如何運用波特圖來確保電路的穩(wěn)定性

20 世紀 30 年代，Hendrik Wade Bode 將電路的穩(wěn)定性作為唯一目標，創(chuàng)造了一種直觀的增益/相位方法。這就是現在所說的波特圖，一種直觀的對電路或放大器增益、相位和反饋系統(tǒng)進行頻率圖形展示的方法。

鑒于其有用性和重要性，讓我們花些時間來了解一下波特穩(wěn)定性分析技術，看看以分貝 （dB） 和相位響應（度）為單位的開環(huán)放大器和電路反饋系數的量級。這篇博客將探討上述概念并給出建議，并在你的主要目標是頻率穩(wěn)定性時，應如何避免設計出一個“顫抖”電路。

為了練習這種技術，你可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊的資源中下載一個可打印的波特圖版本。

單極點波特圖

單極點電路的配置允許直流 VIN 信號直接進入 VOUT，而在較高的輸入頻率下，VOUT 等于零分貝 （dB）。波特圖的構造很簡單。Y 軸的單位是頻率的對數，X 軸是線性單位增益分貝或相位度數。在設計波特圖時，已經有相當多的公式可以應用，但我們要直接體驗這個快速解決方法。

波特圖之所以簡單性，是因為畫圖時只需要一個直尺工具并知道一些規(guī)則即可（圖 1）。

圖 1：展示幅度和相移的單極點波特圖使用了直線來顯示電路的頻率和相位響應。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 1 中的兩幅圖表示了單極點電阻/電容對的頻率相對增益和相位的關系。上下兩幅圖的 X 軸頻率范圍為 1 赫茲 （Hz） 到 10 兆赫 （MHz）。上圖 Y 軸范圍從 0 分貝 （dB） 到 100 dB，其中 1 Hz 的信號值等于 100 dB。這個值與 100，000 x VIN 的增益因子一致。藍色曲線是在 fP 或 100 Hz 時的單極點增益響應，其中 R 等于 159 千歐 （kΩ），C 等于 10 納法拉 （nF）。

當頻率增加超過極點頻率 （fP） 時，藍色曲線以 -20dB /十倍頻程或 -6dB/八倍頻程速率下降。這個衰減率是要記住的第一個波特圖的經驗法則：電路中的每個極點從極點頻率開始都會以 -20dB/十倍頻程的速率下降。因此，如果兩個極點在相同的頻率范圍內對 VOUT 進行衰減，則衰減率為-40dB/十倍頻程。

圖 1 中的下圖表示了這個單極點電路的相位。在 1Hz 時，R/C 網絡的相位為 0 度 （°）。在 fP 前的一個十倍頻程，或者在這個例子中的 10 Hz 情形下，單極點相位開始以 -45°/十倍頻程的速度向其 -90° 目標下降。

有幾個規(guī)則適用于極點的相位響應。極點電路的第二個波特圖經驗法則是，在 fP 處相位等于 -45°。第三和第四條波特圖法則描述了衰減和完成的相位點。單極點相位在極點頻率 （fP） 的前一個十倍頻程開始下降，并在 fP 的后一個十倍頻程最終定在 -90°。

單零點波特圖

單零點波德圖反映了單極點波德圖的相反規(guī)則。位置切換，R 和 C 值相同，以阻止直流 VIN 電壓，同時允許較高頻率通過電容器（圖 2）。

圖 2：展示幅度和相移的單零點波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker）

當頻率增加超過 fZ 時，藍色曲線以 +20dB/十倍頻程的速率上升。圖 2 中的下圖展示了這個單零點電路的相位。在 fZ 前的一個十倍頻程，單零點相位開始以 +45°/十倍頻程的速度向其 +90° 的目標上升。在 fZ 處，零點電路相位等于 +45°。

總結一下圖 1 中的值，極點位置是 fP，fP 之后的增益幅度有一個 -20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fP 時有 -45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fP 時開始衰減，在 10x fP 時穩(wěn)定到 -90°?？偨Y一下圖 2 中的值，零點位置是 fZ，fZ 之后的增益幅度有一個 +20dB/十倍頻程的斜率。相位通過 fZ 時有 +45°/十倍頻程的斜率，相位在 0.1x fZ 時開始衰減，在 10x fZ 時穩(wěn)定到 +90°。

放大器開環(huán)波特圖

標準運算放大器產品的頻率操作從亞赫茲到零 dB 截止頻率的傳遞函數中會有多個極點和零點。放大器波特圖沒有任何神奇之處，只需遵循規(guī)則即可（圖 3）。

圖3：展示幅度和相移的運算放大器可能波特圖。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 3 展示了一個運算放大器實例，其傳遞函數中有兩個極點（f1 和 f2）。有了這兩個極點，增益每次下降 -20dB/十倍頻程，相位總共下降 -180 度。

到目前為止，我們對如何構建波特圖有了一個良好的開始，但具體落實到實際項目上來時，其中還有一個反饋系統(tǒng)在其中。

閉環(huán)放大器系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果你花點時間看一下運放電路，就會發(fā)現反饋網絡的存在。經典的運算放大器反饋網絡有一個增益正向元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω））。

圖 4：經典運放反饋網絡有一個前饋元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω））。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 4 中，運算放大器 （AOL） 的開環(huán)增益相對較大，而反饋系數相對較小。這種配置將輸出送回反相端，創(chuàng)造了一個負反饋條件，這種反饋使輸出受到控制。我們將使用 β 的倒數或 1/β 來確定運放電路的穩(wěn)定性。

計算 1/β 的最簡單方法是在運放的非反相輸入端放置一個稱為 VSTABILITY 的電壓源。這個計算策略將提供一個很好的路徑來確定電路的穩(wěn)定性（圖 5）。

圖 5：非反相運放電路 a.） 和反相運放電路 b.） 在其非反相輸入端都有一個虛構的 VSTABILITY 電壓源，以便準確計算電路的 1/β 系數，或噪聲增益。（圖片來源：Bonnie Baker）

如果你檢查圖 5 中的電路，就會發(fā)現從非反相端到輸出端的反饋電路是一樣的。VSTABILITY 電壓源的位置能夠準確計算出電路的 1/β 系數，或噪聲增益。

1/β 穩(wěn)定性分析使用了 VSTABILTIY。如果你假設運放的開環(huán)增益是無限的，那么兩個電路的傳遞函數就等于：

等式 1

等式 2

等式 3

當等式 3 的頻率成分 jω 等于零時：

等式 4

當等式 3 中 jω 接近無窮大時：

等式 5

1/β 的零點 （fZ） 和極點 （fP） 的頻率為：

等式 6

等式 7

符合上述規(guī)則的 1/β 的穩(wěn)定性分析曲線的波特圖如圖 6 所示。

圖6：圖 5 a.） 和 b.） 的 1/β 頻率響應是相同的。零點出現在較低的頻率，而極點則出現在較高的頻率。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖 6 描述了運算放大器電路的 1/β 的頻率和相位響應或噪聲增益。該圖以圖形形式總結了等式 4 至 7。等式 4 和 5 定義了直流增益和 Y 增益。等式 6 和 7 確定了電路的零點和極點。圖 3 和圖 6 中的信息通過定義系統(tǒng)的傳遞函數以及極點和零點的位置，為確立運放電路的穩(wěn)定性提供了第一步。最后一步是將圖 3 和圖 6 疊加成一個圖形。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的確定

開環(huán)和閉環(huán)增益的交叉點或截止率定義了電路的相移。一般來說，截止率小于或等于 30 dB 表明電路是穩(wěn)定的。截止率大于 30dB，就會走向不穩(wěn)定的電路狀態(tài)（圖 7）。

圖 7：疊加的運算放大器的 AOL 增益和相位響應與 1/β 增益和相位響應。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 7 中，AOL 和 1/β 增益曲線之間的截止率等于 40 dB。40dB 的截止率表明相移大于 135°，這顯示了一個不穩(wěn)定的電路。在這種配置下，180° 的截止率會產生一個振蕩的電路。

對上述問題有許多解決辦法?？梢酝ㄟ^移動極點和零點頻率來改變電阻或電容值。另一個辦法是選擇不同的運算放大器（圖 8）。

圖 8：在不改變零點和極點頻率的情況下，使用帶寬高于圖 7 中運算放大器的運算放大器。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 8 中，在不改變 1/β 網絡的情況下，運算放大器的帶寬大約高出兩個十倍頻程。綠色的虛線反映了實際的計算結果，并提供了一個更真實的波特圖。放大器帶寬的增加使截止率從 40 dB 變?yōu)?20 dB。由此產生的相移現在是 ~105°，表示電路是穩(wěn)定的。

圖 8 中的綠色虛線超越了用尺子和鉛筆繪制的波德圖，包括了真實世界的響應。

測量電路的增益和相位

測量一個放大器電路的增益和相位需要一個提供輸入信號的函數發(fā)生器，以及一個網絡分析儀（圖 9）。代表性的是 Tabor Electronics LS3081B 3 GHz 射頻模擬掃頻函數發(fā)生器。

圖 9：圖 5 b.） 的反相放大器電路的增益和相位測量配置。（圖片來源：Bonnie Baker）

在圖 9 中，函數發(fā)生器的輸入信號的應用發(fā)生在端口 1 到 VSTABILITY 節(jié)點。信號通過放大器電路傳播到電路的輸出端 （VOUT），網絡分析儀在端口 2 捕捉到信號并與函數發(fā)生器的端口 1 信號進行比較。

結語

當進行穩(wěn)定型運算放大器電路設計時，波特圖是一個非常有用的工具，一定加到你的裝備庫中。當開始研究多極點和多零點電路時，你就會發(fā)現波特圖的巨大潛力。通過放大器開環(huán)增益和反饋網絡之間的截止率，就可以迅速確定電路的穩(wěn)定性。

雖然這篇博客可以幫助你掌握波特圖的使用，展示了在圖形紙上簡單地使用直尺來估計一階極點和零點電路的增益與相位的關系，但最好的學習方法還是實踐。此外，您可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊的資源中下載波特圖的可打印版本開始。

來源：Digi-Key

審核編輯 ：李倩