簡單的V-SLAM介紹

【導(dǎo)讀】SLAM是“Simultaneous Localization And Mapping”的縮寫，可譯為同步定位與建圖。最早，SLAM 主要用在機(jī)器人領(lǐng)域，是為了在沒有任何先驗知識的情況下，根據(jù)傳感器數(shù)據(jù)實時構(gòu)建周圍環(huán)境地圖，同時根據(jù)這個地圖推測自身的定位。因此本文以簡單清晰的文字為大家介紹了視覺V-SLAM。

簡單的V-SLAM介紹，就當(dāng)入門：）。

首先，從雙目立體幾何（stereo geometry）原理開始來定義外極（epipolar）約束：兩個攝像頭光心分別是 c0 和 c1，3-D 空間點(diǎn) p 在兩個圖像平面的投影點(diǎn)分別是 x0 和 x1，那么直線 c0c1 和兩個圖像平面的交點(diǎn)即外極點(diǎn)（epipole）e0 和 e1，pc0c1 平面稱為外極平面（epipolar plane），它和兩個圖像平面的交線 l0 和 l1 即外極線（epipolar line）；可以看到兩個攝像頭坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換滿足（R，t），同時說明攝像頭 c0 的圖像點(diǎn) x0 在攝像頭 c1 的圖像對應(yīng)點(diǎn) x1 一定落在其外極線 l1，反之依然；

（a）對應(yīng)一條光線的外極線 （b）對應(yīng)的外極線集合和外極平面 外極線約束

這里需要定義一個本質(zhì)矩陣（essential matrix）E 和一個基礎(chǔ)矩陣（fundamental matrix）F：E = [t]×R，其中 [t]× 是反對稱矩陣，即定義向量

那么

而 F = A?TEA?1，其中 A 是攝像頭內(nèi)參數(shù)矩陣；對矩陣 E 和矩陣 F 來說，均滿足外極約束方程x1TEx0 =0，x1TFx0 =0

前者是攝像頭已標(biāo)定情況下圖像特征點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，后者是攝像頭未標(biāo)定情況下圖像特征點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；

其次，得到外極線約束（以F矩陣為例，E矩陣同樣）如下

l1=Fx0，l0=x1F，

以及，外極點(diǎn)約束（以F矩陣為例，E矩陣同樣）如下

Fe0=0，F(xiàn)Te1=0；

根據(jù)上面圖像特征點(diǎn)的外極約束方程，有8 點(diǎn)算法求解 F 和 E，以 F 為例，給定一組匹配特征點(diǎn)（n> 7）

定義F矩陣元素fij（i=1～3，j=1～3），那么線性齊次方程組為

簡記為

Qf = 0

做SVD得到Q = USVT，而最終F的解是V最右的奇異向量（singular vector）；

另外，因為E矩陣完全由攝像頭外參數(shù)（R和t共6個未知參數(shù)，但有一個不確定平移尺度量）決定，所以存在5 點(diǎn)算法求解E矩陣；

可以分解E得到攝像頭外參數(shù)，其步驟如下：

i. 同樣對E矩陣做奇異值分解（SVD）：

ii. 那么第一個攝像頭投影矩陣簡單設(shè)為

而第二個攝像頭矩陣P2有四種可能情況，如圖（a）-（d）所示：

其中

從E矩陣分解得到R和t

根據(jù)視圖方向與攝像頭中心到3-D點(diǎn)的方向之間夾角可以發(fā)現(xiàn)，四個可能中只有情況（a）是合理的解；

確定兩個視角的姿態(tài)之后，匹配的特征點(diǎn) x，x’可以重建其 3-D 坐標(biāo)X，即三角化（triangulation）理論；首先存在一個線性解：設(shè)兩個攝像頭投影矩陣為 P 和 P’，相應(yīng)的它們列向量為pi，pi’，i=1～3，則有方程組：AX= 0

其中

但一些誤差干擾的存在，上述線性解是不存在的；所以需要一個非線性的解，這里采用F 矩陣定義的外極約束方程xTFx’= 0，得到最小化誤差函數(shù)為

下面采用外極線 l, l’的來約束定義誤差，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)重寫為

外極線定義的誤差

另外，在已知重建的 3-D 點(diǎn)集，如何和新視角的 2-D 圖像特征點(diǎn)匹配呢？這個問題解法稱為PnP（Perspective n Points），算法如下：

i. 首先，3D 點(diǎn)表示為 4 個控制點(diǎn)的加權(quán)和；

ii. 控制點(diǎn)坐標(biāo)是求解的（12）未知數(shù)；

iii. 3D點(diǎn)投影到圖像上以控制點(diǎn)坐標(biāo)建立線性方程；

iv. 控制點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)為零特征向量（null eigenvectors）線性組合；

v. 上面組合的權(quán)重（bi）是新未知數(shù)（<4）；

vi. 增加剛體（rigidity）約束以得到bi二次方程；

vii. 根據(jù)bi數(shù)目（無論線性化，或重新線性化）求解。

（注：有時候3-D-2-D匹配比3-D之間匹配的精度高）

PnP求解的示意圖

這里需要補(bǔ)充兩個概念，一是魯棒估計的隨機(jī)樣本共識法（RANSAC，RANdom SAmple Consensus），另一個是全局優(yōu)化的集束修正法（BA，bundle adjustment）：

i. RANSAC的目的是在包含異常點(diǎn)（outlier）的數(shù)據(jù)集上魯棒地擬合一個模型，如圖 2-12 所示：

1. 隨機(jī)選擇（最?。?shù)據(jù)點(diǎn)子集并實例化（instantiate）模型;

2. 基于此模型，將所有數(shù)據(jù)點(diǎn)分類為內(nèi)點(diǎn)（inlier）或異常點(diǎn)；

3. 迭代重復(fù) 1-2 步；

4. 選擇最大的內(nèi)地集，以此重新估計最終模型。

RANSAC示意圖

ii. BA的目的是優(yōu)化全局參數(shù)估計，對 SLAM 來說，結(jié)構(gòu)重建的 3-D 點(diǎn)X和其對應(yīng)的 2-D 特征點(diǎn)x，還有估計的視角變換參數(shù)（甚至包括攝像頭內(nèi)參數(shù)）P，位于一個重投影（reprojection）誤差函數(shù) D 最小化框架下（如圖所示），即

BA示意圖

這里集束（Bundle）指2-D點(diǎn)和3-D點(diǎn)之間的光線集，而修正（Adjustment）是指全局優(yōu)化過程；其解法是非線性迭代的梯度下降法，如Gauss-Newton 方法和其修正 Levenberg-Marquardt 方法，因為問題自身的特性，這里的雅可比矩陣是非常稀疏的；另外，只取重建 3-D 點(diǎn)修正的話，稱為 structure only BA，而只取視角變換修正的話，稱為 motion-only BA；

在以上基礎(chǔ)之上，再重新審視SLAM過程：

i. 首先要提到概念 VO，即視覺里程計（visual odometry）；VO 是 SLAM 的一部分，VO 主要是估計視角之間的變換，或者運(yùn)動參數(shù)，它不需要輸出制圖（mapping）的結(jié)果，而且 BA 就是 motion-only 的模式；

ii. SLAM 方法分兩種途徑，一種是遞推濾波器方法，另一種是批處理估計方法；

a)濾波器方法，比如卡爾曼濾波遞推估計，實際上建立一個狀態(tài)空間的觀測模型和狀態(tài)轉(zhuǎn)換（運(yùn)動）模型；觀察模型描述當(dāng)攝像頭姿態(tài)和地標(biāo)位置（來自于地圖）已知時觀測（地標(biāo)）的概率; 運(yùn)動模型是系統(tǒng)狀態(tài)（攝像頭姿態(tài)）轉(zhuǎn)換的概率分布，即馬爾可夫過程; 那么在遞歸貝葉斯估計中，同時更新系統(tǒng)狀態(tài)和建立的地圖，其中融合來自不同視角的觀測來完成制圖，而估計系統(tǒng)狀態(tài)可計算攝像頭的姿態(tài)，即定位問題;

b)批處理估計方法，也稱“關(guān)鍵幀”方法，其步驟是：

1）首先通過選擇的頭兩（關(guān)鍵）幀，采用雙目幾何的特征點(diǎn)匹配得到初始的3-D點(diǎn)云重建；

2）正常模式：假設(shè) 3D 地圖可用，并且估計出攝像頭增量運(yùn)動，跟蹤特征點(diǎn)并使用 PnP 進(jìn)行攝像頭姿態(tài)估計；

3）恢復(fù)模式：假設(shè) 3D 地圖可用，但跟蹤失敗故沒有增量運(yùn)動，可相對于先前重建的地圖重新定位（re-localize）攝像頭姿勢；

4）關(guān)鍵幀 BA：保持一個“關(guān)鍵幀”子集，狀態(tài)向量是所有關(guān)鍵幀的 3D 地標(biāo)和對應(yīng)攝像頭姿勢，BA 可以在與跟蹤模塊并列的線程中調(diào)整狀態(tài)估計；

（注意：關(guān)鍵幀的選擇策略是算法性能很重要的一個因素）

SLAM 中的閉環(huán)（loop closure）問題：當(dāng)攝像頭又回到原來位置，稱為閉環(huán)，需要檢測閉環(huán)，并以此在 BA 框架下優(yōu)化結(jié)構(gòu)和運(yùn)動估計；閉環(huán)檢測和重定位是類似的，可以基于圖像特征的匹配實現(xiàn)，俗稱“基于圖像的重定位（image-based re-localization），當(dāng)關(guān)鍵幀子集較大的時候，需要對特征匹配進(jìn)行壓縮和加速，比如詞包（bag of words）法和K維-樹（KD-tree）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等等；

SLAM 中的傳感器可以是單目、雙目、深度傳感器（RGB-D）甚至激光雷達(dá)，也可以和 IMU 融合，稱為 VINS（visual inertial navigation system）。

附錄：G-N 和 L-M 的非線性最小二乘算法

假設(shè)有觀測向量 zi’，其預(yù)測模型為 zi = zi(x)，其中x為模型參數(shù)；那么最小二乘（LS）法就是最小化如下代價函數(shù)：平方誤差加權(quán)和（weighted Sum of Squared Error，SSE)

其中 Wi 是一個任意對稱正定（symmetric positive definite，SPD) 矩陣，特征誤差函數(shù)為

雅可比矩陣J和黑森（Hessian）矩陣H的計算為

那么 H 近似為

H≈J?WJ

作為梯度下降法，其 G-N 迭代的步進(jìn)量即 z → z + delta z，由下面方程組計算

對于上面 G-N 的迭代步進(jìn)量計算，可能左邊的矩陣不可逆。為此，一種改進(jìn)的方法是在對角線元素中加入阻尼因子（Damped factor），即 L-M 迭代的步進(jìn)量計算變成如下方程組