如何用電路證明傅立葉變換成立？

自我感覺(jué)傅立葉變換和拉普拉斯變換很有趣，也很有用處就想和大家分享一下，由于是科普，我不打算用數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行講解，只拿大家身邊的例子進(jìn)行舉例，大家可以簡(jiǎn)單看一下，粗略了解一下傅立葉變換及拉普拉斯變換是什么，如果感興趣，可以看看奧本海姆的信號(hào)與系統(tǒng)。

傅立葉認(rèn)為任何信號(hào)都可以分解成無(wú)數(shù)個(gè)振幅不同，角頻率不同的正弦波，因此提出了傅立葉變換，是時(shí)域到頻域的一種變換。拿一首歌來(lái)舉例，我們聽(tīng)到的聲音就是時(shí)域，把這首歌用電腦錄制下來(lái)將得到一連串的幅度隨時(shí)間變化的波形，通過(guò)改變振幅可以改變這首歌的音量，但無(wú)法改變它的音調(diào)，因?yàn)橐粽{(diào)是頻域了，只能在譜曲時(shí)改變音符的方式進(jìn)行改變。

如何用電路證明傅立葉變換成立？圖二是一個(gè)超外差收音機(jī)的電路圖，在振蕩電路中（振蕩電路是一個(gè)引入正反饋的放大電路，只有輸出端，通電就輸出振蕩信號(hào)），假設(shè)LC諧振頻率為1MHz，那么它就會(huì)輸出一個(gè)1MHz的正弦波振蕩，為什么？此時(shí)不如分析一下工作原理：在通電瞬間，或由于電流瞬間沖擊，或由于晶體管噪聲，或由于外界干擾，VT1集電極所接的初級(jí)繞組中會(huì)有一個(gè)瞬間電流流過(guò)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，初級(jí)繞組的電流變化會(huì)帶來(lái)磁通量的變化，而磁通量的變化又會(huì)引起次級(jí)繞組（LC諧振電路）的電流變化，暫假設(shè)這個(gè)這個(gè)電流不能分解成無(wú)數(shù)振幅不同，角頻率不同的正弦信號(hào)，則LC諧振電路就選擇不出f=1MHz的頻率，振蕩就無(wú)法建立，電路就無(wú)法起振，可實(shí)際并非如此，這個(gè)電路確實(shí)可以起振，這就說(shuō)明這個(gè)電流中有1MHz的頻率，傅立葉變換成立。那么，傅立葉變換在生活中有什么應(yīng)用？

喬碧蘿奶奶的變聲器就是一個(gè)例子，她的嗓音不可能那么甜，因?yàn)樗纳ひ粲泻芏嘀C波分量，此時(shí)把這些諧波分量去掉聲音就純凈了。還有各種自拍軟件的祛痘功能，圖片是二維的，是亮度隨時(shí)間變化的函數(shù)，反映臉型的肯定是低頻頻率，反映眼睛鼻子耳朵的肯定是較高的頻率，那么反映連上細(xì)小缺陷都肯定是非常高的頻率，把這個(gè)頻率去除，就可以拿去照騙了。當(dāng)然了，傅立葉變換在生活中還有很多我就不舉了。

但傅立葉變換實(shí)際上有一個(gè)局限性，就是要求這個(gè)信號(hào)絕對(duì)可積，可實(shí)際上很多信號(hào)都不滿(mǎn)足這一條件，于是拉普拉斯就說(shuō)了，你將原時(shí)域函數(shù)乘上一個(gè)與 σ相關(guān)的衰減因子，不就行了嗎？這就是拉普拉斯變換，所以傅立葉變換可以看做拉普拉斯變換的特殊形式，傅立葉變換就是 σ為0時(shí)的拉普拉斯變換，這就是二者的互通性。

另一個(gè)角度來(lái)看，傅立葉變換是將時(shí)域的函數(shù)變換到頻域，即ω域。 拉普拉斯變換是推廣到了復(fù)頻域，即s域。 如果這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，那么就回到單純的頻域。