憶部分，以簡(jiǎn)化GMP建模等式。x|x|k圖顯示的失真與圖4中的實(shí)際失真非常相似。

每個(gè)多項(xiàng)式階（k）和記憶延遲（l）都有相關(guān)的復(fù)值權(quán)重（akl）。在選擇模型的復(fù)雜程度之后（其中包括k和l的值），需要根據(jù)已知輸入信號(hào)的PA輸出實(shí)際觀測(cè)值來(lái)求解這些權(quán)重。圖7將簡(jiǎn)化的等式轉(zhuǎn)換為矩陣形式?？梢允褂脭?shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)明表示該模型。但是，要在數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)緩沖區(qū)實(shí)現(xiàn)DPD，用矩陣表示法會(huì)更簡(jiǎn)單，也更具代表性。

我們來(lái)看看圖6中等式的第二行和第三行，為了簡(jiǎn)化，這兩行被忽略了。注意，如果m設(shè)置為0，那么這兩行會(huì)變得與第一行一模一樣。這些行允許在包絡(luò)項(xiàng)和復(fù)基帶信號(hào)之間增加延遲（正延遲和負(fù)延遲）。這些稱為滯后交叉和超前交叉項(xiàng)，可以顯著提高DPD的建模精度。在我們嘗試對(duì)放大器的行為建模時(shí)，這些項(xiàng)提供了額外的自由度。注意，Mb、Mc、Kb和Kc不包含0；否則，會(huì)重復(fù)第一行的項(xiàng)。

那么，我們?nèi)绾未_定模型的階、記憶項(xiàng)的數(shù)量，以及應(yīng)該添加哪些交叉項(xiàng)？此時(shí)，就需要一定數(shù)量的“黑魔法”了。我們掌握的關(guān)于失真的物理學(xué)知識(shí)能夠提供一定幫助。放大器的類型、制造材料，以及通過放大器的信號(hào)帶寬都會(huì)影響建模項(xiàng)，可以幫助熟悉該領(lǐng)域的工程師確定應(yīng)該使用哪個(gè)模型。但是，除此之外，還涉及一定程度的反復(fù)試驗(yàn)。

現(xiàn)在有了模型架構(gòu)，我們從數(shù)學(xué)角度來(lái)解決該問題的最后一個(gè)方面是如何求解權(quán)重系數(shù)。在實(shí)際場(chǎng)景中，人們傾向于求解上述模型的倒數(shù)。事實(shí)證明，這些模型系數(shù)能夠彼此互惠，可以使用相同的權(quán)重對(duì)捕捉到的PA輸出向量進(jìn)行后失真，以消除非線性，并對(duì)通過PA發(fā)送的發(fā)射信號(hào)預(yù)失真，使得PA輸出盡可能呈現(xiàn)線性。在圖8所示的框圖中，顯示了如何對(duì)權(quán)重系數(shù)進(jìn)行估算和預(yù)失真。

在逆模型中，將圖7給出的矩陣等式互換，給出X? = Yw。其中，矩陣Y的構(gòu)成方式與其他示例中X的構(gòu)成方式相同，如圖9所示。在本例中，包含了一個(gè)記憶項(xiàng)，且減少了包含的多項(xiàng)式的階數(shù)。為了求解w，我們需要得出Y的倒數(shù)。Y不是方形的（是一個(gè)瘦長(zhǎng)矩陣），所以需要使用“偽逆”矩陣進(jìn)行求解（參見等式1）。這是從最小二乘意義上求解w，也就是說，最小化了X?和Yw之間的差的平方，正合我們的心意！

鑒于是在具有不同信號(hào)的真實(shí)環(huán)境中使用，我們可以對(duì)其進(jìn)一步優(yōu)化。在這里，系數(shù)是基于之前的值進(jìn)行更新，因此受到限制。μ是0和1之間的常數(shù)值，用于控制每次迭代時(shí)權(quán)重的變化量。如果μ = 1，w0 = 0，那么此等式立即恢復(fù)到基本最小二乘解。如果將μ設(shè)為小于1的值，則需要多次迭代才能使系數(shù)收斂。

注意，這里描述的建模和估算技術(shù)并非是執(zhí)行DPD的唯一方式。也可以使用其他技術(shù)，例如基于動(dòng)態(tài)偏差減少的建模來(lái)代替或作為附加方法使用。

如何在微處理器中實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)？

通常而言，它在數(shù)字基帶中實(shí)現(xiàn)，一般在微處理器或FPGA中實(shí)現(xiàn)。ADI的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品（例如ADRV902x系列）內(nèi)置微處理器內(nèi)核，其結(jié)構(gòu)有助于輕松實(shí)現(xiàn)DPD。

在嵌入式軟件中實(shí)現(xiàn)DPD涉及兩個(gè)方面。一是DPD執(zhí)行器，對(duì)實(shí)時(shí)發(fā)送的數(shù)據(jù)執(zhí)行實(shí)時(shí)預(yù)失真，二是DPD自適應(yīng)引擎，基于觀察到的PA輸出來(lái)更新DPD系數(shù)。

對(duì)于如何在微處理器或類似器件中實(shí)時(shí)執(zhí)行DPD和許多其他信號(hào)處理概念，關(guān)鍵在于使用查找表（LUT）。LUT允許用更簡(jiǎn)單的矩陣索引操作來(lái)代替成本高昂的運(yùn)行時(shí)計(jì)算。我們來(lái)看看DPD執(zhí)行器如何對(duì)發(fā)送的數(shù)據(jù)樣本應(yīng)用預(yù)失真。代表符號(hào)如圖8所示，其中u（n）表示要傳輸?shù)男聰?shù)據(jù)樣本，x（n）表示預(yù)失真版本。圖10顯示在給定場(chǎng)景下，獲取一個(gè)預(yù)失真樣本所需的計(jì)算。這是一個(gè)相對(duì)受限的示例，最高多項(xiàng)式階為三階，只有一次記憶選取和一個(gè)交叉項(xiàng)。即使在這種情況下，要獲取這樣一個(gè)數(shù)據(jù)樣本，也需要進(jìn)行大量乘法、冪運(yùn)算和加法運(yùn)算。

在這種情況下，使用LUT可以減輕實(shí)時(shí)計(jì)算負(fù)擔(dān)。可以將圖10所示的等式改寫成圖11所示的樣式，其中輸入LUT的數(shù)據(jù)會(huì)變得更加明顯。每個(gè)LUT都包含等式中突出顯示項(xiàng)的結(jié)果值，它們對(duì)應(yīng)|u（n）|的多個(gè)可能值。分辨率取決于在可用硬件中實(shí)現(xiàn)的LUT大小。當(dāng)前輸入樣本的幅度大小基于LUT的分辨率進(jìn)行量化，可以作為索引，用于訪問給定輸入的正確LUT元素。

圖12顯示如何將LUT集成到我們示例案例的完全預(yù)失真執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)方案。注意，這只是其中一種可能的實(shí)現(xiàn)方法。在仍然保持相同輸出的情況下，可以做出更改，例如：可以將延遲元素z–1移動(dòng)到LUT2右側(cè)。

自適應(yīng)引擎負(fù)責(zé)求解用于計(jì)算執(zhí)行器中的LUT值的系數(shù)。這涉及到求解等式1和2中描述的w向量。偽逆矩陣運(yùn)算（YH Y）-1 YH會(huì)耗費(fèi)大量計(jì)算資源。等式1可以改寫為

如果CYY = YHY，CYx = YH x，等式3會(huì)變成

CYY是矩形矩陣，可以通過柯列斯基分解方法分解為上三角矩陣L和共軛轉(zhuǎn)置矩陣（CYY =LH L）的乘積。這樣我們可以通過引入一個(gè)虛擬變量z來(lái)求解w，求解方法如下：

然后，重新代入這個(gè)虛擬變量，求解

因?yàn)長(zhǎng)和LH分別是上、下三角矩陣，所以花費(fèi)很少的計(jì)算資源，就可以求解等式5和等式6，得出w。自適應(yīng)引擎每次運(yùn)行，得出w的新值時(shí)，都需要更新執(zhí)行器LUT來(lái)體現(xiàn)這一點(diǎn)。根據(jù)觀察到的PA輸出，或者操作員掌握的待傳輸信號(hào)的變化情況，自適應(yīng)引擎可以按照設(shè)定的定期間隔或不規(guī)則的間隔執(zhí)行操作。

在嵌入式系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)DPD需要進(jìn)行大量檢查和平衡，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最重要的是，發(fā)送數(shù)據(jù)緩沖器和捕捉緩沖器數(shù)據(jù)的時(shí)間要一致，以確保它們之間建立的數(shù)學(xué)關(guān)系是正確的，且在長(zhǎng)時(shí)間之后仍然保持正確。如果這種一致性喪失，那么自適應(yīng)引擎返回的系數(shù)將不能對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行正確的預(yù)失真，可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。還應(yīng)檢查預(yù)失真執(zhí)行器輸出，確保信號(hào)不會(huì)使DAC飽和。

結(jié)論

本文從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的角度研究DPD及其在硬件中的實(shí)現(xiàn)方法，希望借此揭示關(guān)于DPD的一些奧秘。本文對(duì)該主題的探討只是冰山一角，可能有助于推動(dòng)讀者進(jìn)一步研究通信系統(tǒng)中信號(hào)處理技術(shù)的應(yīng)用情況。ADI的RadioVerse收發(fā)器產(chǎn)品可以集成DPD這類算法，為客戶提供高度集成的RF硬件和可配置的軟件工具。

來(lái)源：亞德諾半導(dǎo)體