模型訓(xùn)練擬合的分類和表現(xiàn)

在進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘或者機(jī)器學(xué)習(xí)模型建立的時(shí)候，因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中，假設(shè)數(shù)據(jù)滿足獨(dú)立同分布（i.i.d，independently and identically distributed），即當(dāng)前已產(chǎn)生的數(shù)據(jù)可以對(duì)未來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行推測(cè)與模擬，因此都是使用歷史數(shù)據(jù)建立模型，即使用已經(jīng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)去訓(xùn)練，然后使用該模型去擬合未來(lái)的數(shù)據(jù)。 在我們機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的訓(xùn)練過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合和欠擬合的現(xiàn)象。訓(xùn)練一開(kāi)始，模型通常會(huì)欠擬合，所以會(huì)對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，然而等到訓(xùn)練到一定程度的時(shí)候，就需要解決過(guò)擬合的問(wèn)題了。

一、模型訓(xùn)練擬合的分類和表現(xiàn)

如何判斷過(guò)擬合呢？我們?cè)谟?xùn)練過(guò)程中會(huì)定義訓(xùn)練誤差，驗(yàn)證集誤差，測(cè)試集誤差（泛化誤差）。訓(xùn)練誤差總是減少的，而泛化誤差一開(kāi)始會(huì)減少，但到一定程序后不減反而增加，這時(shí)候便出現(xiàn)了過(guò)擬合的現(xiàn)象。

如下圖所示，從直觀上理解，欠擬合就是還沒(méi)有學(xué)習(xí)到數(shù)據(jù)的特征，還有待繼續(xù)學(xué)習(xí)，而過(guò)擬合則是學(xué)習(xí)進(jìn)行的太徹底，以至于把數(shù)據(jù)的一些局部特征或者噪聲帶來(lái)的特征都給學(xué)到了，所以在進(jìn)行測(cè)試的時(shí)候泛化誤差也不佳。

從方差和偏差的角度來(lái)說(shuō)，欠擬合就是在訓(xùn)練集上高方差、高偏差，過(guò)擬合也就是訓(xùn)練集上高方差、低偏差。為了更加生動(dòng)形象的表示，我們看一些經(jīng)典的圖：

對(duì)比這幾個(gè)圖，發(fā)現(xiàn)圖一的擬合并沒(méi)有把大體的規(guī)律給擬合出來(lái)，這個(gè)就是欠擬合。圖三則是擬合的太細(xì)致了，用的擬合函數(shù)太復(fù)雜了，在這些數(shù)據(jù)集上的效果很好，但是換到另外的一個(gè)數(shù)據(jù)集效果肯定可預(yù)見(jiàn)的不好。只有圖二是最好的，把數(shù)據(jù)的規(guī)律擬合出來(lái)了，同時(shí)在更換數(shù)據(jù)集后，效果也不會(huì)很差。

仔細(xì)想想圖片三中的模型，擬合函數(shù)肯定是一個(gè)高次函數(shù)，其參數(shù)個(gè)數(shù)肯定肯定比圖二的要多，可以說(shuō)圖三的擬合函數(shù)比圖二的要大，模型更加復(fù)雜。這也是過(guò)擬合的一個(gè)判斷經(jīng)驗(yàn)，模型是否太復(fù)雜。另外，針對(duì)圖三，我們把一些高次變量對(duì)應(yīng)的參數(shù)值變小，也就相當(dāng)于把模型變簡(jiǎn)單了。這個(gè)角度上看，可以減小參數(shù)值，也就是一般模型過(guò)擬合，參數(shù)值整體比較大。從模型復(fù)雜性來(lái)講，可以是：1、模型的參數(shù)個(gè)數(shù)；2、模型的參數(shù)值的大小。個(gè)數(shù)越多，參數(shù)值越大，模型就越復(fù)雜。

二、欠擬合

1、欠擬合的表現(xiàn)

針對(duì)模型過(guò)擬合這個(gè)問(wèn)題，有沒(méi)有什么方法來(lái)判定模型是否過(guò)擬合呢？其實(shí)一般都是依靠模型在訓(xùn)練集和驗(yàn)證集上的表現(xiàn)有一個(gè)大體的判斷就行了。如果要有一個(gè)具體的方法，可以參考機(jī)器學(xué)中，學(xué)習(xí)曲線來(lái)判斷模型是否過(guò)擬合。如下圖：

也就是看訓(xùn)練集合驗(yàn)證集隨著樣本數(shù)量的增加，他們之間的差值變化。如果訓(xùn)練集和測(cè)試集的準(zhǔn)確率都很低，那么說(shuō)明模型欠擬合。

2、欠擬合的解決方案

欠擬合是由于學(xué)習(xí)不足，可以考慮添加特征，從數(shù)據(jù)中挖掘出更多的特征，有時(shí)候還需要對(duì)特征進(jìn)行變換，使用組合特征和高次特征。
模型簡(jiǎn)單也會(huì)導(dǎo)致欠擬合，例如線性模型只能擬合一次函數(shù)的數(shù)據(jù)。嘗試使用更高級(jí)的模型有助于解決欠擬合，如使用SVM，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。
正則化參數(shù)是用來(lái)防止過(guò)擬合的，出現(xiàn)欠擬合的情況就要考慮減少正則化參數(shù)。

三、過(guò)擬合

1、過(guò)擬合的定義

模型在訓(xùn)練集上的表現(xiàn)很好，但在測(cè)試集和新數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)很差。

2、過(guò)擬合的原因

1）數(shù)據(jù)量太小

這個(gè)是很容易產(chǎn)生過(guò)擬合的一個(gè)原因。設(shè)想，我們有一組數(shù)據(jù)很好的吻合3次函數(shù)的規(guī)律，現(xiàn)在我們局部的拿出了很小一部分?jǐn)?shù)據(jù)，用機(jī)器學(xué)習(xí)或者深度學(xué)習(xí)擬合出來(lái)的模型很大的可能性就是一個(gè)線性函數(shù)，在把這個(gè)線性函數(shù)用在測(cè)試集上，效果可想而知肯定很差了。

2）訓(xùn)練集和驗(yàn)證集分布不一致

訓(xùn)練集訓(xùn)練出一個(gè)適合訓(xùn)練集那樣分布的數(shù)據(jù)集，當(dāng)你把模型運(yùn)用到一個(gè)不一樣分布的數(shù)據(jù)集上，效果肯定大打折扣。這個(gè)是顯而易見(jiàn)的。

3）模型復(fù)雜度太大

在選擇模型算法的時(shí)候，首先就選定了一個(gè)復(fù)雜度很高的模型，然后數(shù)據(jù)的規(guī)律是很簡(jiǎn)單的，復(fù)雜的模型反而就不適用了。

4）數(shù)據(jù)質(zhì)量很差

數(shù)據(jù)還有很多噪聲，模型在學(xué)習(xí)的時(shí)候，肯定也會(huì)把噪聲規(guī)律學(xué)習(xí)到，從而減小了具有一般性的規(guī)律。這個(gè)時(shí)候模型用來(lái)預(yù)測(cè)肯定效果也不好。

5）過(guò)度訓(xùn)練

這個(gè)是同第4個(gè)是相聯(lián)系的，只要訓(xùn)練時(shí)間足夠長(zhǎng)，那么模型肯定就會(huì)吧一些噪聲隱含的規(guī)律學(xué)習(xí)到，這個(gè)時(shí)候降低模型的性能是顯而易見(jiàn)的。

3、解決方案

1）降低模型復(fù)雜度

處理過(guò)擬合的第一步就是降低模型復(fù)雜度。為了降低復(fù)雜度，我們可以簡(jiǎn)單地移除層或者減少神經(jīng)元的數(shù)量使得網(wǎng)絡(luò)規(guī)模變小。與此同時(shí)，計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中不同層的輸入和輸出維度也十分重要。雖然移除層的數(shù)量或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模并無(wú)通用的規(guī)定，但如果你的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生了過(guò)擬合，就嘗試縮小它的規(guī)模。

2）數(shù)據(jù)集擴(kuò)增

在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域流行著這樣的一句話，“有時(shí)候往往擁有更多的數(shù)據(jù)勝過(guò)一個(gè)好的模型”。因?yàn)槲覀冊(cè)谑褂糜?xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型，通過(guò)這個(gè)模型對(duì)將來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，而在這之間又一個(gè)假設(shè)便是，訓(xùn)練數(shù)據(jù)與將來(lái)的數(shù)據(jù)是獨(dú)立同分布的。即使用當(dāng)前的訓(xùn)練數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)將來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)與模擬，而更多的數(shù)據(jù)往往估計(jì)與模擬地更準(zhǔn)確。因此，更多的數(shù)據(jù)有時(shí)候更優(yōu)秀。但是往往條件有限，如人力物力財(cái)力的不足，而不能收集到更多的數(shù)據(jù)，如在進(jìn)行分類的任務(wù)中，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行打標(biāo)，并且很多情況下都是人工得進(jìn)行打標(biāo)，因此一旦需要打標(biāo)的數(shù)據(jù)量過(guò)多，就會(huì)導(dǎo)致效率低下以及可能出錯(cuò)的情況。所以，往往在這時(shí)候，需要采取一些計(jì)算的方式與策略在已有的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行手腳，以得到更多的數(shù)據(jù)。

通俗得講，數(shù)據(jù)機(jī)擴(kuò)增即需要得到更多的符合要求的數(shù)據(jù)，即和已有的數(shù)據(jù)是獨(dú)立同分布的，或者近似獨(dú)立同分布的。

一般有以下方法：

從數(shù)據(jù)源頭采集更多數(shù)據(jù)

復(fù)制原有數(shù)據(jù)并加上隨機(jī)噪聲

重采樣

根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)集估計(jì)數(shù)據(jù)分布參數(shù)，使用該分布產(chǎn)生更多數(shù)據(jù)等

3）數(shù)據(jù)增強(qiáng)

使用數(shù)據(jù)增強(qiáng)可以生成多幅相似圖像。這可以幫助我們?cè)黾訑?shù)據(jù)集規(guī)模從而減少過(guò)擬合。因?yàn)殡S著數(shù)據(jù)量的增加，模型無(wú)法過(guò)擬合所有樣本，因此不得不進(jìn)行泛化。計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域通常的做法有：翻轉(zhuǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、改變亮度、添加噪聲等等

4）正則化

正則化方法是指在進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)或代價(jià)函數(shù)優(yōu)化時(shí)，在目標(biāo)函數(shù)或代價(jià)函數(shù)后面加上一個(gè)正則項(xiàng)，一般有L1正則與L2正則等。

L1懲罰項(xiàng)的目的是使權(quán)重絕對(duì)值最小化。公式如下：

L2懲罰項(xiàng)的目的是使權(quán)重的平方最小化。公式如下：

以下表格對(duì)兩種正則化方法進(jìn)行了對(duì)比：

如果數(shù)據(jù)過(guò)于復(fù)雜以至于無(wú)法準(zhǔn)確地建模，那么L2是更好的選擇，因?yàn)樗軌驅(qū)W習(xí)數(shù)據(jù)中呈現(xiàn)的內(nèi)在模式。而當(dāng)數(shù)據(jù)足夠簡(jiǎn)單，可以精確建模的話，L1更合適。對(duì)于我遇到的大多數(shù)計(jì)算機(jī)視覺(jué)問(wèn)題，L2正則化幾乎總是可以給出更好的結(jié)果。然而L1不容易受到離群值的影響。所以正確的正則化選項(xiàng)取決于我們想要解決的問(wèn)題。

總結(jié)

正則項(xiàng)是為了降低模型的復(fù)雜度，從而避免模型區(qū)過(guò)分?jǐn)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，包括噪聲與異常點(diǎn)（outliers）。從另一個(gè)角度上來(lái)講，正則化即是假設(shè)模型參數(shù)服從先驗(yàn)概率，即為模型參數(shù)添加先驗(yàn)，只是不同的正則化方式的先驗(yàn)分布是不一樣的。這樣就規(guī)定了參數(shù)的分布，使得模型的復(fù)雜度降低（試想一下，限定條件多了，是不是模型的復(fù)雜度降低了呢），這樣模型對(duì)于噪聲與異常點(diǎn)的抗干擾性的能力增強(qiáng)，從而提高模型的泛化能力。還有個(gè)解釋便是，從貝葉斯學(xué)派來(lái)看：加了先驗(yàn)，在數(shù)據(jù)少的時(shí)候，先驗(yàn)知識(shí)可以防止過(guò)擬合；從頻率學(xué)派來(lái)看：正則項(xiàng)限定了參數(shù)的取值，從而提高了模型的穩(wěn)定性，而穩(wěn)定性強(qiáng)的模型不會(huì)過(guò)擬合，即控制模型空間。

另外一個(gè)角度，過(guò)擬合從直觀上理解便是，在對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，需要照顧到每個(gè)點(diǎn)，從而使得擬合函數(shù)波動(dòng)性非常大，即方差大。在某些小區(qū)間里，函數(shù)值的變化性很劇烈，意味著函數(shù)在某些小區(qū)間里的導(dǎo)數(shù)值的絕對(duì)值非常大，由于自變量的值在給定的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的一定的，因此只有系數(shù)足夠大，才能保證導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值足夠大。

如下圖（引用知乎）：

另外一個(gè)解釋，規(guī)則化項(xiàng)的引入，在訓(xùn)練（最小化cost）的過(guò)程中，當(dāng)某一維的特征所對(duì)應(yīng)的權(quán)重過(guò)大時(shí)，而此時(shí)模型的預(yù)測(cè)和真實(shí)數(shù)據(jù)之間距離很小，通過(guò)規(guī)則化項(xiàng)就可以使整體的cost取較大的值，從而，在訓(xùn)練的過(guò)程中避免了去選擇那些某一維（或幾維）特征的權(quán)重過(guò)大的情況，即過(guò)分依賴某一維（或幾維）的特征（引用知乎）。

L2與L1的區(qū)別在于，L1正則是拉普拉斯先驗(yàn)，而L2正則則是高斯先驗(yàn)。它們都是服從均值為0，協(xié)方差為1λ。當(dāng)λ=0時(shí)，即沒(méi)有先驗(yàn)）沒(méi)有正則項(xiàng)，則相當(dāng)于先驗(yàn)分布具有無(wú)窮大的協(xié)方差，那么這個(gè)先驗(yàn)約束則會(huì)非常弱，模型為了擬合所有的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，參數(shù)可以變得任意大從而使得模型不穩(wěn)定，即方差大而偏差小。λ越大，標(biāo)明先驗(yàn)分布協(xié)方差越小，偏差越大，模型越穩(wěn)定。即，加入正則項(xiàng)是在偏差bias與方差variance之間做平衡tradeoff（來(lái)自知乎）。

下圖即為L(zhǎng)2與L1正則的區(qū)別：

上圖中的模型是線性回歸，有兩個(gè)特征，要優(yōu)化的參數(shù)分別是w1和w2，左圖的正則化是L2，右圖是L1。藍(lán)色線就是優(yōu)化過(guò)程中遇到的等高線，一圈代表一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，圓心就是樣本觀測(cè)值（假設(shè)一個(gè)樣本），半徑就是誤差值，受限條件就是紅色邊界（就是正則化那部分），二者相交處，才是最優(yōu)參數(shù)?？梢?jiàn)右邊的最優(yōu)參數(shù)只可能在坐標(biāo)軸上，所以就會(huì)出現(xiàn)0權(quán)重參數(shù)，使得模型稀疏。

其實(shí)拉普拉斯分布與高斯分布是數(shù)學(xué)家從實(shí)驗(yàn)中誤差服從什么分布研究中得來(lái)的。一般直觀上的認(rèn)識(shí)是服從應(yīng)該服從均值為0的對(duì)稱分布，并且誤差大的頻率低，誤差小的頻率高，因此拉普拉斯使用拉普拉斯分布對(duì)誤差的分布進(jìn)行擬合，如下圖：

而拉普拉斯在最高點(diǎn)，即自變量為0處不可導(dǎo)，因?yàn)椴槐阌谟?jì)算，于是高斯在這基礎(chǔ)上使用高斯分布對(duì)其進(jìn)行擬合，如下圖：

5）dropout

正則是通過(guò)在代價(jià)函數(shù)后面加上正則項(xiàng)來(lái)防止模型過(guò)擬合的。而在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，有一種方法是通過(guò)修改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其名為Dropout。該方法是在對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)用一種技巧（trick），對(duì)于如下所示的三層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

對(duì)于上圖所示的網(wǎng)絡(luò)，在訓(xùn)練開(kāi)始時(shí)，隨機(jī)得刪除一些（可以設(shè)定為一半，也可以為1/3，1/4等）隱藏層神經(jīng)元，即認(rèn)為這些神經(jīng)元不存在，同時(shí)保持輸入層與輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)不變，這樣便得到如下的ANN：

然后按照BP學(xué)習(xí)算法對(duì)ANN中的參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)更新（虛線連接的單元不更新，因?yàn)檎J(rèn)為這些神經(jīng)元被臨時(shí)刪除了）。這樣一次迭代更新便完成了。下一次迭代中，同樣隨機(jī)刪除一些神經(jīng)元，與上次不一樣，做隨機(jī)選擇。這樣一直進(jìn)行瑕疵，直至訓(xùn)練結(jié)束。

這種技術(shù)被證明可以減少很多問(wèn)題的過(guò)擬合，這些問(wèn)題包括圖像分類、圖像切割、詞嵌入、語(yǔ)義匹配等問(wèn)題。

6）早停

對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練的過(guò)程即是對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)更新的過(guò)程，這個(gè)參數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程往往會(huì)用到一些迭代方法，如梯度下降（Gradient descent）學(xué)習(xí)算法。Early stopping便是一種迭代次數(shù)截?cái)嗟姆椒▉?lái)防止過(guò)擬合的方法，即在模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集迭代收斂之前停止迭代來(lái)防止過(guò)擬合。

Early stopping方法的具體做法是，在每一個(gè)Epoch結(jié)束時(shí)（一個(gè)Epoch集為對(duì)所有的訓(xùn)練數(shù)據(jù)的一輪遍歷）計(jì)算validation data的accuracy，當(dāng)accuracy不再提高時(shí)，就停止訓(xùn)練。這種做法很符合直觀感受，因?yàn)閍ccurary都不再提高了，在繼續(xù)訓(xùn)練也是無(wú)益的，只會(huì)提高訓(xùn)練的時(shí)間。如下圖所示，在幾次迭代后，即使訓(xùn)練誤差仍然在減少，但測(cè)驗(yàn)誤差已經(jīng)開(kāi)始增加了。

那么該做法的一個(gè)重點(diǎn)便是怎樣才認(rèn)為validation accurary不再提高了呢？并不是說(shuō)validation accuracy一降下來(lái)便認(rèn)為不再提高了，因?yàn)榭赡芙?jīng)過(guò)這個(gè)Epoch后，accuracy降低了，但是隨后的Epoch又讓accuracy又上去了，所以不能根據(jù)一兩次的連續(xù)降低就判斷不再提高。一般的做法是，在訓(xùn)練的過(guò)程中，記錄到目前為止最好的validation accuracy，當(dāng)連續(xù)10次Epoch（或者更多次）沒(méi)達(dá)到最佳a(bǔ)ccuracy時(shí)，則可以認(rèn)為accuracy不再提高了。此時(shí)便可以停止迭代了（Early Stopping）。這種策略也稱為“No-improvement-in-n”，n即Epoch的次數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際情況取，如10、20、30……

7）重新清洗數(shù)據(jù)

把明顯異常的數(shù)據(jù)剔除

8）使用集成學(xué)習(xí)方法

把多個(gè)模型集成在一起，降低單個(gè)模型的過(guò)擬合風(fēng)險(xiǎn)

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