快速傅里葉變換檢測(cè)信號(hào)完整的輸出電流信號(hào)的基波

前一段時(shí)間，推文中介紹了兩款參賽同學(xué)根據(jù)負(fù)反饋原理制作的恒磁20kHz的信號(hào)源，有效的解決了智能車比賽場(chǎng)地中電磁導(dǎo)線的長(zhǎng)度，直徑等引起的電磁線圈的阻抗變化，從而對(duì)于輸出信號(hào)中20kHz基波信號(hào)帶來(lái)影響，提高了比賽場(chǎng)地導(dǎo)引信號(hào)的精度。

兩款信號(hào)源中，都采用了10mH電感和6.8nF電容組成的諧振選頻回路，對(duì)輸出電流信號(hào)中20kHz基波信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。通過(guò)負(fù)反饋的原理來(lái)穩(wěn)定輸出電流信號(hào)中基波的幅值。

是否還可以采用別的方法來(lái)檢測(cè)輸出電流信號(hào)的基波呢？下面給大家所介紹，就是通過(guò)普通的電阻對(duì)輸出電流進(jìn)行采樣，通過(guò)軟件算法來(lái)獲取輸出電流的基波分量。

實(shí)驗(yàn)仍然采用傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)源，輸出所使用的20kHz，100mA的方波交流信號(hào)。在信號(hào)輸出線中串入一個(gè)0.1歐姆的電阻，將電流信號(hào)轉(zhuǎn)變成電壓信號(hào)。

為了便于單片機(jī)采集該信號(hào)。使用了INA199對(duì)于電阻兩端的電壓進(jìn)行差模放大，放大倍數(shù)50倍。由于IN199的帶寬只有14kHz，它對(duì)于電流信號(hào)中的高頻信號(hào) 有著較大的衰減。下圖中，可以看到在采樣電阻兩端的電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)INA199差模放大之后，信號(hào)的上升沿和下降沿變得光滑了。信號(hào)失真是由于它中間的高頻分量被衰減了。

雖然信號(hào)出現(xiàn)了失真，但這只是低通濾波器將其中的高頻信號(hào)濾除了。對(duì)于20kHz基波信號(hào)衰減不大。并且這是一個(gè)線性低通濾波器，所以對(duì)于后面的測(cè)量校正不會(huì)帶來(lái)很大的影響。

使用單片機(jī)軟件算法來(lái)獲取電流信號(hào)的基波頻率分量，首先需要通過(guò)ADC（模擬數(shù)字轉(zhuǎn)化器）對(duì)于輸入信號(hào)進(jìn)行采樣，然后再進(jìn)行頻率分析。由于單片機(jī)的ADC性能和計(jì)算能力有限，所以需要使用信號(hào)欠采樣和快速傅里葉變換計(jì)數(shù)。下面分別進(jìn)行介紹。

信號(hào)欠采樣

根據(jù)信號(hào)采樣香儂(Claude Shannon)定理，如果信號(hào)采樣頻率大于信號(hào)中最高頻率的兩倍，則信號(hào)可以無(wú)損失進(jìn)行恢復(fù)，否則就會(huì)造成信息的丟失和頻率混疊。通常稱信號(hào)最高頻率的兩倍為信號(hào)的奈奎斯特（Nyquist）采樣頻率。在實(shí)際應(yīng)用中情況下，需要采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的五倍以上。

對(duì)于方波電流信號(hào)，理論上，它的最高頻率是無(wú)窮大。這樣就會(huì)給信號(hào)采樣帶來(lái)很大的麻煩。如果采樣頻率無(wú)法滿足奈奎斯特頻率，就會(huì)產(chǎn)生信號(hào)的頻率混疊現(xiàn)象，表現(xiàn)在原本信號(hào)中高頻分量在采集后所形成的序列反而是低頻序列。這樣就會(huì)造成信號(hào)頻率分量出現(xiàn)偏差。

20kHz的電流信號(hào)，具有豐富的高次諧波。如果考慮到信號(hào)的10次諧波作為信號(hào)的最高頻率。那么所需要的采樣頻率就是20000102=400,000Hz。這個(gè)頻率對(duì)于普通的單片機(jī)來(lái)說(shuō)已經(jīng)到來(lái)它的上限了。如下是設(shè)置單片機(jī)ADC不同的轉(zhuǎn)換時(shí)間，所采集到的電流信號(hào)。

可以看出，在轉(zhuǎn)換時(shí)間小的情況下，是可以采集到比較完整的電流波形，但是，數(shù)據(jù)中會(huì)帶有很大的噪聲。如果轉(zhuǎn)換時(shí)間設(shè)置長(zhǎng)了，就會(huì)出現(xiàn)明顯的欠采樣的情況，數(shù)據(jù)波形與實(shí)際信號(hào)波形之間出現(xiàn)了很大的差別。

如何解決這個(gè)矛盾了。這里需要應(yīng)用到電流信號(hào)是周期信號(hào)的特點(diǎn)，可以使用信號(hào)欠采樣來(lái)獲得信號(hào)完整的波形。

欠采樣是巧妙應(yīng)用到頻譜混疊，將原本高頻的諧波，變成低頻的諧波，從而可以在遠(yuǎn)小于信號(hào)的奈奎斯特采樣頻率下完成信號(hào)的采集。

從時(shí)域分析來(lái)看，采樣的周期比信號(hào)的周期（或者信號(hào)周期的整數(shù)倍數(shù)）略大，比如大了deltaT，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)的周期T。這樣每一個(gè)周期只采集一個(gè)數(shù)據(jù)，下一個(gè)周期的的采樣點(diǎn)會(huì)往后延遲deltaT.。將若干個(gè)周期中不同位置的采樣數(shù)據(jù)拼合在一起就可以形成信號(hào)的完整周期的數(shù)據(jù)。下圖就可以看出，一個(gè)高頻正弦波，在欠采樣下，可以形成一個(gè)低頻的正弦序列波形。

對(duì)于20kHz的信號(hào)，它的一個(gè)周期為50微妙。下圖是采用周期是50.172微秒的間隔對(duì)電流信號(hào)進(jìn)行采集所獲得數(shù)據(jù)波形，可以看出它是原來(lái)電流波形的完美體現(xiàn)。

通過(guò)MATLAB中的FFT命令，可以求解出數(shù)據(jù)中的各個(gè)頻率分量幅度（成為幅度譜）。具體結(jié)果如下圖所示。

頻譜顯示，上述波形中，它的基波以及各個(gè)奇次（3,5,7…）諧波都存在，并隨著頻率的增加而減小。所有的偶次（2,4,6…）諧波都不存在。這是由于原始的對(duì)稱方波屬于奇諧信號(hào)，這樣的信號(hào)以及它的線性變換都不存在偶次諧波。相關(guān)的介紹在“分?jǐn)?shù)諧波”推文中介紹過(guò)。

FFT

獲取信號(hào)中的各個(gè)諧波分量的幅值，可以通過(guò)傅里葉變換求得。對(duì)于采集所得到的離散序列來(lái)講，所使用變換就是離散傅里葉變換（DFT）。在上個(gè)世紀(jì)60年代，出現(xiàn)的離散傅里葉變換的快速算法（FFT）使得DFT的計(jì)算復(fù)雜度從O(N^2)降低到N*log2(N)，這使得頻譜分析快速進(jìn)入了實(shí)際工程應(yīng)用中。

問(wèn)題是，快速傅里葉變換是否是最快，最有效的分析方法呢？

這需要看應(yīng)用的具體需求。在有些情況下，反而直接應(yīng)用DFT所需要的計(jì)算量比FFT還要小。比如在這里，由于我們只需要求出信號(hào)中20kHz的基波信號(hào)分量，即信號(hào)頻譜中對(duì)應(yīng)20kHz的系數(shù)X[k]，所以直接使用上述DFT公式計(jì)算X[k]則只需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法即可。反而比Log2(N)*N次的FFT更少。

由于計(jì)算需要使用到Exp(2pijkn/N)系數(shù)，根據(jù)歐拉公式，它是由cos(t)+jsin(t)構(gòu)成，這些系數(shù)可以在進(jìn)行計(jì)算前制作成表格提前得到，或者使用三角變換公式進(jìn)行地推而形成，這都可以加快具體計(jì)算過(guò)程。

下面，對(duì)于上述方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證一下。采用和以前實(shí)驗(yàn)方案相同，在以前標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源回路中串入不同的電感，模擬不同長(zhǎng)度的電磁線。通過(guò)一個(gè)LC諧振回路放在電磁線周圍，來(lái)感應(yīng)磁場(chǎng)強(qiáng)度。分別記錄在不同串入電感的情況下，LC輸出交流電壓信號(hào)以及電流采集信號(hào)的FFT系數(shù)。

如下是對(duì)20中不同電感下，測(cè)量的數(shù)據(jù)曲線?？梢钥闯觯瓉?lái)標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源，隨著輸出回路電感的增加，輸出電流信號(hào)的基波分量在逐步增加。具體原因在以往的推文中有分析。

與此同時(shí)，可以看到通過(guò)電流采樣數(shù)據(jù)所計(jì)算出的FFT基波分量的頻譜系數(shù)也按照相同的比例進(jìn)行變化。

這說(shuō)明，通過(guò)軟件計(jì)算所獲得的基波分量的大小與采用LC選頻諧振回路的作用相同。如果使用FFT系數(shù)對(duì)于輸出電流進(jìn)行反饋控制，就可以使得輸出電流的基波保持穩(wěn)定。

如下就是使用采集到的LC電壓值除以電流信號(hào)的FFT基波系數(shù)所得到的比值，可以看到該比值基本維持在 一個(gè)恒定量。

這也說(shuō)明，使用電流采樣然后進(jìn)行頻譜分析可以完成信號(hào)源基波分量的穩(wěn)定控制。

總結(jié)

對(duì)于比賽數(shù)字信號(hào)源增加輸出電流采樣電阻，通過(guò)信號(hào)欠采樣計(jì)數(shù)，可以獲得輸出電流波形數(shù)據(jù)。應(yīng)用信號(hào)傅里葉變換，提取所感興趣的基波分量的幅度。由于只是計(jì)算基波分量 一個(gè)頻譜系數(shù)，所以不需要采用快速傅里葉變換，而是使用迭代的方式完成普通的離散傅里葉變換計(jì)算就可以高效計(jì)算出對(duì)應(yīng)的頻譜系數(shù)。

在具體實(shí)現(xiàn)中有些參數(shù)需要通過(guò)試湊來(lái)完成優(yōu)化。比如欠采樣的頻率的選擇，計(jì)算DFT數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度等。在上述實(shí)驗(yàn)，選擇欠采樣頻率使得在信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)可以采集到100個(gè)左右的有效數(shù)據(jù)。為了避免由于數(shù)據(jù)截取對(duì)于計(jì)算結(jié)果所帶來(lái)的誤差，選擇1個(gè)或者2個(gè)正周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可以獲得比較穩(wěn)定的頻譜系數(shù)。

通過(guò)此次的分析，是否大家認(rèn)為“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的重要性了？
編輯：hfy