舵機(jī)控制的傳遞函數(shù)及舵機(jī)建模方案

卓大大 您能發(fā)篇推文講解一下舵機(jī)控制的傳遞函數(shù)如何求解嗎 在做智能車仿真時(shí)卡在這里了。

的確，宅在家里手里沒有實(shí)際的智能車模，也無法實(shí)際調(diào)試。利用所學(xué)習(xí)的理論知識(shí)來對(duì)智能車建模仿真也不失為一種鍛煉的方法，這更能夠?qū)⒄n內(nèi)課外結(jié)合起來。

在仿真智能車控制中，有很多環(huán)節(jié)需要建模，其中的舵機(jī)環(huán)節(jié)是影響車模運(yùn)行性能的重要環(huán)節(jié)。你提到如何對(duì)舵機(jī)進(jìn)行建模的問題非常重要，回答這個(gè)問題需要從以下這幾個(gè)方面來討論。

什么是傳遞函數(shù)？

在分析和設(shè)計(jì)任何系統(tǒng)的時(shí)候，最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模。有很多數(shù)學(xué)模型可以用于控制系統(tǒng)的描述。比如：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程等。

▲ 線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)

傳遞函數(shù)是用來刻畫線性時(shí)不變（LTI：Linear Time Invariant）系統(tǒng)零狀態(tài)下輸入輸出信號(hào)之間的關(guān)系。針對(duì)控制問題來說，系統(tǒng)函數(shù)可以定義為系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)拉普拉斯變換的比值。

下面微分方程描述了線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出時(shí)域關(guān)系：

如果系統(tǒng)是零狀態(tài)，那么對(duì)方程兩邊做 Laplace 變換，可得：

系統(tǒng)函數(shù)定義為：

講到這兒，只是定義了什么是可以用于控制研究的傳導(dǎo)函數(shù)。在具體建立舵機(jī)的系統(tǒng)函數(shù)之前，需要判斷一下舵機(jī)是否滿足建立傳遞函數(shù)的條件：線性時(shí)不變特性。

▲ 舵機(jī)輸出與控制之間之間的關(guān)系

舵機(jī)是線性時(shí)不變系統(tǒng)嗎？

線性時(shí)不變特性是描述了系統(tǒng)的輸入輸出之間的兩個(gè)特性，線性性和時(shí)不變特性。

時(shí)不變特性描述了系統(tǒng)的由系統(tǒng)輸入信號(hào)所引起的系統(tǒng)輸出，是否隨著輸入信號(hào)的時(shí)間變化而產(chǎn)生相同的時(shí)間變化。舵機(jī)的輸入輸出之間的關(guān)系基本上滿足時(shí)不變特性。

線性特性是指系統(tǒng)輸入輸出之間滿足齊次性和疊加性，如果限定系統(tǒng)是實(shí)數(shù)系統(tǒng)，那么滿足疊加性也就滿足齊次性了。

下圖顯示了舵機(jī)在給定的指令之后，實(shí)際測(cè)量輸出角度變化的情況。基本上是按照一個(gè)恒定的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)到指定角度便停止了。

▲ 舵機(jī)的單位階躍相應(yīng)

那么，如果將指令放大兩倍,變成，舵機(jī)大約經(jīng)過兩倍的時(shí)間，到達(dá)兩倍的角度，角度信號(hào)為。如果僅僅是從最終輸出角度數(shù)值來看，它與輸入信號(hào)之間是線性（比例）關(guān)系。但從動(dòng)態(tài)過程來看，輸出信號(hào)并不是放大兩倍：

所以，舵機(jī)不是一個(gè)線性系統(tǒng)。

▲ 舵機(jī)輸出信號(hào)示意圖

由于實(shí)際舵機(jī)不滿足線性時(shí)不變特性，所以本質(zhì)上講，它無法使用傳遞函數(shù)了描述。

實(shí)際系統(tǒng)的線性近似

的確，很多實(shí)際系統(tǒng)不滿足線性時(shí)不變特性。這就使得應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述遇到困難。在一定條件下，可以將系統(tǒng)進(jìn)行線性近似。

比如，只研究系統(tǒng)輸入輸出之間變化量的關(guān)系，可以引入增量線性系統(tǒng)的概念。如果系統(tǒng)是分段線性的，可以在每一階段內(nèi)建立對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。

▲ 分段線性化

如果系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系足夠平滑，而系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)變化范圍小，這樣可以使用局部線性化來近似該系統(tǒng)。

▲ 小型號(hào)線性化

那么對(duì)于舵機(jī)來講，它是否滿足上面的線性近似呢？很遺憾，至少對(duì)控制車模轉(zhuǎn)向的小型舵機(jī)來講，在它的工作范圍內(nèi)很難獲得比較好用的線性化后的模型了，主要的原因是舵機(jī)工作在大的動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)。

▲ 舵機(jī)控制前輪轉(zhuǎn)向

為什么舵機(jī)不是線性的？

舵機(jī)內(nèi)部包括有小型直流電機(jī)、減速齒輪、驅(qū)動(dòng)電路以及位置傳感器等，是一個(gè)機(jī)電一體化的位置閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)。其中的小型電機(jī)、位置傳感器以及直流電機(jī)都可以近似看成線性系統(tǒng)，非線性主要來自于驅(qū)動(dòng)電路。

由于受到工作電壓以及功率的限制，驅(qū)動(dòng)電路輸出具有飽和特性。這樣就決定了電機(jī)轉(zhuǎn)速被限制在一定的范圍之內(nèi)。當(dāng)電路輸出進(jìn)行飽和之后，電機(jī)的轉(zhuǎn)速就是恒定值，驅(qū)動(dòng)輸出角度按照恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，從而與輸入信號(hào)之間就不再保持線性關(guān)系了。

▲ 舵機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意圖

所以，你可能看到網(wǎng)絡(luò)上很多對(duì)舵機(jī)進(jìn)行建模分析的，大部分都是針對(duì)于大型的伺服舵機(jī)，它的輸出能力大于實(shí)際負(fù)載，或者說特別關(guān)注于小范圍的動(dòng)態(tài)過程，此時(shí)可以使用傳遞函數(shù)建立相對(duì)精確的模型。

如何近似建立舵機(jī)數(shù)學(xué)模型？

根據(jù)上面分析，如何來對(duì)舵機(jī)建立可以用于仿真的數(shù)學(xué)模型呢？

1. 修改舵級(jí)的驅(qū)動(dòng)

前面分析了小型舵機(jī)的非線性主要來自于內(nèi)部驅(qū)動(dòng)電路板輸出飽和造成的，因此如果更換外部強(qiáng)勁的驅(qū)動(dòng)電路，就可以減少這方面的限制了。

在推文五線接口舵機(jī)[1]中給出了是所有 A4950 作為舵機(jī)功率驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)方法，在一定程度上可以擴(kuò)大舵機(jī)工作的線性范圍。

由于舵機(jī)的特性關(guān)系到車模運(yùn)行的速度，所以在比賽規(guī)則中除了特殊的組別（節(jié)能組、大型 L 型車模）之外，是不允許修改舵機(jī)內(nèi)部電路的。

2. 使用純延時(shí)環(huán)節(jié)替代舵機(jī)

由于舵機(jī)基本上工作在飽和恒速狀態(tài)，在實(shí)際建模分析的時(shí)候，可以將它的傳遞函數(shù)近似以下的方式：

（1）比例環(huán)節(jié)： 就是輸入輸出之間就是一個(gè)比例放大環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：。

（2）純延時(shí)環(huán)節(jié)： 根據(jù)舵機(jī)的工作參數(shù)，將舵機(jī)近似成一個(gè)純延時(shí)環(huán)節(jié)：。其中可以根據(jù)舵機(jī)參數(shù)來確定。（3）一階慣性關(guān)節(jié)：

下面是使用純延遲環(huán)節(jié)仿真車模在轉(zhuǎn)彎時(shí)的運(yùn)行情況：

▲ 車模實(shí)際運(yùn)行情況

▲ 使用純延時(shí)環(huán)節(jié)仿真車模轉(zhuǎn)向控制

3. 建立舵機(jī)的非線性模型

不再使用傳遞函數(shù)來描述舵機(jī)的輸入輸出關(guān)系，而是直接建立它的輸入輸出之間的非線性動(dòng)態(tài)關(guān)系。這一點(diǎn)可以通過普通的狀態(tài)機(jī)、查表方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立，或者通過測(cè)量舵機(jī)的輸入輸出關(guān)系來進(jìn)行數(shù)值描述等。

4. 硬件在環(huán)

如論數(shù)學(xué)描述多么精確，實(shí)際上都很難對(duì)舵機(jī)在實(shí)際上工作狀態(tài)下完整的描述。因此，將來在做仿真的時(shí)候，也可以建立起硬件在環(huán)的仿真機(jī)制。將整個(gè)的仿真環(huán)節(jié)回歸到時(shí)間域來進(jìn)行。舵機(jī)模型則利用它的非線性時(shí)間模型來給出動(dòng)態(tài)特性。

▲ 硬件在環(huán)仿真示意圖

小結(jié)

對(duì)于智能車仿真來講，建議你可以使用簡(jiǎn)單的比例、純延時(shí)、一階慣性環(huán)節(jié)來對(duì)車模上的舵機(jī)進(jìn)行建模。雖然這只是近似，但在給出車?？刂苹?a target="_blank">參數(shù)之后，在實(shí)際的車模運(yùn)行中再進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。

你想想，如果一切都能夠通過仿真搞定，那么還需要現(xiàn)場(chǎng)比賽干什么呢？

參考資料

[1]五線接口舵機(jī): https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5NjQyNjc2NQ&mid=2452221100&idx=1&sn=508232e296b36cb03b8140c1d992e878&chksm=876d02ceb01a8bd8f1c9a19295ef53c1bcc3afa5ddd81484c6b90f50b0692a0f331547317d54&token=458500273&lang=zh_CN#rd*

編輯：hfy