曲線的弧角概念及其應(yīng)用

　　給定一段曲線，如何從整體上評(píng)價(jià)它，或者說(shuō)，給出哪些描述其整體特性的度量指標(biāo)是一個(gè)有意義的問(wèn)題。顯然，最常用的指標(biāo)是弧長(zhǎng)，它是曲線展直后的總長(zhǎng)度。數(shù)學(xué)上，弧長(zhǎng)是曲線彎曲和扭曲下的不變量，應(yīng)用中則可以表示諸如質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)路程、彎曲公路的路程，以及漆包線中銅線的卷繞長(zhǎng)度等，因此，是一個(gè)重要的概念。然而，弧長(zhǎng)不能反映曲線的形狀，因此還需要其它的度量指標(biāo)。這些指標(biāo)也已經(jīng)存在，如反映曲線總彎曲的全曲率和反映曲線總扭曲的全撓率等與曲線曲率和撓率有關(guān)的指標(biāo)。然而，這里有兩個(gè)問(wèn)題。第一，例如，全曲率這個(gè)名稱可能不利于應(yīng)用。我們知道，所謂曲線的曲率是其切矢對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度，是一個(gè)角速度的概念，而全曲率為曲率對(duì)于弧長(zhǎng)的積分，結(jié)果是角度而不是角速度（兩者量綱不同），但全曲率字面上容易被理解成仍然是一種曲率（角速度）。第二，例如，雖然全曲率的數(shù)學(xué)意義（特別是閉合曲線）得到了充分的發(fā)掘，但其應(yīng)用（特別是非閉合曲線和工程應(yīng)用）似乎沒(méi)有得到充分的關(guān)注。

　　注意到，圓弧的全曲率等于其圓心角，也就是圓弧對(duì)于其圓心所張成的角度。圓心角在一些文獻(xiàn)中被稱為弧角（arcangle），恰好與圓弧的弧飫對(duì)應(yīng)。顯然，這個(gè)名稱直觀，便于應(yīng)用。那么，可否將這個(gè)概念推廣到一般曲線上？本文就這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了討論。