計(jì)算機(jī)的門電路和加減乘除計(jì)算方法

二進(jìn)制：二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)。它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”。計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制則是一個(gè)非常微小的開關(guān)，用“開”來表示1，“關(guān)”來表示0。

二進(jìn)制的計(jì)算由計(jì)算機(jī)內(nèi)的門電路進(jìn)行，門電路可以有一個(gè)或多個(gè)輸入端，但只有一個(gè)輸出端。

原碼（true form）是一種計(jì)算機(jī)中對(duì)數(shù)字的二進(jìn)制定點(diǎn)表示方法。原碼表示法在數(shù)值前面增加了一位符號(hào)位（即最高位為符號(hào)位）：正數(shù)該位為0，負(fù)數(shù)該位為1（0有兩種表示：+0和-0），其余位表示數(shù)值的大小。

簡單直觀；例如，我們用8位二進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)，+11的原碼為00001011，-11的原碼就是10001011

反碼：規(guī)定 正數(shù)的反碼與原碼相同。負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)的反碼，符號(hào)位為“1”，數(shù)值部分按位取反。

補(bǔ)碼：規(guī)定 正數(shù)：正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同。負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼則是符號(hào)位為“1”。并且，這個(gè)“1”既是符號(hào)位，也是數(shù)值位。數(shù)值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。

1、門電路

1.1、定義

門電路：“門”是這樣的一種電路：它規(guī)定各個(gè)輸入信號(hào)之間滿足某種邏輯關(guān)系時(shí)，才有信號(hào)輸出，通常有下列三種門電路：與門、或門、非門（反相器）。從邏輯關(guān)系看，門電路的輸入端或輸出端只有兩種狀態(tài)，無信號(hào)以“0”表示，有信號(hào)以“1”表示。也可以這樣規(guī)定：低電平為“0”，高電平為“1”。門電路一般配合二級(jí)管制做。

1.2、與門

一種基本的門電路，有多個(gè)輸入端，一個(gè)輸出端。當(dāng)所有的輸入同時(shí)為高電平（邏輯1）時(shí)，輸出才為高電平，否則輸出為低電平（邏輯0）。

與門的真值表：

與門的二級(jí)管實(shí)現(xiàn)：

以二極管實(shí)現(xiàn)為例，與門的實(shí)現(xiàn)原理為：

如圖：為二極管與門電路，Vcc = 5v，R1 = 3KΩ， 假設(shè)3v及以上代表高電平，0.7及以下代表低電平，

下面根據(jù)圖中情況具體分析一下，

1. Ua=Ub=0v時(shí)，D1，D2正向偏置，兩個(gè)二極管均會(huì)導(dǎo)通，此時(shí)Uo為電位為0.7v.，輸出為低電平

2.當(dāng)Ua，Ub一高一低時(shí)，不妨假設(shè)Ua = 3v，Ub = 0v，這時(shí)我們不妨先從D2開始分析，

D2會(huì)導(dǎo)通，導(dǎo)通后D2壓降將會(huì)被限制在0.7v，那么D1由于右邊是0.7v左邊是3v所以會(huì)反向偏置而截止，因此最后Uo為0.7v低電平輸出，這里也可以從D1開始分析，如果D1導(dǎo)通，那么Uo應(yīng)當(dāng)為3.7v，

此時(shí)D2將導(dǎo)通，那么D2導(dǎo)通，壓降又會(huì)變回0.7，最終狀態(tài)Uo仍然是0.7v.輸出低電平，此時(shí)D1馬上截止。

3. Va=Vb=3v，這個(gè)情況很好理解， D1，D2都會(huì)正偏，Uy被限定在3.7V.

總結(jié)（借用個(gè)定義）：通常二極管導(dǎo)通之后，如果其陰極電位是不變的，那么就把它的陽極電位固定在比陰極高0.7V的電位上;如果其陽極電位是不變的，那么就把它的陰極電位固定在比陽極低0.7V的電位上，人們把導(dǎo)通后二極管的這種作用叫做鉗位。（特別說明：壓差大的二極管先導(dǎo)通，先鉗位，先導(dǎo)通的二極管具有電路控制權(quán)）

1.3、或門

一種基本的門電路：或門有多個(gè)輸入端，一個(gè)輸出端，只要輸入中有一個(gè)為高電平時(shí)（邏輯“1”），輸出就為高電平（邏輯“1”）；只有當(dāng)所有的輸入全為低電平（邏輯“0”）時(shí)，輸出才為低電平（邏輯“0”）

或門的真值表：

或門的二級(jí)管實(shí)現(xiàn)：

如圖，這里取Vss=0v，不取-10v

1、當(dāng)Ua=Ub=0v時(shí)，D1，D2都截至，那么y點(diǎn)為0v.

2、當(dāng)Ua=3v，Ub=0v時(shí)，此時(shí)D1導(dǎo)通，Uy=3-0.7=2.3v，D2則截至

同理Ua=0v，Ub=3v時(shí)，D2導(dǎo)通，D1截至，Uy=2.3v.

3、當(dāng)Ua=Ub=3v時(shí)，此時(shí)D1，D2都導(dǎo)通，Uy=3-0.7=2.3v.

1.4、非門

一種基本的門電路：非門有一個(gè)輸入和一個(gè)輸出端。當(dāng)其輸入端為高電平（邏輯1）時(shí)輸出端為低電平（邏輯0），當(dāng)其輸入端為低電平時(shí)輸出端為高電平。也就是說，輸入端和輸出端的電平狀態(tài)總是反相的。

非門的真值表：

三級(jí)管非門的實(shí)現(xiàn)：

晶體管“非”門電路不同于放大電路，管子的工作狀態(tài)或從截止轉(zhuǎn)為飽和，或從飽和轉(zhuǎn)為截止?！胺恰遍T電路只有一個(gè)輸入端A，

當(dāng)A為“1”（設(shè)其電位為3V）時(shí)，晶體管飽和，其集電極，即輸出端Y為“0”（其電位在零伏附近）；

當(dāng)A為“0”時(shí)，晶體管截止，輸出端Y為“1”（其電位近似等于）。所以“非”門電路也稱為反相器。加負(fù)電源是為了使晶體管可靠截止。

圖中，是“非”門的門電阻，其作用是通過它向輸出端提供電壓。T飽和，上產(chǎn)生很大的壓降，使集電極電位幾乎與發(fā)射極的電位相等；截止時(shí)，通過加到集電極上，使集電極電壓等于。是輸入電阻，通過它給T加正向偏置電流，即輸入信號(hào)。是反偏電阻，通過它給T加反向偏置電流。這兩個(gè)電阻配合得當(dāng)，才可以使輸入“1”時(shí)T飽和導(dǎo)通，輸入“0”時(shí)T可靠截止。

1.5、其他門電路

其他門電路如：與非門、或非門、異或門等都是以上三個(gè)基本門電路組合而來。

異或門：若兩個(gè)輸入的電平相異，則輸出為高電平1；若兩個(gè)輸入的電平相同，則輸出為低電平0。亦即，如果兩個(gè)輸入不同，則異或門輸出高電平1。

2、加減乘除計(jì)算

2.1、加法運(yùn)算

加法器：對(duì)于1位的二進(jìn)制加法，相關(guān)的有五個(gè)的量：1，被加數(shù)A，2，被加數(shù)B，3，前一位的進(jìn)位CIN，4，此位二數(shù)相加的和S，5，此位二數(shù)相加產(chǎn)生的進(jìn)位COUT。前三個(gè)量為輸入量，后兩個(gè)量為輸出量，五個(gè)量均為1位。

計(jì)算機(jī)的加法器都是以上面的逐位進(jìn)位加法器優(yōu)化而來，不再深入探索，有興趣的可自行查找資料。

加法器原理就是用門電路實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制的相加運(yùn)算。

2.2、減法運(yùn)算

在計(jì)算機(jī)中，加法和減法其實(shí)是一種運(yùn)算，原因在于計(jì)算機(jī)表示負(fù)數(shù)的方法。

計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)時(shí)都會(huì)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的二進(jìn)制補(bǔ)碼，補(bǔ)碼有三個(gè)特性：

1、一個(gè)負(fù)整數(shù)（或原碼）與其補(bǔ)數(shù)（或補(bǔ)碼）相加，和為模。

2、對(duì)一個(gè)整數(shù)的補(bǔ)碼再求補(bǔ)碼，等于該整數(shù)自身。

3、補(bǔ)碼的正零與負(fù)零表示方法相同。

模的定義：“模”是指一個(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范圍，即都存在一個(gè)“?！薄＠纾?/p>

時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11，模=12。表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2^（n）-1，模=2^（n）。

“模”實(shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來，計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。

例如：假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)，調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：一種是倒撥4小時(shí)，即：10-4=6；另一種是順撥8小時(shí)：10+8=12+6=6

舉例：

1、如計(jì)算機(jī)要計(jì)算8-3

2、存儲(chǔ)8為：0000 1000 （正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼相同）

3、存儲(chǔ)-3為：1111 1101 （負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為符號(hào)為定為1，其他位求反碼后加1）

4、8-3 可直接用加法器做加法運(yùn)算8 + （-3） 二進(jìn)制可得：0000 0101 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制為：5

2.3、乘法運(yùn)算

我們計(jì)算兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)一般如下計(jì)算：

其實(shí)加法器也是模擬這樣的過程，只不過是改為了二進(jìn)制數(shù)而已。計(jì)算機(jī)通過加法器和適當(dāng)?shù)囊莆徊僮魍瓿闪顺朔ㄟ\(yùn)算。

例子：

1011 X 1001 用十進(jìn)制表示為 11X9 結(jié)果當(dāng)然為99

以上文章中有很多乘法器的優(yōu)化，我只講我覺得好理解的一個(gè)

一、乘數(shù)寄存器四位保存1011。

二、被乘數(shù)寄存器四位保存1001。

三、乘積寄存器八位保存乘積，初始0000 0000，乘積寄存器只前四位參與運(yùn)算，后四位只為記錄。

1、第一次運(yùn)算取乘數(shù)最后一位 得1，乘積寄存器前四位加 被乘數(shù) 得 1001 0000

2、乘數(shù)寄存器右移一位得：0101 乘積寄存器右移一位得 0100 1000

3、第二次運(yùn)算重復(fù)步驟1、2 得，乘數(shù)：0010 乘積：0110 1100

4、如此，乘數(shù)有幾位就重復(fù)次幾運(yùn)算，當(dāng)乘數(shù)最后一位為0 時(shí)不做加操作，只進(jìn)行移位。

5、第三次運(yùn)算得，乘數(shù)：0001 乘積： 0011 0110

6、第四次運(yùn)算得，乘數(shù)：0000，四次后整個(gè)運(yùn)算完成，乘積：0110 0011 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制為：99

如上步驟中我們可以看出，計(jì)算機(jī)計(jì)算乘法跟我們計(jì)算乘法時(shí)的步驟一樣，我們用乘數(shù)的個(gè)十百千們分別與被乘數(shù)相乘，然后錯(cuò)位相加得積，計(jì)算積也是把乘數(shù)的第一二三四位分別與被乘數(shù)相乘（相乘時(shí)乘數(shù)為1則積為被乘數(shù)，乘數(shù)為0時(shí)則四位全為0所以此時(shí)只進(jìn)行移位操作） 然后用移位操作來模擬錯(cuò)位相加。

2.4、除法運(yùn)算

文章里也有很多除法器優(yōu)化方案，我只以容易理解的說，其原理都是一般。

原理：除法可以變化為減法來算，一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，可以理解為一個(gè)數(shù)循環(huán)減去另一個(gè)數(shù)減了幾遍商便是幾，這種方式在十進(jìn)制里可能實(shí)在麻煩，但是在二進(jìn)制里卻簡單了不少。

如果兩個(gè)一位數(shù)相除8/3 可理解為8-3-3 = 2，得商為2 余數(shù)為2，但在二進(jìn)制里兩個(gè)一位數(shù)相除只有兩種可能，一種是我大于你，商得1余數(shù)是兩個(gè)數(shù)相減，另一種是我小于你商是0，余數(shù)是我本身；

如上計(jì)算方式我們十進(jìn)制時(shí)也是常用的，只是我們配合九九乘法口決計(jì)算，而二進(jìn)制里只需要從被除數(shù)高位開始逐位與除數(shù)相減，減的到此為得1 ，決不會(huì)有可以減兩次的可能（即商不可能得2），減不到此位得0；

1、被除數(shù)十一位寄存，其實(shí)有效數(shù)字只占七位、除數(shù)四位寄存、商八位寄存，被除數(shù)參與運(yùn)算的只有前四位（因?yàn)槌龜?shù)為四位即前四位）

2、被除數(shù)：0000 1001 010 除數(shù)：1000 商：0000 0000

3、參于運(yùn)算的值我用紅色標(biāo)識(shí)： （1）被除數(shù)左移進(jìn)入運(yùn)算位后位補(bǔ)0： 0001 0010 100 除數(shù)：1000 減不到商得0 余為0001 商左移《1》為0000 0000

4、（2）被除數(shù)左移一位 變?yōu)椋?010 0101 000 除數(shù)：1000 減不到此為得0 余為0010 商左移《2》為0000 0000

5、（3）被除數(shù)再左移變?yōu)椋?100 1010 000 商左移《3》為0000 0000，（4）再左移得：1001 0100 000 此時(shí)可以減得 商左移《4》為0000 0001 余數(shù)為：0001，被除數(shù)被減后變?yōu)椋?001 0100 000

6、（5）被除數(shù)左移變?yōu)?010 1000 000 《5》商左移為0000 0010 （6）再左移：0101 0000 000 《6》商左移為0000 0100 （7）再左移：1010 0000 000 此時(shí)可以減得 《7》商左移為0000 1001 余數(shù)為：0010 被除數(shù)被減后變?yōu)椋?010 0000 000

7、被除數(shù)有幾位就移動(dòng)幾位，商也跟著移動(dòng)幾位，如上圖標(biāo)號(hào)標(biāo)識(shí)，七次移位后得商為：0000 1001 余數(shù)為：0010 后七位舍去，只要參與計(jì)算的前四位。轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制為74/8 = 9 余 2

總結(jié)：除法器可以用減法替代除法，因?yàn)檫@樣移位相減，在某一位上最多只能減一次被除數(shù)便會(huì)小于除數(shù)，所以商得1，同理十進(jìn)制被除數(shù)和除數(shù)如此移位相減的話在某一位上最多只能減九次，即商最大只能為9。