自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)--控制器極點(diǎn)配置方法

前面介紹了利用根軌跡法和頻率特性法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。事實(shí)上，如果已知系統(tǒng)的模型或傳遞函數(shù)，通過引入某種控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可以移動(dòng)到指定的位置，從而使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善。這種方法稱為極點(diǎn)配置法。

例6－12 有一控制系統(tǒng)如圖6－38，其中，要求設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：（1）校正前，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)：

> 0

因而控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（2）在控制對(duì)象前串聯(lián)一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié) ， c>0，則閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)：

顯然，當(dāng) ， 時(shí)，系統(tǒng)可以穩(wěn)定。但此對(duì)參數(shù) c 的選擇依賴于 a 、 b 。因而，可選擇控制器 ， c 、 d ，則有特征方程：

當(dāng) ， 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

本例由于原開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，因而不能通過簡(jiǎn)單的零極點(diǎn)相消方式進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，其原因在于控制器的參數(shù)在具體實(shí)現(xiàn)中無法那么準(zhǔn)確，從而可能導(dǎo)致校正后的系統(tǒng)仍不穩(wěn)定。

例6－13 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

要求設(shè)計(jì)一串聯(lián)校正裝置Gc(s) ，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系統(tǒng) ，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在 處。

解：首先，通過校正前系統(tǒng)的根軌跡可以發(fā)現(xiàn)，如圖6－39所示，其主導(dǎo)極點(diǎn)為：

。

為使主導(dǎo)極點(diǎn)向左偏移，宜采用超前校正裝置。

（2）令超前校正裝置 ，可采用待定系數(shù)法確定相關(guān)參數(shù)：

又

其中 、 、 、 為待定系數(shù)。

進(jìn)一步可得：

即

將 代入式子可以得到： ， ， ， 。進(jìn)一步可得超前校正裝置的傳遞函數(shù)：

校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖6-39所示。

該校正裝置與例6－7中由超前裝置獲取的校正裝置結(jié)果基本相同，說明結(jié)果是正確的。

在matlab中，亦有相應(yīng)的命令可進(jìn)行極點(diǎn)配置，主要有三個(gè)算法可實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置算法：Bass-Gura算法、Ackermann算法和魯棒極點(diǎn)配置算法。這些算法均以狀態(tài)空間進(jìn)行表征，通過設(shè)定期望極點(diǎn)位置，獲取狀態(tài)反饋矩陣K。下面通過示例介紹其中的一種算法。

例6－14 考慮給定的系統(tǒng)，其狀態(tài)方程模型如下：

，

期望的閉環(huán)系統(tǒng)配置在 ， ， ，試設(shè)計(jì)其控制器。

解：可以使用下面的MATLAB語句來實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的配置：

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]; B=[0;1;0;-1];

eig(A)'

ans =

0 0 3.3166 -3.3166

P=[-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)];

K=place(A,B,P)

place: ndigits= 15

Warning: Pole locations are more than 10% in error.

K =

-0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000

eig(A-B*K)'

ans =

-1.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -2.0000 -1.0000

可以看出，原系統(tǒng)的極點(diǎn)位置為0、0、3.3166、-3.3166，即原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，應(yīng)用極點(diǎn)配置技術(shù)，可以將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到某些期望的位置上，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)得到穩(wěn)定，并同時(shí)得到較好的動(dòng)態(tài)特性。