淺談參數(shù)約束關(guān)系的工業(yè)相機(jī)的線性標(biāo)定法

摘 要： 提出了一種基于參數(shù)約束關(guān)系的工業(yè)相機(jī)的線性標(biāo)定法，該方法充分考慮了攝像機(jī)標(biāo)定參數(shù)之間的約束關(guān)系，利用單位正交矩陣的6個(gè)約束關(guān)系，使標(biāo)定誤差按參數(shù)之間的約束關(guān)系進(jìn)行分配。該方法既避免了攝像機(jī)非線性標(biāo)定所需優(yōu)化算法的繁瑣和不穩(wěn)定，亦解決了其他線性標(biāo)定法中攝像機(jī)內(nèi)外部參數(shù)分解誤差大的問題，是一種簡單、高效、實(shí)用的攝像機(jī)標(biāo)定算法。

視覺檢測由于具有非接觸、測量速度快、信息量大等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于質(zhì)量檢測[1-2]、尺寸檢測[3-5]以及方位檢測[6-8]等諸多工業(yè)檢測領(lǐng)域[9]。其中，視覺檢測的一個(gè)基本任務(wù)就是通過工業(yè)相機(jī)獲取的二維圖像信息精確地計(jì)算出空間物體的三維幾何信息，而實(shí)現(xiàn)這一過程的前提和基礎(chǔ)是攝像機(jī)標(biāo)定[10-12]。

攝像機(jī)標(biāo)定就是確定攝像機(jī)的位置、屬性參數(shù)（稱為攝像機(jī)內(nèi)外部參數(shù)），以便于確定世界坐標(biāo)系中物理點(diǎn)與其在圖像坐標(biāo)系中所成的像點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系[13]。精確標(biāo)定攝像機(jī)內(nèi)外部參數(shù)不僅可以提高視覺檢測任務(wù)的可靠性，而且還可以提高視覺檢測任務(wù)的精度；同時(shí)，標(biāo)定的實(shí)時(shí)性可以更好地滿足工業(yè)現(xiàn)場檢測應(yīng)用的需要。

目前攝像機(jī)標(biāo)定方法很多，按其求解算法大致可以分為線性標(biāo)定法、非線性標(biāo)定法以及兩步法[14]。本文提出了一種用于工業(yè)視覺檢測應(yīng)用的簡單的攝像機(jī)標(biāo)定方法。該方法是一種全線性標(biāo)定方法，只利用線性方程和矩陣計(jì)算，分解出攝像機(jī)內(nèi)外部參數(shù)，由于在進(jìn)行參數(shù)分解時(shí)充分考慮了攝像機(jī)標(biāo)定參數(shù)之間的約束關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了標(biāo)定誤差按參數(shù)之間的約束關(guān)系進(jìn)行分配，因而該算法精度高、速度快。

1 攝像機(jī)模型及標(biāo)定參數(shù)

1.1 針孔成像模型

理想的攝像機(jī)成像模型是針孔模型，由于攝像機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的加工誤差和裝配誤差，攝像機(jī)實(shí)際成像并不完全滿足針孔成像，即攝像機(jī)實(shí)際成像與理想成像之間存在著光學(xué)畸變誤差[15]。由于針孔成像原理簡單，再加之現(xiàn)代光電技術(shù)的發(fā)展，攝像機(jī)成像的畸變誤差越來越小，成像質(zhì)量越來越高，因此在針孔成像模型的基礎(chǔ)上，只要適當(dāng)?shù)乜紤]一些鏡頭的畸變因素，就能滿足多數(shù)的應(yīng)用需求。因此，本文的成像模型采用針孔模型，如圖1所示。

該模型共有4個(gè)坐標(biāo)系，分別為：

（1）世界坐標(biāo)系owxwywzw：是由用戶任意定義的三維空間坐標(biāo)系，（xw，yw，zw）表示物點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)。

（2）攝像機(jī)坐標(biāo)系o0x0y0z0：是以鏡頭光學(xué)中心為原點(diǎn)，z0軸平行于攝像機(jī)光軸的坐標(biāo)系。世界坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系的變換可以用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T來描述：

x0y0z0=Rxwywzw+T（1）

其中，R=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33，T=txtytz。

（3）圖像物理坐標(biāo)系oxy：原點(diǎn)位于攝像機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)，x、y軸分別與x0、y0軸平行。攝像機(jī)坐標(biāo)系與圖像物理坐標(biāo)系的變換為：

xy1=f 0 00 f 00 0 1x0y0z0（2）

（4）圖像像素坐標(biāo)系ofuv：原點(diǎn)of位于CCD圖像平面的左上角，單位是像素，設(shè)圖像平面中心坐標(biāo)（即圖像物理坐標(biāo)系的原點(diǎn)o在圖像像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)）為（u0，v0），u和v分別表示像素所在的列和行。圖像物理坐標(biāo)系與圖像像素坐標(biāo)系的變換為：

uv1=1/dx 0 u0 0 1/dx v0 0 0 1xy1（3）

從世界坐標(biāo)系owxwywzw到圖像像素坐標(biāo)系總的變換為：

z0uv1=?琢x 0 u0 00 ?琢y v0 00 0 1 0R T0 1 xwywzw1=Mxwywzw1（4）

1.2 需要標(biāo)定的參數(shù)

（1）外部參數(shù)：包括R和T，共12個(gè)，但因R為單位正交矩陣，必須滿足6個(gè)正交約束條件，故實(shí)際上只有6個(gè)外部參數(shù)需要標(biāo)定。

（2）內(nèi)部參數(shù)：包括?琢x、?琢y、u0、v0 4個(gè)。其中，?琢x=f/dx，?琢y=f/dy、dx、dy分別為一個(gè)像素在x、y方向上的物理尺寸。

2 參數(shù)標(biāo)定

做一個(gè)特制的標(biāo)定參照物如圖2所示，攝像機(jī)獲取該參照物圖像，用特征點(diǎn)提取算法計(jì)算參照物上每一個(gè)標(biāo)定點(diǎn)的圖像像素坐標(biāo)u、v，世界坐標(biāo)系可選標(biāo)定參照物的物體坐標(biāo)系。已知標(biāo)定參照物上標(biāo)定點(diǎn)的世界坐標(biāo)及其對應(yīng)的圖像像素坐標(biāo)，就可以求出攝像機(jī)投影變換矩陣M。

將式（4）改寫為：

z0uv1=Mxwywzw1=m11 m12 m13 m14m21 m22 m23 m24m31 m32 m33 m34xwywzw1（5）

整理消去z0后，可得到如下兩個(gè)線性方程：

m11xw+m12yw+m13zw+m14-um31xw-um32yw-um33zw=um34

m21xw+m22yw+m23zw+m24-vm31xw-vm32yw-vm33zw=vm34（6）

對每一個(gè)標(biāo)定點(diǎn)都有式（6）所示的兩個(gè)方程。若采用n≥6個(gè)點(diǎn)，就可以得到2n個(gè)關(guān)于mij的線性方程，用最小二乘法可以計(jì)算出投影變換矩陣M的系數(shù)。

xw1 yw1 zw1 1 0 0 0 0 -u1xw1 -u1yw1 -u1zw1 0 0 0 0 xw1 yw1 zw1 1 -v1xw1 -v1yw1 -v1zw1 … … … … … … … … … … …xwn ywn zwn 1 0 0 0 0 -unxwn -unywn -unzwn 0 0 0 0 xwn ywn zwn 1 -vnxwn -vnywn -vnzwnm=m34u1m34v1 …m34unm34vn（7）

其中，m=[m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33]T。

變換矩陣M由4個(gè)內(nèi)部參數(shù)和6個(gè)外部參數(shù)（3個(gè)獨(dú)立旋轉(zhuǎn)矩陣參數(shù)，3個(gè)獨(dú)立平移參數(shù)）組成，即M矩陣應(yīng)由10個(gè)獨(dú)立的變量確定。但M為3×4的矩陣，共有12個(gè)參數(shù)。對于式（5）來說，M乘以任何不為零的常數(shù)都不會(huì)影響（xw，yw，zw）與（u，v）的關(guān)系，所以可以指定m34=1，故M矩陣由11個(gè)參數(shù)確定?？梢娺@11個(gè)參數(shù)并非相互獨(dú)立，存在著變量之間的約束關(guān)系，但用式（7）求解這些參數(shù)時(shí)，并沒有考慮這些參數(shù)之間的約束關(guān)系，因此在數(shù)據(jù)存在誤差的情況下，計(jì)算結(jié)果肯定是有誤差的，且誤差沒有按照參數(shù)之間的約束關(guān)系進(jìn)行分配，特別是在分解內(nèi)外部參數(shù)時(shí)，誤差顯得尤為突出。

為此，本文提出一種基于參數(shù)約束關(guān)系的線性標(biāo)定法，通過考慮參數(shù)之間的約束關(guān)系來提高參數(shù)標(biāo)定的精度。具體計(jì)算過程如下：令式（7）兩邊同除以m34，變換后公式縮寫為Kd=U。其中，K為式（7）左邊2n×11的矩陣；d=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11]T，d1，…，d11分別表示；U=[u1 v1 … un vn]T。然后利用最小二乘法求解矩陣d為：

d=（KTK）-1KTU（8）

由式（4）、（5）可得：

?琢xR1T+u0R3T ?琢xtx+u0tz?琢yR2T+v0R3T ?琢yty+v0tz R3T tz=M1T m14M2T m14M3T m14（9）

其中，M1T ，M2T ，M3T分別是矩陣M的第1、2、3行的前3個(gè)元素；R1=[r11 r12 r13]T，R2=[r21 r22 r23]T，R3=[r31 r32 r33]T，R=R1T R2TR3T，并且它們之間滿足如下關(guān)系：

‖R1‖2=r112+r122+r132=1（10）

‖R2‖2=r212+r222+r232=1（11）

‖R3‖2=r312+r322+r332=1（12）

R1TR2=r11r21+r12r22+r13r23=0（13）

R2TR3=r21r31+r22r32+r23r33=0（14）

R3TR1=r11r31+r12r12+r23r33=0（15）

由式（9）可以看出M3=R3，所以‖M3‖2=1，即（d92+d102+d112）m342=1，則可以求出：

m34=16）

則m11=d1m34，m12=d2m34，m13=d3m34，m14=d4m34，m21=d5m34，m22=d6m34，

m23=d7m34，m24=d8m34，m31=d9m34，m32=d10m34，m33=d11m34。

變換矩陣M的各個(gè)參數(shù)求解如下：

R3=M3tz=m34u0=（?琢xR1T+u0R3T）R3=M1TM3v0=（?琢yR2T+v0R3T）R3=M2TM3?琢x=|M1×M3|?琢y=|M2×M3|R1=

綜上所述，由6個(gè)以上點(diǎn)就可以計(jì)算出變換矩陣M，并且在求解內(nèi)外參數(shù)時(shí)利用了單位矩陣的6個(gè)約束關(guān)系，對攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)進(jìn)行分配，即便數(shù)據(jù)存在誤差，誤差也能按照各參數(shù)之間的約束關(guān)系分配，從而提高了標(biāo)定精度。

本文基于理想的攝像機(jī)小孔模型，對目前攝像機(jī)的線性標(biāo)定法進(jìn)行了分析。針對以往線性標(biāo)定中參數(shù)并非相互獨(dú)立而無法準(zhǔn)確計(jì)算出攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)的問題，提出了一種基于參數(shù)時(shí)間約束關(guān)系的線性標(biāo)定法。該方法充分考慮了攝像機(jī)標(biāo)定參數(shù)之間的約束關(guān)系，利用約束關(guān)系計(jì)算攝像機(jī)內(nèi)外部參數(shù)，使數(shù)據(jù)誤差能夠按各參數(shù)之間的約束關(guān)系進(jìn)行分配，從而可以提高攝像機(jī)標(biāo)定的精度。

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