開關(guān)電源占空比D、電感值L、效率η公式推導(dǎo)

開關(guān)電源（SMPS， Switched-Mode Power Supply）是一種非常高效的電源變換器，其理論值更是接近100%，種類繁多。按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分，有Boost、Buck、Boost-Buck、Charge-pump等；按開關(guān)控制方式分，有PWM、PFM；按開關(guān)管類別分，有BJT、FET、IGBT等。本次討論以數(shù)據(jù)卡電源管理常用的PWM控制Buck、Boost型為主。 開關(guān)電源的主要部件包括：輸入源、開關(guān)管、儲能電感、控制電路、二極管、負(fù)載和輸出電容。目前絕大部分半導(dǎo)體廠商會將開關(guān)管、控制電路、二極管集成到一顆CMOS/Bipolar工藝的電源管理IC中，極大簡化了外部電路。其中儲能電感作為開關(guān)電源的一個關(guān)鍵器件，對電源性能的好壞有重要作用，同時也是產(chǎn)品設(shè)計工程師重點(diǎn)關(guān)注和調(diào)試的對象。隨著像手機(jī)、PMP、數(shù)據(jù)卡為代表的消費(fèi)類電子設(shè)備的尺寸正朝著輕、薄、小巧、時尚的趨勢發(fā)展，而這正與產(chǎn)品性能越強(qiáng)所要的更大容量、更大尺寸的電感和電容矛盾。因此，如何在保證產(chǎn)品性能的前提下，減小開關(guān)電源電感的尺寸（所占據(jù)的PCB面積和高度）是本文要討論的一個重要命題，設(shè)計者將不得不在電路性能和電感參數(shù)間進(jìn)行折中（Tradeoff）。 任何事物都具有兩面性，開關(guān)電源也不例外。壞的PCB布局布線設(shè)計不但會降低開關(guān)電源的性能，更會強(qiáng)化EMC、EMI、地彈（grounding）等。在對開關(guān)電源進(jìn)行布局布線時應(yīng)注意的問題和遵循的原則也是本文要討論的另一重要命題。

一、開關(guān)電源占空比D、電感值L、效率η公式推導(dǎo) Buck型和Boost型開關(guān)電源具有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，本文將使用如圖1-1、1-2所示的電路參考模型：

參考電路模型默認(rèn)電感的DCR（Direct Constant Resistance）為零。

Buck/Boost型開關(guān)電源，伴隨開關(guān)管的開和關(guān)，儲能電感的電流波形如圖1-3所示：

從圖中可以看到，電感的電流波形等價于在直流IDC上疊加一個IP-P值為ΔI的交流。因而，IDC成為輸出電流IO，主要消耗在負(fù)載上；交流ΔI則消耗在負(fù)載電容的ESR（Equation Serial Resistance）上，成為輸出紋波Vripple。

在一個連續(xù)模式的周期內(nèi)，開關(guān)管閉合，對電感進(jìn)行充電，根據(jù)基爾霍夫定律有：

r也叫電流紋波比，是紋波電流與額定輸出電流之比。對于一個給定Buck型開關(guān)電源，此值一般為常量。從（5）式可以得到：電感值越大，就越小，因此r就越小。但這往往導(dǎo)致需要一個很大的電感才能辦到，所以絕大部分的Buck型開關(guān)電源選擇r值在0.25~0.5之間。

至此，我們推導(dǎo)出了Buck型開關(guān)電源的D、L、Lmin和η。需要提醒的是以上所有公式都建立在參考電路模型的基礎(chǔ)上，忽略了電感的DCR。 從（4）式可以看到，占空比只與Vi、Vo、Vsw和VD相關(guān)，可以很容易搭建電路計算出D，這也是開關(guān)電源控制器的核心電路之一，但對開關(guān)電源的應(yīng)用者來說，我們可以不關(guān)心。 從（8）式可以看出，開關(guān)電源的效率η也只與Vi、Vo、Vsw和VD相關(guān)。事實上Vsw和VD是開關(guān)頻率fsw的函數(shù)，所以η也是fsw的函數(shù)，但并不能保證fsw越高，η就越高。而對于一個給定的Buck型開關(guān)電源，其fsw是確定的，所以η也就是定值，尤其在忽略Vsw和VD后，η值為1。很明顯這與實際情況不符，根本原因就在于“參考模型假定儲能電感為理想電感”。 把（5）式代入（1）式，可以得到：

二、電感最小值選取 公式（7）、（12）分別給出了通用的Buck和Boost型開關(guān)電源的電感最小值選取公式。對像手機(jī)、PMP、數(shù)據(jù)卡這類的消費(fèi)類電子用到的低功率開關(guān)電源，Vsw和VD都在0.1V~0.3V之間，因此可對公式（7）、（12）進(jìn)行簡化，得到：

以PM6658的Buck電源MSMC為例，Vi為3.8V，Vo為1.2V，r為0.3，fsw為1.6MHZ,Io_rated位500mA則Lmin為3.08uH。若選用的電感容差為20%，則1.25*Lmin=3.85uH。據(jù)計算值最近的標(biāo)準(zhǔn)電感值為4.7uH，所以PM6658 spec推薦的最小電感值就是4.7uH。

三、電感參數(shù)選取 除了上面講的感值和容差（Tolerance）外，電感還有以下重要參數(shù)：自激頻率（Self-resonant frequency，fo），DCR，飽和電流（Saturation current，ISAT）和均方根電流（RMS current，IRMS）。盡管參數(shù)很多，但準(zhǔn)則只有一條：盡量保證fsw下電感的阻抗最小，讓實際電路和理想模型吻合，降低電感的功耗和熱量，提高電源的效率。 3.1自激頻率fo 理想模式的電感，其阻抗與頻率呈線性關(guān)系，會隨頻率升高而增大。實際電感模型如圖3-1-1所示，由電感L串聯(lián)RDCR和寄生電容C并聯(lián)而成，存在自激頻率fo頻率小于fo時呈感性，大于fo時呈容性，在fo處阻抗最大。

經(jīng)驗值：電感的自激頻率fo最好選擇大于10倍開關(guān)頻率fsw。 3.2直流電阻RDCR 電感的直流電阻RDCR自身會消耗一部分功率，使開關(guān)電源的效率下降，更要命的是這種消耗會通過電感升溫的方式進(jìn)行，這樣又會降低電感的感值，增大紋波電流和紋波電壓，所以對開關(guān)電源來講，應(yīng)根據(jù)芯片數(shù)據(jù)手冊提供的DCR典型值或最大值的基礎(chǔ)上，盡可能選擇DCR小的電感。 3.3飽和電流ISAT和均方根電流IRMS（電感燒毀問題）

電感的飽和電流ISAT指其感值下降了標(biāo)稱值的10%~30%所能通過的最大電流。如圖3-3-2所示，4.7uH電感下降為3.3uH時的電流約為900mA，因此其ISAT（30%）是900mA。

電感的均方根電流IRMS指電感溫度由室溫25℃上升至65℃時能通過的均方根電流。 ISAT和IRMS的大小取決于電感磁飽和與溫度上升至65℃的先后順序。 當(dāng)標(biāo)稱輸出電流大于ISAT時，電感飽和，感值下降，紋波電流、紋波電壓增大，效率降低。因此，電感的ISAT和IRMS中的最小值應(yīng)高于開關(guān)電源額定輸出電流的1.3以上。

四、電感類型選取 在明確了最小電感值的計算和電感參數(shù)的選取后，有必要對市面上一些流行的電感類型做比較分析，下面會圍繞：大電感和小電感、繞線電感和疊層電感、磁屏蔽電感和非屏蔽電感進(jìn)行對比說明。 4.1同尺寸下的大電感和小電感 這里“同尺寸”指電感的物理形狀大致相同，“大小”指標(biāo)稱容量不同。一般小容量的電感具有如下優(yōu)勢： l 較低的DCR，因此在重載時會有更高的效率和較少的發(fā)熱； l 更大的飽和電流； l 更快的負(fù)載瞬態(tài)響應(yīng)速度；
而大容量的電感具有較低的紋波電流和紋波電壓，較低的AC和傳導(dǎo)損失，在輕載時有較高的效率。圖4-1-1所示是Taiyo Yuden三種 2518封裝不同容量大小的電感負(fù)載電流跟效率的關(guān)系曲線。

4.2繞線電感和疊層電感 相比于繞線電感，疊層電感具有如下優(yōu)勢： l 較小的物理尺寸，占用較少的PCB面積和高度空間； l 較低的DCR，在重載時有更高的效率； l 較低的AC損失，在輕載時有更高的效率； 但是，疊層電感的ISAT也較小，因此其在重載時會有較大的紋波電流，導(dǎo)致輸出的紋波電壓也相應(yīng)增大。圖4-2-1所示是Taiyo Yuden的兩種繞線電感與三星的兩種疊層電感負(fù)載電流和效率的關(guān)系曲線。

4.3磁屏蔽電感和非屏蔽電感 非屏蔽電感會有較低的價格和較小的尺寸，但也會產(chǎn)生EMI。磁屏蔽電感會有效屏蔽掉EMI，因此更適合無線設(shè)備這樣EMI敏感的應(yīng)用，此外它還具有較低的DCR。

五、電感選取總結(jié) 根據(jù)前面幾節(jié)內(nèi)容的介紹，我們可以按照以下步驟選擇適合的電感：
（1）計算Lmin和推薦電感參數(shù)：fo、DCR、ISAT、IRMS； （2）在保證（1）的前提下，依據(jù)物理尺寸要求和性價比，折中選擇：大電感還是小電感，疊層電感還是繞線電感，磁屏蔽電感還是非屏蔽電感。

六、開關(guān)電源布局

以Buck電路為例，不管開關(guān)管是由閉合-打開還是打開-閉合，電流發(fā)生瞬變的部分都如圖（c）所示，它們是會產(chǎn)生非常豐富的諧波分量的上升沿或下降沿。通俗的講，這些會產(chǎn)生瞬變的電流跡線（trace）就是所謂的“交流”（AC current），其余部分是“直流”（DC current）。當(dāng)然這里交直流的區(qū)別不是傳統(tǒng)教科書上的定義，而是指開關(guān)管的PWM頻率只是“交流”FFT變換里的一個分量，而在“直流”里這樣的諧波分量很低，可忽略不記。所以儲能電感屬于“直流”也就不奇怪，畢竟電感具有阻止電流發(fā)生瞬變的特性。因此，在開關(guān)電源布局時，“交流”跡線是最重要和最需要仔細(xì)考慮的地方。這也是需要牢記的唯一基本定律（only basic rule），并適用于其它法則和拓?fù)?。下圖表示了Boost電路電流瞬變跡線，注意它和Buck電路的區(qū)別。

1inch長，50mm寬，1.4mil厚（1盎司）的銅導(dǎo)線在室溫下的電阻為2.5mΩ，若流過電流為1A，則產(chǎn)生的壓降是2.5mV，不會對絕大部分IC產(chǎn)生不利影響。然而，這樣1inch長的導(dǎo)線的寄生電感為20nH，由V=L*dI/dt可知，若電流變化快速，可能產(chǎn)生很大的壓降。典型的Buck電源在開關(guān)管由開-關(guān)時產(chǎn)生的瞬變電流是輸出電流的1.2倍，由關(guān)-開是產(chǎn)生的瞬變電流是輸出電流的0.8倍。FET型開關(guān)管的轉(zhuǎn)換時間是30ns，Bipolar型的是75ns，所以開關(guān)電源“交流”部分1inch的導(dǎo)線，流過1A瞬變電流時，就會產(chǎn)生0.7V的壓降。0.7V相比于2.5mV，增大了近300倍，所以高速開關(guān)部分的布局就顯得尤為重要。 盡可能地把所有外圍器件都緊密地放在轉(zhuǎn)換器的旁邊，減少走線的長度會是最理想的布局方式，但限于極其有限的布局空間，實際往往做不到，因此有必要根據(jù)瞬變壓降的嚴(yán)重程度按優(yōu)先級順序進(jìn)行。對Buck電路，輸入旁路電容須盡可能靠近IC放置，接下來是輸入電容，最后是二極管，采用短而粗的跡線將其一端與SW相連，另一端與地相連。而對Boost電路布局來說，則是按輸出旁路電容，輸出電容和二極管的優(yōu)先級順序進(jìn)行布局