基于從高維空間映射到低維空間的映射方法

網(wǎng)上關(guān)于各種降維算法的資料參差不齊，同時(shí)大部分不提供源代碼。這里有個(gè) GitHub 項(xiàng)目整理了使用 Python 實(shí)現(xiàn)了 11 種經(jīng)典的數(shù)據(jù)抽?。〝?shù)據(jù)降維）算法，包括：PCA、LDA、MDS、LLE、TSNE 等，并附有相關(guān)資料、展示效果;非常適合機(jī)器學(xué)習(xí)初學(xué)者和剛剛?cè)肟訑?shù)據(jù)挖掘的小伙伴。一、為什么要進(jìn)行數(shù)據(jù)降維？

所謂降維，即用一組個(gè)數(shù)為 d 的向量 Zi 來(lái)代表個(gè)數(shù)為 D 的向量 Xi 所包含的有用信息，其中 d《D，通俗來(lái)講，即將高維度下降至低維度；將高維數(shù)據(jù)下降為低維數(shù)據(jù)。通常，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分?jǐn)?shù)據(jù)集的維度都會(huì)高達(dá)成百乃至上千，而經(jīng)典的 MNIST，其維度都是 64。

MNIST 手寫數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)集但在實(shí)際應(yīng)用中，我們所用到的有用信息卻并不需要那么高的維度，而且每增加一維所需的樣本個(gè)數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這可能會(huì)直接帶來(lái)極大的「維數(shù)災(zāi)難」;而數(shù)據(jù)降維就可以實(shí)現(xiàn)：

使得數(shù)據(jù)集更易使用

確保變量之間彼此獨(dú)立

降低算法計(jì)算運(yùn)算成本

去除噪音一旦我們能夠正確處理這些信息，正確有效地進(jìn)行降維，這將大大有助于減少計(jì)算量，進(jìn)而提高機(jī)器運(yùn)作效率。而數(shù)據(jù)降維，也常應(yīng)用于文本處理、人臉識(shí)別、圖片識(shí)別、自然語(yǔ)言處理等領(lǐng)域。

二、數(shù)據(jù)降維原理

往往高維空間的數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)分布稀疏的情況，所以在降維處理的過程中，我們通常會(huì)做一些數(shù)據(jù)刪減，這些數(shù)據(jù)包括了冗余的數(shù)據(jù)、無(wú)效信息、重復(fù)表達(dá)內(nèi)容等。例如：現(xiàn)有一張 1024*1024 的圖，除去中心 50*50 的區(qū)域其它位置均為零值，這些為零的信息就可以歸為無(wú)用信息;而對(duì)于對(duì)稱圖形而言，對(duì)稱部分的信息則可以歸為重復(fù)信息。

因此，大部分經(jīng)典降維技術(shù)也是基于這一內(nèi)容而展開，其中降維方法又分為線性和非線性降維，非線性降維又分為基于核函數(shù)和基于特征值的方法。

線性降維方法：PCA 、ICA LDA、LFA、LPP（LE 的線性表示）

非線性降維方法：

基于核函數(shù)的非線性降維方法——KPCA 、KICA、KDA

基于特征值的非線性降維方法（流型學(xué)習(xí)）——ISOMAP、LLE、LE、LPP、LTSA、MVU

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)技術(shù)專業(yè)的在讀碩士生 Heucoder 則整理了 PCA、KPCA、LDA、MDS、ISOMAP、LLE、TSNE、AutoEncoder、FastICA、SVD、LE、LPP 共 12 種經(jīng)典的降維算法，并提供了相關(guān)資料、代碼以及展示，下面將主要以 PCA 算法為例介紹降維算法具體操作。

三、主成分分析（PCA）降維算

PCA 是一種基于從高維空間映射到低維空間的映射方法，也是最基礎(chǔ)的無(wú)監(jiān)督降維算法，其目標(biāo)是向數(shù)據(jù)變化最大的方向投影，或者說(shuō)向重構(gòu)誤差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，屬于線性降維方法。與 PCA 相關(guān)的原理通常被稱為最大方差理論或最小誤差理論。這兩者目標(biāo)一致，但過程側(cè)重點(diǎn)則不同。

最大方差理論降維原理將一組 N 維向量降為 K 維（K 大于 0，小于 N），其目標(biāo)是選擇 K 個(gè)單位正交基，各字段兩兩間 COV（X，Y） 為 0，而字段的方差則盡可能大。因此，最大方差即使得投影數(shù)據(jù)的方差被最大化，在這過程中，我們需要找到數(shù)據(jù)集 Xmxn 的最佳的投影空間 Wnxk、協(xié)方差矩陣等，其算法流程為：

算法輸入：數(shù)據(jù)集 Xmxn;

按列計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 的均值 Xmean，然后令 Xnew=X?Xmean;

求解矩陣 Xnew 的協(xié)方差矩陣，并將其記為 Cov;

計(jì)算協(xié)方差矩陣 COV 的特征值和相應(yīng)的特征向量;

將特征值按照從大到小的排序，選擇其中最大的 k 個(gè)，然后將其對(duì)應(yīng)的 k 個(gè)特征向量分別作為列向量組成特征向量矩陣 Wnxk;

計(jì)算 XnewW，即將數(shù)據(jù)集 Xnew 投影到選取的特征向量上，這樣就得到了我們需要的已經(jīng)降維的數(shù)據(jù)集 XnewW。

最小誤差理論降維原理而最小誤差則是使得平均投影代價(jià)最小的線性投影，這一過程中，我們則需要找到的是平方錯(cuò)誤評(píng)價(jià)函數(shù) J0（x0） 等參數(shù)。

詳細(xì)步驟可參考《從零開始實(shí)現(xiàn)主成分分析 （PCA） 算法》：https://blog.csdn.net/u013719780/article/details/78352262

主成分分析（PCA）代碼實(shí)現(xiàn)

關(guān)于 PCA 算法的代碼如下：

from __future__ import print_function

from sklearn import datasets

import matplotlib.pyplot as plt

import matplotlib.cm as cmx

import matplotlib.colors as colors

import numpy as np

%matplotlib inline

def shuffle_data（X， y， seed=None）：

if seed：

np.random.seed（seed）

idx = np.arange（X.shape［0］）

np.random.shuffle（idx）

return X［idx］， y［idx］

# 正規(guī)化數(shù)據(jù)集 X

def normalize（X， axis=-1， p=2）：

lp_norm = np.atleast_1d（np.linalg.norm（X， p， axis））

lp_norm［lp_norm == 0］ = 1

return X / np.expand_dims（lp_norm， axis）

# 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)集 X

def standardize（X）：

X_std = np.zeros（X.shape）

mean = X.mean（axis=0）

std = X.std（axis=0）

# 做除法運(yùn)算時(shí)請(qǐng)永遠(yuǎn)記住分母不能等于 0 的情形

# X_std = （X - X.mean（axis=0）） / X.std（axis=0）

for col in range（np.shape（X）［1］）：

if std［col］：

X_std［：， col］ = （X_std［：， col］ - mean［col］） / std［col］

return X_std

# 劃分?jǐn)?shù)據(jù)集為訓(xùn)練集和測(cè)試集

def train_test_split（X， y， test_size=0.2， shuffle=True， seed=None）：

if shuffle：

X， y = shuffle_data（X， y， seed）

n_train_samples = int（X.shape［0］ * （1-test_size））

x_train， x_test = X［：n_train_samples］， X［n_train_samples：］

y_train， y_test = y［：n_train_samples］， y［n_train_samples：］

return x_train， x_test， y_train， y_test

# 計(jì)算矩陣 X 的協(xié)方差矩陣

def calculate_covariance_matrix（X， Y=np.empty（（0，0）））：

if not Y.any（）：

Y = X

n_samples = np.shape（X）［0］

covariance_matrix = （1 / （n_samples-1）） * （X - X.mean（axis=0））.T.dot（Y - Y.mean（axis=0））

return np.array（covariance_matrix， dtype=float）

# 計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 每列的方差

def calculate_variance（X）：

n_samples = np.shape（X）［0］

variance = （1 / n_samples） * np.diag（（X - X.mean（axis=0））.T.dot（X - X.mean（axis=0）））

return variance

# 計(jì)算數(shù)據(jù)集 X 每列的標(biāo)準(zhǔn)差

def calculate_std_dev（X）：

std_dev = np.sqrt（calculate_variance（X））

return std_dev

# 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

def calculate_correlation_matrix（X， Y=np.empty（［0］））：

# 先計(jì)算協(xié)方差矩陣

covariance_matrix = calculate_covariance_matrix（X， Y）

# 計(jì)算 X， Y 的標(biāo)準(zhǔn)差

std_dev_X = np.expand_dims（calculate_std_dev（X）， 1）

std_dev_y = np.expand_dims（calculate_std_dev（Y）， 1）

correlation_matrix = np.divide（covariance_matrix， std_dev_X.dot（std_dev_y.T））

return np.array（correlation_matrix， dtype=float）

class PCA（）：

“”“

主成份分析算法 PCA，非監(jiān)督學(xué)習(xí)算法。

”“”

def __init__（self）：

self.eigen_values = None

self.eigen_vectors = None

self.k = 2

def transform（self， X）：

“”“

將原始數(shù)據(jù)集 X 通過 PCA 進(jìn)行降維

”“”

covariance = calculate_covariance_matrix（X）

# 求解特征值和特征向量

self.eigen_values， self.eigen_vectors = np.linalg.eig（covariance）

# 將特征值從大到小進(jìn)行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量

idx = self.eigen_values.argsort（）［：：-1］

eigenvalues = self.eigen_values［idx］［：self.k］

eigenvectors = self.eigen_vectors［：， idx］［：， ：self.k］

# 將原始數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間

X_transformed = X.dot（eigenvectors）

return X_transformed

def main（）：

# Load the dataset

data = datasets.load_iris（）

X = data.data

y = data.target

# 將數(shù)據(jù)集 X 映射到低維空間

X_trans = PCA（）.transform（X）

x1 = X_trans［：， 0］

x2 = X_trans［：， 1］

cmap = plt.get_cmap（‘viridis’）

colors = ［cmap（i） for i in np.linspace（0， 1， len（np.unique（y）））］

class_distr = ［］

# Plot the different class distributions

for i， l in enumerate（np.unique（y））：

_x1 = x1［y == l］

_x2 = x2［y == l］

_y = y［y == l］

class_distr.append（plt.scatter（_x1， _x2， color=colors［i］））

# Add a legend

plt.legend（class_distr， y， loc=1）

# Axis labels

plt.xlabel（‘Principal Component 1’）

plt.ylabel（‘Principal Component 2’）

plt.show（）

if __name__ == “__main__”：

main（）

最終，我們將得到降維結(jié)果如下。其中，如果得到當(dāng)特征數(shù) （D） 遠(yuǎn)大于樣本數(shù) （N） 時(shí)，可以使用一點(diǎn)小技巧實(shí)現(xiàn) PCA 算法的復(fù)雜度轉(zhuǎn)換。

PCA 降維算法展示當(dāng)然，這一算法雖然經(jīng)典且較為常用，其不足之處也非常明顯。它可以很好的解除線性相關(guān)，但是面對(duì)高階相關(guān)性時(shí)，效果則較差;同時(shí)，PCA 實(shí)現(xiàn)的前提是假設(shè)數(shù)據(jù)各主特征是分布在正交方向上，因此對(duì)于在非正交方向上存在幾個(gè)方差較大的方向，PCA 的效果也會(huì)大打折扣。

四、其它降維算法及代碼地址

KPCA（kernel PCA）

KPCA 是核技術(shù)與 PCA 結(jié)合的產(chǎn)物，它與 PCA 主要差別在于計(jì)算協(xié)方差矩陣時(shí)使用了核函數(shù)，即是經(jīng)過核函數(shù)映射之后的協(xié)方差矩陣。引入核函數(shù)可以很好的解決非線性數(shù)據(jù)映射問題。kPCA 可以將非線性數(shù)據(jù)映射到高維空間，在高維空間下使用標(biāo)準(zhǔn) PCA 將其映射到另一個(gè)低維空間。

KPCA 降維算法展示詳細(xì)內(nèi)容可參見 《Python 機(jī)器學(xué)習(xí)》之特征抽取——kPCA：https://blog.csdn.net/weixin_40604987/article/details/79632888代碼地址：https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/blob/master/codes/PCA/KPCA.py

LDA（Linear Discriminant Analysis）LDA 是一種可作為特征抽取的技術(shù)，其目標(biāo)是向最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異的方向投影，以利于分類等任務(wù)即將不同類的樣本有效的分開。LDA 可以提高數(shù)據(jù)分析過程中的計(jì)算效率，對(duì)于未能正則化的模型，可以降低維度災(zāi)難帶來(lái)的過擬合。

LDA 降維算法展示詳細(xì)內(nèi)容可參見《數(shù)據(jù)降維—線性判別分析（LDA）》：https://blog.csdn.net/ChenVast/article/details/79227945代碼地址：https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LDA

MDS（multidimensional scaling）MDS 即多維標(biāo)度分析，它是一種通過直觀空間圖表示研究對(duì)象的感知和偏好的傳統(tǒng)降維方法。該方法會(huì)計(jì)算任意兩個(gè)樣本點(diǎn)之間的距離，使得投影到低維空間之后能夠保持這種相對(duì)距離從而實(shí)現(xiàn)投影。由于 sklearn 中 MDS 是采用迭代優(yōu)化方式，下面實(shí)現(xiàn)了迭代和非迭代的兩種。

MDS 降維算法展示詳細(xì)內(nèi)容可參見《MDS 算法》https://blog.csdn.net/zhangweiguo_717/article/details/69663452代碼地址：https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/MDS

ISOMAPIsomap 即等度量映射算法，該算法可以很好地解決 MDS 算法在非線性結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)集上的弊端。MDS 算法是保持降維后的樣本間距離不變，Isomap 算法則引進(jìn)了鄰域圖，樣本只與其相鄰的樣本連接，計(jì)算出近鄰點(diǎn)之間的距離，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行降維保距。

ISOMAP 降維算法展示
責(zé)任編輯:pj