使用分層風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)進(jìn)行有效投資組合分配的ML技術(shù)

數(shù)據(jù)科學(xué)家經(jīng)常把金融界當(dāng)作測(cè)試新技術(shù)的游樂場(chǎng)。金融數(shù)據(jù)已經(jīng)被記錄了幾十年，而且都是數(shù)字形式的，因此很容易處理。另外，你總是有機(jī)會(huì)創(chuàng)造一個(gè)賺錢的模型！

在金融領(lǐng)域，投資的總體目標(biāo)是最大限度地提高回報(bào)（投資的收益或損失），同時(shí)最小化風(fēng)險(xiǎn)（實(shí)際結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果不同的可能性）。簡(jiǎn)而言之，投資就是數(shù)學(xué)。

這篇文章介紹了一種投資組合優(yōu)化策略，可以幫助最小化風(fēng)險(xiǎn)敞口。有了 GPU ，算法的速度可以提高 66 倍。

對(duì)于散戶投資者來說，這種加速對(duì)于頻繁的再平衡尤其有用。同時(shí)，機(jī)構(gòu)投資者可以通過機(jī)器人顧問使用這種算法來管理資金。為每個(gè)獨(dú)特客戶的投資組合重新計(jì)算算法的計(jì)算成本可能會(huì)很高，通過引入 GPU 可以大大降低計(jì)算成本。

在這篇文章中，我將一步一步地介紹使用分層風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)（ HRP ）進(jìn)行有效投資組合分配的 ML 技術(shù)。本例將 Python 用于 RAPIDS 。

選擇有效財(cái)務(wù)預(yù)測(cè)的算法

1952 年，哈里·馬科維茨（ Harry Markowitz ）引入了一種被稱為現(xiàn)代投資組合理論的投資組合優(yōu)化模型。該模型可以生成一個(gè)投資組合，在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)收益最大化。

圖 1 馬科維茨的有效前沿。每個(gè)投資組合都位于藍(lán)色區(qū)域，目標(biāo)是位于有效前沿。

不幸的是，故事并沒有就此結(jié)束。馬科維茨的現(xiàn)代投資組合理論只有在你知道每種股票的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的情況下才能產(chǎn)生最有效的投資組合。然而，這種情況并不總是發(fā)生，因?yàn)檫^去的表現(xiàn)并不代表未來的結(jié)果。

什么是分層風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)？

2016 年，馬科斯·洛佩斯·德普拉多在他的論文 建立多樣化的投資組合，在樣本之外表現(xiàn)良好 中介紹了 HRP 。該算法背后的想法是使用 machine learning 技術(shù)，這樣股票只需與類似股票競(jìng)爭(zhēng)投資組合中的現(xiàn)貨。

例如， Verizon 股票與 AT & T 高度相關(guān)。因此， Verizon 只與 AT & T 等股票競(jìng)爭(zhēng)代表權(quán)，而不是與每個(gè)行業(yè)的所有股票競(jìng)爭(zhēng)。

HRP 投資組合分配分步指南

在本文的其余部分中，我重點(diǎn)介紹了在 RAPIDS 上實(shí)現(xiàn) HRP ，然后將其性能與其他常用技術(shù)進(jìn)行比較。

獲取數(shù)據(jù)

在這篇文章中，我使用了從 2018 年 11 月到 2021 年 11 月的納斯達(dá)克和紐約證券交易所的每一個(gè)證券的每日調(diào)整后的收盤數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集是通過 NVIDIA/fsi-samples GitHub repo 的腳本獲得的

在硬件方面，我使用了帶有 NVIDIA Quadro 8000 GPU 的 i7 CPU 。對(duì)于軟件，我使用了 Python 3.9 和 RAPIDS 22.02 。

爭(zhēng)論數(shù)據(jù)

首先讀取數(shù)據(jù)集，并將其聚合到名為 m 的數(shù)據(jù)幀中。拋售任何空值股票。

首先讀取數(shù)據(jù)集，并將其聚合到名為m的數(shù)據(jù)幀中。拋售任何空值股票。

import cudf
m1 = cudf.read_csv("MVO3.2021.11/NASDAQ/prices.csv")
m2 = cudf.read_csv("MVO3.2021.11/NYSE/prices.csv")
m = cudf.concat([m1, m2], axis = 1)
m = m.dropna(axis = 1)

一些證券表現(xiàn)不佳：一些證券多年保持不變，另一些證券包含非正值。移除這些不良證券。

data = m.values # data.shape = (days, nAssets)
days = data.shape[0]
logRetAll = cp.log(data[1:, :]/data[:-1, :])
moveMask = cp.count_nonzero(logRetAll, axis = 0) > (days * 0.9) # Require that each security moves day to day at least 90% of the time
positiveMask = data.min(axis = 0) > 0 # Require that all the data is positive
mask = moveMask & positiveMask
data = data[:, mask]
logRetAll = logRetAll[:, mask]

接下來，將m分為兩部分：培訓(xùn)和測(cè)試階段。培訓(xùn)期為 2018 年 11 月至 2020 年 11 月，測(cè)試時(shí)間為 2020 年 11 月至 2021 年 11 月。

split = int(days*2/3)
train = data[:split, :]
test = data[split:, :]

因此，在為訓(xùn)練數(shù)據(jù)（而不是時(shí)間序列數(shù)據(jù)）創(chuàng)建日志返回矩陣后，可以使用內(nèi)置的cuDF方法獲得相關(guān)和協(xié)方差矩陣。

# Obtain training cov/corr
logRetTrain = logRetAll[:split - 1, :]
corrTrain = cp.corrcoef(logRetTrain, rowvar = False)
covTrain = cp.cov(logRetTrain, rowvar = False) * 252 # Annualized covariance

D = cp.sqrt(0.5 * (1 - corr))

現(xiàn)在，您可以計(jì)算兩個(gè)股票之間的距離，對(duì)它們進(jìn)行聚類，以便將相似的股票聚集在一起。

每個(gè)項(xiàng)目都放置在自己的簇中，最近的兩個(gè)簇連接在一起。然后，重新計(jì)算這個(gè)新簇和所有其他簇之間的距離。同樣，將兩個(gè)最近的簇組合在一起。重復(fù)這個(gè)過程，直到只有一個(gè)集群?？梢暬@種聚類的一種方法是使用樹狀圖。

from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram
dendrogram(linkage(D[:10, :10].get()));

圖 2 D 中前十種證券的聚類樹狀圖。聚類算法為凝聚聚類，或自底向上聚類。

cuML有一個(gè)內(nèi)置的方法來執(zhí)行此功能，在下面的代碼示例中使用。這比 scipy 的鏈接功能快得多，后者執(zhí)行類似的功能。

from cuml import AgglomerativeClustering as AC
# Create single linkage cluster using the Euclidean metric
def cluster(D): model=AC(affinity='l2', connectivity='pairwise', linkage='single') model.fit(D); return model.children_

cluster（）輸出一個(gè) 2 x N 矩陣，其中 N 是中的股票數(shù)量。索引［0， i］和［1， i］表示為 i-th 迭代而加入的集群的索引。

使用矩陣序列化

接下來，從這個(gè)集群中生成一個(gè)排序，像證券這樣的地方彼此靠近。例如，圖 2 的 x 軸根據(jù)前 10 只股票的聚類情況提供了它們的排序。這是通過矩陣序列化的迭代實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)的，這是考古學(xué)中常用的一種技術(shù)。

def seriation(Z): N = Z.shape[1] stack = [2*N-2] res_order = [] while(len(stack) != 0): cur_idx = stack.pop() if cur_idx < N: res_order.append(cur_idx) else: stack.append(int(Z[1, cur_idx-N])) stack.append(int(Z[0, cur_idx-N])) return res_order

圖 3 顯示了得到的相關(guān)矩陣。

圖 3 熱圖顯示應(yīng)用矩陣系列化前后的相關(guān)矩陣。

在圖 3 中，當(dāng)您將排序應(yīng)用于相關(guān)矩陣時(shí)，可以觀察到矩陣中出現(xiàn)的模式。這表明類似的股票彼此接近。

分配權(quán)重

最后，給股票分配權(quán)重。這是通過遞歸算法實(shí)現(xiàn)的。

將排序后的協(xié)方差矩陣一分為二，計(jì)算每一半的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整量，然后根據(jù)逆方差組合（ IVP ）方法為每一半分配權(quán)重。然后每一半重復(fù)這些步驟。

IVP 產(chǎn)生的權(quán)重與股票的風(fēng)險(xiǎn)量或方差成反比。也就是說，高風(fēng)險(xiǎn)股票的代表性較低，而低風(fēng)險(xiǎn)股票的代表性較高。

HRP 和 IVP 都是風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)算法：它們只考慮基于過去表現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)。

def recursiveBisection(V, l, r, W): #Performs recursive bisection weighting for a new portfolio #V is the sorted correlation matrix #l is the left index of the recursion #r is the right index of the recursion #W is the list of weights if r-l == 1: #One item return W else: #Split up V matrix mid = l+(r-l)//2 V1 = V[l:mid, l:mid] V2 = V[mid:r, mid:r] #Find new adjusted V V1_diag_inv = 1/cp.diag(V1) V2_diag_inv = 1/cp.diag(V2) w1 = V1_diag_inv/V1_diag_inv.sum() w2 = V2_diag_inv/V2_diag_inv.sum() V1_adj = w1.T@V1@w1 V2_adj = w2.T@V2@w2 #Adjust weights a2 = V1_adj/(V1_adj+V2_adj) a1 = 1-a2 W[l:mid] = W[l:mid]*a1 W[mid:r] = W[mid:r]*a2 W = recursiveBisection(V, l, mid, W) W = recursiveBisection(V, mid, r, W) return W

分析權(quán)重

您現(xiàn)在擁有執(zhí)行 HRP 所需的所有工具?？纯此谋憩F(xiàn)吧！

#Obtain the final weights and plot them
N = len(res_order)
V = covTrain[res_order, :][:, res_order]
W_tmp = recursiveBisection(V, 0, N, cp.ones(N))
W = cp.empty(len(W_tmp))
W[res_order] = W_tmp
plt.plot(W.get())
plt.xlabel("Security Index")
plt.ylabel("% allocation")
plt.title("HRP Allocation")
plt.plot();

應(yīng)用列出的方法后，您將得到一個(gè)變量 W ，該變量表示每個(gè)安全性的權(quán)重。

圖 4 顯示了結(jié)果。

圖 4 根據(jù) HRP 方法為每種證券分配的百分比

這張圖表很難讀懂。您可以截?cái)嗨?，以便只顯示權(quán)重大于 1% 的證券（圖 5 ）。

圖 5 代表性大于 1% 的證券的 HRP 最終權(quán)重

作為一個(gè)健全性檢查，圖 6 顯示了在培訓(xùn)期間排名靠前的選手的表現(xiàn)。您希望確保證券的波動(dòng)性相對(duì)較低。

圖 6 培訓(xùn)期間（ 2018 年 11 月至 2020 年 11 月）頂級(jí) HRP 股票的表現(xiàn)

圖 7 顯示了整個(gè)投資組合在測(cè)試期間的性能。

圖 7 測(cè)試期間（ 2020 年 11 月至 2021 年 11 月） HRP 投資組合的表現(xiàn)

與其他投資組合相比

from scipy.optimize import *
from scipy.optimize import *
def MPT(cov, R): cons = [{'type': 'eq', 'fun': lambda x: sum(x) - 1}, #sum(w)==1", {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x}] #each weight >=0 (no short selling)" res = minimize(lambda x: -(x@R-1.025)/sqrt(x.T@cov@x), x0=np.ones(len(R))/len(R), constraints=cons) #Minimize risk" return res.x

這是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)值優(yōu)化問題，尤其是考慮到你有 4000 多個(gè)資產(chǎn)。通過要求每種證券的夏普比率必須大于 1 ，將其縮減為 278 種證券。這種切斷是任意的，但建議屏蔽以減少運(yùn)行時(shí)間。

W_MPT = cp.zeros(nAssets)
sharpeTrain = (trainRetAll - 1.025) / (cp.std(logRetTrain, axis = 0) * math.sqrt(252)) # Annualized sharpe
covnp = covTrain[sharpeTrain > 1, :][:, sharpeTrain > 1].get() # Numpy version of covariance matrix over training period, masked
Rnp = trainRetAll[sharpeTrain > 1].get() # Return of all stocks over the training period, masked, in numpy
W_MPT[sharpeTrain > 1] = MPT(covnp, Rnp, 1+i/100)

您還可以為反向方差投資組合生成權(quán)重。

invVarTrain = 1 / cp.var(logRetTrain, axis = 0)
W_IVP = invVarTrain / invVarTrain.sum()

最后，生成一些隨機(jī)投資組合，選擇 15 種不同的證券，并隨機(jī)分配給每種證券。這模擬了不知情的散戶投資者可能選擇的投資組合。

圖 8 顯示了所有投資組合的結(jié)果。

圖 8 培訓(xùn)期間不同投資組合的回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn) （ 左 ） 測(cè)試周期 （ 右）

對(duì)于前面的投資組合，您可以在下表中生成夏普比率。

雖然 MPT 在培訓(xùn)樣本期間的夏普比率較高，但在培訓(xùn)期間，它會(huì)變?yōu)樨?fù)值，這意味著投資組合的表現(xiàn)低于 2.5% 的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。這就證明了所謂的馬科維茨詛咒：雖然它在樣本中表現(xiàn)最佳，但它往往與樣本完全不同。

此外，雖然 IVP 在測(cè)試期間的夏普比率高于 MPT ，但請(qǐng)記住，這兩種方法都是 risk-parity 組合。他們的目標(biāo)是將風(fēng)險(xiǎn)降至最低，不考慮回報(bào)。值得注意的是，在測(cè)試期間， HRP 的風(fēng)險(xiǎn)為 5.5% ，而 IVP 的風(fēng)險(xiǎn)為 9.4% 。

分析速度

另一個(gè)需要分析的是運(yùn)行時(shí)與 CPU 的比較。您可以使用 SciPy 、 pandas 或 NumPy 等庫(kù)而不是 RAPIDS 來重新創(chuàng)建算法。

隨著分析的證券數(shù)量的增加，所需的計(jì)算能力也會(huì)增加。這也增加了并行化的能力， GPU 可以捕獲并行化。

圖 10 日志時(shí)間與在 GPU 和 CPU 上執(zhí)行 HRP 的證券數(shù)量之比。該算法在共同基金上運(yùn)行，以提供更大的證券池來運(yùn)行 HRP 。

對(duì)于最大數(shù)量的證券，通過在 CPU 上運(yùn)行 GPU 可以實(shí)現(xiàn) 66 倍的加速！即使在最壞的情況下，您仍然可以獲得 4 倍的加速比。

人力資源規(guī)劃的關(guān)鍵經(jīng)驗(yàn)

盡管 HRP 最初是為了演示機(jī)器學(xué)習(xí)如何應(yīng)用于投資組合優(yōu)化，但與反向方差相比，它可能會(huì)降低風(fēng)險(xiǎn)，并比現(xiàn)代投資組合理論具有更高的夏普比率。洛佩斯·德·普拉多在他的 建立多樣化的投資組合，其表現(xiàn)優(yōu)于樣本之外的投資組合 論文中進(jìn)一步證實(shí)了這一點(diǎn)，證明合成數(shù)據(jù)的提取率和方差較低。

投資者在尋找管理風(fēng)險(xiǎn)的方法或與其他金融技術(shù)相結(jié)合以降低所需回報(bào)率的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，可能會(huì)求助于 HRP 。

借助于 RAPIDS 提供的 GPU 加速， HRP 可以以相對(duì)較低的計(jì)算成本成為可行的投資組合優(yōu)化工具。

關(guān)于作者

Grant Jensen 是 NVIDIA 藍(lán)圖團(tuán)隊(duì) 2022 年春季數(shù)據(jù)科學(xué)實(shí)習(xí)生。

審核編輯：郭婷