什么是互相關函數(shù)？什么是相關系數(shù)？

[導讀] 在工程應用時，有時候需要計算兩個信號序列的相似度，實際信號由于在采集過程中會混入干擾，如果簡單的依次比較各樣本是否相等或者差值，則很難判定兩個信號序列的相似程度。本文來聊聊我的一些思路。

什么是互相關函數(shù)？

在統(tǒng)計學中，相關是描述兩個隨機變量序列或二元數(shù)據(jù)之間的統(tǒng)計關系，無論是否具有因果關系。廣義上講，相關性是統(tǒng)計上的關聯(lián)程度，它通常指的是兩個變量的線性相關的程度。比如商品的價格和消費者購買愿意數(shù)量之間的關系，也即所謂的需求曲線。

相關性是有用的，因為它們可以描述一種可在實踐中加以利用的預測作用。例如，根據(jù)電力需求和天氣之間的相關性，電力公司可能會在天氣涼快時候生產(chǎn)更少的電力。在這個例子中，有一定的因果關系存在，因為極端天氣導致人們使用更多的電力用于取暖或制冷。然而，一般而言，相關性的存在并不足以推斷出因果關系的存在，也就是說相關性并不意味著因果關系。

連續(xù)信號里，為函數(shù)及的互相關函數(shù)定義為：

離散信號,假設兩個信號序列x(n)及y(n)，每個序列的能量都是有限能量序列，則x(n)及y(n)的互相關序列為：

那么互相關函數(shù)就是描述在連續(xù)信號或離散序列的相關程度的一種統(tǒng)計度量。

什么是相關系數(shù)？

最熟悉的度量兩個量之間的相關性的方法是皮爾遜乘積矩相關系數(shù)(PPMCC)，也稱為“皮爾遜相關系數(shù)”，通常簡稱為“相關系數(shù)”。在數(shù)學上，它被定義為對原始數(shù)據(jù)的最小二乘擬合的質量（擬合程度或效果）。它是由數(shù)據(jù)集兩個變量的協(xié)方差的比率，歸一化到他們的方差的平方根得到的。數(shù)學上，兩個變量的協(xié)方差除以標準差的乘積。

皮爾遜積矩相關系數(shù)試圖通過兩個隨機序列的數(shù)據(jù)集建立一條最佳擬合曲線，實質上是通過列出期望和由此產(chǎn)生的皮爾遜相關系數(shù)表明實際數(shù)據(jù)集離預期值有多遠。根據(jù)皮爾遜相關系數(shù)的符號，如果數(shù)據(jù)集的變量之間存在某種關系，可以得到負相關或正相關。其定義公式如下：

上述公式展開為：

在根據(jù)期望計算公式展開，就得到：

如果考察延遲d處的互相關,則上述公式就變?yōu)?

為了方便理解，本文就不考察延遲節(jié)拍了。

相關系數(shù)有啥用？

皮爾遜相關系數(shù)的絕對值不大于1是Cauchy–Schwarz不等式的推論（有興趣的可以去找書看看）。因此，相關系數(shù)的值在[-1,1]之間。在理想的增加線性相關關系情況下，相關系數(shù)為+1；在理想的減少（反相關）線性關系情況下，相關系數(shù)為-1；在所有其他取值情況下，表示變量之間的線性相關程度。當它接近零時，更接近于不相關。系數(shù)越接近-1或1，變量之間的相關性越強。

故，相關系數(shù)其值范圍分布在區(qū)間[-1,1]：

1表示完全正相關

0表示不相關

-1表示完全負相關

為了方便理解，假定兩個隨機序列按照下面各類情況分布，下面的數(shù)字為相關系數(shù)：

程序如何實現(xiàn)呢？

上述公式在實際編程時，當然可以直接按照公式編制代碼，如果仔細觀察會發(fā)現(xiàn)該公式可以進一步簡化，過程省略：

由這個公式就很容易編程了，干貨在這里，可以拿去稍加改造即可使用:

#include #include /*返回值在區(qū)間：[-1,1]*/ /*如返回-10，則證明輸入參數(shù)無效*/ #definedelta0.0001f doublecalculate_corss_correlation(double*s1,double*s2,intn) { doublesum_s12=0.0; doublesum_s1=0.0; doublesum_s2=0.0; doublesum_s1s1=0.0;//s1^2 doublesum_s2s2=0.0;//s2^2 doublepxy=0.0; doubletemp1=0.0; doubletemp2=0.0; if(s1==NULL||s2==NULL||n<=0) ??????return?-10; ???? ????for(int?i=0;i-delta&&temp1-delta&&temp2

運行結果為：

pxyofs1ands2:0.997435 pxyofs1ands1:1.000000 pxyofs1ands1:-1.000000

將這三個信號繪制成波形來看看：

由圖看出：

S1與S2非常相似，其相關系數(shù)為0.997435，高度相似

S1與-S1則剛好相位相反，理想反相關，其相關系數(shù)為-1

S1與S1則理所當然是一樣的，其相關系數(shù)為1

再來一組信號對比一下：

其波形數(shù)據(jù)為：

doubles1[30]={ 0.309016989,0.587785244,0.809016985,0.95105651,1, 0.951056526,0.809017016,0.587785287,0.30901704,5.35898E-08, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 }; doubles6[30]={ 0,0,0.187381311,0.368124547,0.535826787, 0.684547097,0.809016985,0.904827044,0.968583156,0.998026727, 0.992114705,0.951056526,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 }; doubles7[30]={ 0.187381311,0.368124547,0.535826787,0.684547097,0.809016985, 0.904827044,0.968583156,0.998026727,0.992114705,0.951056526, 0.876306697,0.770513267,0.637424022,0.481753714,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0 };

利用上述代碼計算S1與S6,S1與S7的相關系數(shù)：

pxyofs1ands6:0.402428 pxyofs1ands7:0.612618

可見，S6、S7與S1的相關系數(shù)越來越大，從波形上看相似度也越來越大。

總結一下

通過相關系數(shù)可以比較完美的判斷兩個信號序列，或者兩個隨機變量之間的相似度。相關系數(shù)以及互相關函數(shù)應用很廣，本文僅僅描述了一個工程上應用較多的實際栗子。事實上，該數(shù)學特性有著廣泛的應用，有興趣的可以深度學習探討一下。