詳解數(shù)字信號(hào)處理之卷積運(yùn)算

1.數(shù)字信號(hào)處理原理

線性系統(tǒng)中，信號(hào)只能以乘以一個(gè)常數(shù)之后再相加的方式進(jìn)行組合。例如，一個(gè)信號(hào)不能直接乘以另外一個(gè)信號(hào)。如下圖所示，根據(jù)給出三個(gè)信號(hào)：x0［n］，x1［n］，x2［n］相加得到最終的信號(hào)x［n］。通過相乘和相加的形式進(jìn)行信號(hào)的組合被稱為信號(hào)的合成。

與信號(hào)合成相反的步驟，叫做信號(hào)的分解。即把原始信號(hào)分解為兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)相加。信號(hào)的分解要比信號(hào)合成要復(fù)雜些。試想，假設(shè)我們把15和25相加，那么我們只能得到40，；相反，如果我們把40分解成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字的相加，那么這種分解會(huì)有無數(shù)種形式，比如1+39，2+38，-30.5+60+10.5。

圖1

數(shù)字信號(hào)處理中，最為關(guān)鍵的步驟是信號(hào)的疊加。假設(shè)有如下圖的輸入信號(hào)x［n］，經(jīng)過一個(gè)線性系統(tǒng)之后，輸出信號(hào)為y［n］。輸入信號(hào)可以分解為多個(gè)更為簡(jiǎn)單的信號(hào)：x1［n］，x2［n］，x3［n］，這些被稱為輸入信號(hào)分量。之后把各個(gè)輸入信號(hào)分量單獨(dú)的輸入到線性系統(tǒng)中，產(chǎn)生與之對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)分量：y1［n］，y2［n］，y3［n］。原始的輸入信號(hào)經(jīng)過線性系統(tǒng)之后，得到的輸出信號(hào)y［n］即為各個(gè)輸出信號(hào)分量的合成。線性系統(tǒng)中，通過這種方式獲得的輸出信號(hào)和原始信號(hào)直接通過系統(tǒng)得到的輸出結(jié)果是一樣的。正因?yàn)槿绱?，任何?fù)雜的數(shù)字信號(hào)，我們應(yīng)該把它分解為更為簡(jiǎn)單的輸入信號(hào)分量，經(jīng)過線性系統(tǒng)后把輸出信號(hào)分量進(jìn)行合成即為最終的輸出信號(hào)。但是，如果分解的輸入信號(hào)不夠簡(jiǎn)單，那么這樣與分解之前的效果是一樣的，需要復(fù)雜的計(jì)算。

假設(shè)你需要計(jì)算2014乘以4的結(jié)果，我們可以這樣進(jìn)行計(jì)算：把2014分解為2000+10+4，分解的系數(shù)分別乘以4再相加即為最終的輸出結(jié)果。這種方法比直接把兩個(gè)數(shù)相乘要簡(jiǎn)單得多。

圖2

2.卷積

脈沖分解

脈沖分解是卷積的基礎(chǔ)。如下圖所示，N個(gè)采樣信號(hào)經(jīng)過脈沖分解之后，形成N個(gè)信號(hào)分量，每個(gè)信號(hào)分量只包含原始信號(hào)的某一個(gè)采樣點(diǎn)信號(hào)，而其他采樣點(diǎn)的值為0。假若某個(gè)信號(hào)只有一個(gè)非零點(diǎn)，其他各點(diǎn)數(shù)值均為0，那么這個(gè)信號(hào)被稱為脈沖信號(hào)。

圖3

脈沖函數(shù)

Delta函數(shù)用希臘字母表示為o［n］。delta 函數(shù)是一個(gè)歸一化的脈沖信號(hào)，即在采樣點(diǎn)零點(diǎn)位置其值為1，其他采樣點(diǎn)位置各點(diǎn)數(shù)值均為0。

脈沖反應(yīng)

當(dāng)線性系統(tǒng)中輸入信號(hào)為delta函數(shù)時(shí)，其輸出的信號(hào)稱為脈沖反應(yīng)。如下圖所示。如果兩個(gè)不同的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)均為delta函數(shù)時(shí)，其輸出分脈沖反應(yīng)也是不同的。就像離散數(shù)字信號(hào)中，用x［n］、y［n］分別表示輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，脈沖反應(yīng)使用h［n］表示。當(dāng)然，你也可以使用其他的符號(hào)表示，比如f［n］等。

任何脈沖信號(hào)都可以看作是脈沖函數(shù)的平移和縮放。例如，假設(shè)信號(hào)a［n］只在采樣點(diǎn)8的位置有輸入，且其輸入值為-3，這就相當(dāng)于把delta函數(shù)平移到8的位置，在乘以-3.用公式表示為：a［n］ = -3 o［n-8］。假如delta函數(shù)的脈沖反應(yīng)為h［n］，那么a［n］的脈沖反應(yīng)為-3h［n-8］。

卷積就像數(shù)學(xué)的加減乘除一樣，是一種形式化的數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算中輸入兩個(gè)數(shù)得到第三個(gè)數(shù)，卷積則是輸入兩個(gè)信號(hào)產(chǎn)生第三個(gè)信號(hào)。卷積被廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)和概率中。在線性系統(tǒng)中，卷積描述的是輸入信號(hào)，脈沖反應(yīng)和輸出信號(hào)三者之間的關(guān)系。

圖4

上圖描述的是卷積應(yīng)用于線性系統(tǒng)的示意圖。輸入信號(hào)x［n］進(jìn)入有脈沖反應(yīng)h［n］的線性系統(tǒng)，產(chǎn)生輸出信號(hào)y［n］。用公式表示為：x［n］*h［n］ = y［n］。

3.卷積運(yùn)算

卷積可以從輸入信號(hào)的角度理解：輸入信號(hào)的每一個(gè)采樣點(diǎn)是如何貢獻(xiàn)于多個(gè)輸出信號(hào)采樣點(diǎn)，即每一個(gè)輸入信號(hào)分量進(jìn)入線性系統(tǒng)之后，都將產(chǎn)生多個(gè)平移和縮放版本的脈沖反應(yīng)，輸出結(jié)果即為每個(gè)信號(hào)分量對(duì)應(yīng)的平移和縮放版的脈沖反應(yīng)進(jìn)行合成；從輸出信號(hào)的角度理解：每一個(gè)輸出信號(hào)的采樣點(diǎn)是如何從眾多輸入信號(hào)采樣點(diǎn)獲取信息。即對(duì)于每一個(gè)輸出信號(hào)，都將由多個(gè)輸入信號(hào)貢獻(xiàn)其脈沖響應(yīng)，輸出結(jié)果即為對(duì)應(yīng)脈沖響應(yīng)的線性加權(quán)。

這兩個(gè)理解只是對(duì)卷積運(yùn)算的不同角度的理解，其結(jié)果都是一樣的。

從輸入信號(hào)的角度理解

圖5

上圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的卷積計(jì)算。輸入信號(hào)x［n］有九個(gè)點(diǎn)，輸入一個(gè)有四個(gè)脈沖反應(yīng)h［n］的線性系統(tǒng)中，得到9+4-1輸出信號(hào)y［n］。用數(shù)學(xué)術(shù)語表示為：x［n］卷積h［n］輸出結(jié)果y［n］。以第一種角度理解卷積：分解輸入信號(hào)，把輸入信號(hào)分量通過線性系統(tǒng)，然后把每一個(gè)輸出分量進(jìn)行合成。在這個(gè)例子中，輸入信號(hào)的每一個(gè)采樣點(diǎn)都將產(chǎn)生一個(gè)平移和縮放版的脈沖反應(yīng)，輸出信號(hào)即把這些平移和縮放版的脈沖反應(yīng)疊加生成最終的輸出信號(hào)y［n］。其具體的計(jì)算過程如下圖所示：

圖6

圖6：輸入信號(hào)中的每一個(gè)分量都將產(chǎn)生一個(gè)平移和縮放版的脈沖反應(yīng)。即用方形所表示的脈沖反應(yīng)結(jié)果。除了方形之外的所有點(diǎn)起數(shù)值均為0.

假設(shè)我們從輸入信號(hào)的第四個(gè)采樣點(diǎn)x［4］開始。這個(gè)采樣點(diǎn)的下標(biāo)為4，其值為1.4。當(dāng)輸入信號(hào)分解之后，這個(gè)采樣點(diǎn)可以用脈沖函數(shù)表示為：1.4 o［n-4］。經(jīng)過線性系統(tǒng)之后，該采樣點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)分量為1.4h［n-4］。如上圖中間位置圖像所示。注意到輸出信號(hào)分量脈沖反應(yīng)乘以1.4，并把采樣點(diǎn)右移到下表為四的采樣點(diǎn)。0-3，8-11各點(diǎn)數(shù)值均為0.

上圖中方塊形狀表示的即為平移和縮放的脈沖反應(yīng)數(shù)值，鉆石形狀的點(diǎn)其值為0.

當(dāng)輸入信號(hào)是四個(gè)采樣，經(jīng)過有九個(gè)點(diǎn)的脈沖反應(yīng)線性系統(tǒng)，其輸出的結(jié)果與上圖所示的方法結(jié)果相同。

圖7

圖8

上述兩種計(jì)算方法結(jié)果相同，揭示了卷積的一個(gè)重要性質(zhì)：卷積的交換律。即a［n］*b［n］=b［n］*a［n］。即卷積并不關(guān)心哪個(gè)信號(hào)是輸入信號(hào)哪個(gè)信號(hào)是脈沖反應(yīng)。

假設(shè)輸入信號(hào)為{1，2，3，4，1，2，3，4，5}；脈沖反應(yīng)為：{2，3，1，4};則卷積計(jì)算過程相當(dāng)于如下所示，每一個(gè)輸入信號(hào)分量分解為單個(gè)脈沖函數(shù)，經(jīng)過四個(gè)點(diǎn)的h［n］線性系統(tǒng)之后，其輸出結(jié)果即為h［n］+2*h［n-1］+3*h［n-2］+4*h［n-3］+ h［n-4］+2*h［n-1-5］+3*h［n-6］+4*h［n-7］+5h［n-8］。

圖9

圖10

從輸入信號(hào)角度理解卷積代碼示例：

#include《math.h》#include《stdio.h》#include《stdlib.h》 int main（）{ int InputSignal［9］ = {1，2，3，4，1，2，3，4，5}; int ImpulseCorres［4］ = {2，3，1，4}; int OutPut［12］ = {0}; int i，j; //input view for（i = 0;i 《 9;i++） { for（j = 0;j 《 4;j++） OutPut［i+j］ = OutPut［i+j］+InputSignal［i］*ImpulseCorres［j］; } for（i = 0;i 《 12;i++） { printf（“%d ”，OutPut［i］）; } return 0;}

從輸出信號(hào)的角度理解

從輸出信號(hào)角度理解卷積，分析的是每一個(gè)輸入信號(hào)的采樣點(diǎn)是如何影響眾多輸出信號(hào)的采樣點(diǎn)。而從輸出角度理解卷積，分析的是輸出信號(hào)的每一個(gè)采樣點(diǎn)是由哪些輸入信號(hào)影響的。這種方式對(duì)數(shù)學(xué)角度和實(shí)踐應(yīng)用角度理解卷積都相當(dāng)有作用。用公式表示即為：y［n］=其他變量的組合。換句話說，輸出信號(hào)采樣點(diǎn)n等于眾多輸入信號(hào)和脈沖反應(yīng)的線性組合。

從如圖6可以看出，單個(gè)輸出信號(hào)是如何受到眾多輸入型號(hào)的影響的。假設(shè)我們以y［6］為例，在圖6中找到在n=6的位置，九個(gè)輸入信號(hào)中有哪些數(shù)值為非零的采樣點(diǎn)作用于該位置。由圖可以看出五個(gè)輸入信號(hào)在n = 6的位置其數(shù)值為0，只有四格輸入信號(hào)作用于n = 6的時(shí)候其數(shù)值不為零。分別是x［3］，x［4］，x［5］，x［6］。y［6］的最終結(jié)果即為這四個(gè)輸入信號(hào)作用單獨(dú)作用于線性系統(tǒng)的后輸出信號(hào)分量之和。即y［6］ = x［3］*h［3］+x［4］*h［2］+x［5］*h［1］+x［6］*h［0］。

圖11，從輸出信號(hào)角度理解卷積，其相當(dāng)于一個(gè)卷積機(jī)器。如圖所示，假設(shè)輸入信號(hào)x［n］，輸出信號(hào)y［n］， 虛線方框里表示的是卷積機(jī)器，可以從左到右從右到左自由移動(dòng)。卷積機(jī)器放置的位置應(yīng)該與我們需要求得輸出信號(hào)采樣點(diǎn)對(duì)其，輸入信號(hào)的四個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)入到卷積機(jī)器，四個(gè)采樣點(diǎn)的數(shù)字分別于其對(duì)應(yīng)的脈沖反應(yīng)相乘，再把其乘積相加。例如為了計(jì)算y［6］，需要把x［3］，x［4］，x［5］，x［6］四個(gè)輸入信號(hào)輸送到卷積機(jī)器。相應(yīng)的，為了計(jì)算y［7］，卷積機(jī)器必須右移一位到采樣點(diǎn)7的位置，這樣，進(jìn)入到卷積的四個(gè)信號(hào)分別是x［4］，x［5］，x［6］， x［7］，如此循環(huán)直到所有輸出信號(hào)分量被計(jì)算完成。

圖11

卷積機(jī)器中脈沖反應(yīng)排列順序是相當(dāng)重要的。卷積機(jī)器中的脈沖反應(yīng)與原始的脈沖反應(yīng)做了一個(gè)鏡像的翻轉(zhuǎn)。為什么需要翻轉(zhuǎn)呢？

即假設(shè)我們計(jì)算y［4］的輸出結(jié)果，由上圖可知y［4］ = x［4］*h［0］+x［3］*h［1］+x［2］*h［2］+x［1］*h［3］+x［0］*h［4］。即當(dāng)前輸入信號(hào)點(diǎn)輸入到線性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的輸出結(jié)果是當(dāng)前信號(hào)和之前各個(gè)信號(hào)對(duì)當(dāng)前點(diǎn)的脈沖反應(yīng)的一個(gè)線性加權(quán)。如公式所述，為了計(jì)算y［4］的結(jié)果，我們必須把輸入x［0］，x［1］，x［2］，x［3］，x［4］作用在n = 4的位置的脈沖響應(yīng)進(jìn)行線性加權(quán)。也就是說，當(dāng)x［0］進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)候，在n = 4的位置對(duì)應(yīng)的脈沖反應(yīng)為h［4］，其輸出為x［0］*h［4］，當(dāng)x［1］進(jìn)入系統(tǒng)后，在n = 4的位置對(duì)應(yīng)的脈沖反應(yīng)為h［3］，其輸出結(jié)果為x［1］*h［3］以此類推。由此可以看出，輸出信號(hào)的每一個(gè)分量都是有收到輸入信號(hào)影響的權(quán)重線性組合，其權(quán)重恰好是脈沖反應(yīng)的鏡像翻轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重值。這也就是為什么卷積公式中需要把輸入信號(hào)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)在進(jìn)行線性疊加的原因。

假設(shè)有N個(gè)點(diǎn)的輸入信號(hào)x［n］，采樣點(diǎn)從0-N-1，有M個(gè)點(diǎn)，脈沖反應(yīng)為h［n］的線性系統(tǒng)，信號(hào)點(diǎn)從0-M-1。則這兩個(gè)信號(hào)的卷積將輸出有N+M-1個(gè)采樣點(diǎn)的信號(hào)，下標(biāo)從0-N+M-2。用公式表示為：

從輸出信號(hào)角度理解卷積代碼示例：

#include《math.h》#include《stdio.h》#include《stdlib.h》 int main（）{ int InputSignal［9］ = {1，2，3，4，1，2，3，4，5}; int ImpulseCorres［4］ = {2，3，1，4}; int OutPut［12］ = {0}; int i，j; //output view for（i = 0;i 《 12;i++） { OutPut［i］ = 0; for（j = 0; j 《 4;j++） { if（（i-j）《0） continue; if（（i-j）》8） continue; OutPut［i］ += ImpulseCorres［j］*InputSignal［i-j］; } } for（i = 0;i 《 12;i++） { printf（“%d ”，OutPut［i］）; } return 0; }

4.圖像中的卷積

假設(shè)二維函數(shù)I和H，對(duì)應(yīng)的卷積操作可以表示為：

也可以表示為：

應(yīng)用于圖像領(lǐng)域時(shí)，其卷積公式也可以表示為：

當(dāng)濾波函數(shù)H*（I，j） = H（-I，-j）進(jìn)，H（I，j）進(jìn)行了180度旋轉(zhuǎn)之后，其結(jié)果與線性濾波時(shí)一樣的。

圖像中的線性濾波可以表示為：

其原理為：

由兩者的公式可以看出，線性濾波其實(shí)是把濾波函數(shù)進(jìn)行180度旋轉(zhuǎn)之后進(jìn)行卷積的結(jié)果。

以待吧！
編輯：lyn