高爾頓板的結(jié)構(gòu)

神奇的正態(tài)分布源于“加”。

時(shí)隔多年，或許你早就記不得歲那年夏天高中悶熱的教室，但可能會(huì)記得有一天數(shù)學(xué)老師說(shuō)著要給大伙看個(gè)稀奇——一塊祖?zhèn)鞯母郀栴D板。盡管班上大多數(shù)同學(xué)都叫不出它的名字，卻也從小到大在科技館、博物館見(jiàn)多了，一點(diǎn)都提不起勁兒。老師一本正經(jīng)地開(kāi)始講，這個(gè)圖形就是正態(tài)分布，它有諸多的性質(zhì)……午后的時(shí)光更加昏沉而緩慢地流逝。

不過(guò)，這里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)可一點(diǎn)都不無(wú)聊，讓我們來(lái)觀察一下高爾頓板的結(jié)構(gòu)。

從最上方的節(jié)點(diǎn)往下，是幾排交錯(cuò)排列的釘子。從入口扔下的小球撞上一個(gè)釘子，就像觸網(wǎng)的乒乓球一樣，彈向左邊和右邊的概率相等。咦？這不就是老早學(xué)過(guò)的楊輝三角嗎？最上方只有一種可能，下降之后，左右兩邊比例變成，繼續(xù)這個(gè)步驟，第行的比例系數(shù)其實(shí)就是次二項(xiàng)式的展開(kāi)系數(shù)或者。正因如此，這種分布被稱(chēng)為二項(xiàng)分布。

楊輝三角/圖片來(lái)源：維基百科

二項(xiàng)式系數(shù)看起來(lái)與正態(tài)分布風(fēng)馬牛不相及，但是從高爾頓板的實(shí)驗(yàn)看來(lái)，要是增加釘子的層數(shù)和底部的格子數(shù)（也就是增加），那么二項(xiàng)分布將逼近于正態(tài)分布：

二項(xiàng)分布逼近正態(tài)分布的過(guò)程丨圖片來(lái)源：維基百科

為什么一個(gè)離散的分布會(huì)跟一個(gè)連續(xù)的分布扯上關(guān)系呢？這個(gè)結(jié)論最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗在1738年證明，他發(fā)現(xiàn)，如果不斷地拋一枚硬幣，那么得到的正面次數(shù)服從二項(xiàng)分布，只要拋得次數(shù)夠多，那最終將逼近正態(tài)分布。也就是說(shuō)，假如賭博勝和負(fù)的概率是對(duì)半分的，那么賭博次的盈虧最終就是上面這個(gè)分布。

棣莫弗(Abraham de Moivre 1667-1754)丨圖片來(lái)源：維基百科

不過(guò)這一結(jié)論在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起重視，畢竟并不是所有賭徒都能像梅雷一樣交上帕斯卡這樣的朋友。百年之后，拉普拉斯試圖挽救這個(gè)定理的人氣，依然沒(méi)有成功。為了紀(jì)念這對(duì)“難兄難弟”，現(xiàn)在人們把這個(gè)定理稱(chēng)為棣莫弗-拉普拉斯定理。

這種逼近的本質(zhì)究竟是什么呢？我們看到，不管是高爾頓板，還是多次賭博，二項(xiàng)分布拆成每一步都是簡(jiǎn)單的概率事件。那么就可以說(shuō)，二項(xiàng)分布是這樣的一步一步“加”起來(lái)的。

如果是比更復(fù)雜的分布，把它們大量加起來(lái)是否仍然有類(lèi)似的性質(zhì)呢？高斯等人在研究實(shí)驗(yàn)物理學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量，最終的測(cè)量誤差總是像這樣的：

誤差演示丨Python作圖

在物理學(xué)中，誤差來(lái)自于無(wú)關(guān)因素的微小擾動(dòng)。這些擾動(dòng)加起來(lái)，就是整體的誤差。這個(gè)整體誤差雖然層次不齊，但形狀與正態(tài)分布還是大致吻合的。從那以后，實(shí)驗(yàn)的誤差一般都當(dāng)作是正態(tài)分布。為了紀(jì)念高斯的貢獻(xiàn)，也把正態(tài)分布稱(chēng)為高斯分布。

至此，我們已經(jīng)大概能想象到，正態(tài)分布的逼近與這種“加”的性質(zhì)有關(guān)，剩下證明就是數(shù)學(xué)家的事了。如今，我們把這一系列逼近正態(tài)分布的性質(zhì)稱(chēng)為“中心極限定理”，結(jié)論從最初的二項(xiàng)分布，已經(jīng)擴(kuò)展到了任意分布（包括同分布和不同分布）的廣闊天地。就如同上一段中的誤差——即便我們對(duì)微觀下的擾動(dòng)一無(wú)所知，也能通過(guò)這種極限形式，了解大樣本下的整體行為。

應(yīng)用這一思想的最為經(jīng)典的例子當(dāng)屬統(tǒng)計(jì)力學(xué)。假如有一大堆粒子，每個(gè)都雜亂無(wú)章地運(yùn)動(dòng)，我們自然無(wú)從知曉每一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀況。不過(guò)，如果把每一個(gè)粒子的動(dòng)量當(dāng)作是一個(gè)隨機(jī)分布的話(huà)，那就可以把所有這些分布“加”起來(lái)當(dāng)做整體的動(dòng)量。如此一來(lái)，中心極限定理豈不是大有用處？

的確如此。如果對(duì)理想氣體應(yīng)用中心極限定理，得到的正是大名鼎鼎的麥克斯韋速度分布：

這正是均值為，方差為的正態(tài)分布。結(jié)論并不出乎意料，畢竟速度是矢量，并沒(méi)有明顯的方向取向，所以均值是。方差的意義略微復(fù)雜一些，就此略過(guò)，不過(guò)可以直觀地理解：對(duì)于溫度越高，粒子質(zhì)量越小的氣體，其速度就越不穩(wěn)定。

要想得到速率（速度大?。┑姆植?，只需要考慮速度分布這個(gè)三維空間中的一個(gè)球殼就行了。即是說(shuō)，在上面那個(gè)式子基礎(chǔ)上乘

麥克斯韋速率分布丨圖片來(lái)源：維基百科

物理學(xué)中一般是用玻爾茲曼分布來(lái)推導(dǎo)麥克斯韋分布的，但玻爾茲曼分布本身也可以用中心極限定理間接推導(dǎo)出來(lái)。之所以說(shuō)是間接，只需要看它的形式

這根本不是正態(tài)分布。歸根結(jié)底，能量的分布在這里不能相加，但在推導(dǎo)過(guò)程中，還是能見(jiàn)到正態(tài)分布。具體操作會(huì)稍微復(fù)雜一些，這里就不扯遠(yuǎn)了。

責(zé)任編輯：lq