自動控制系統(tǒng)的設(shè)計--基于頻率法的串聯(lián)校正設(shè)計

6.3.1 超前校正
用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行超前校正的基本原理是：通過所加的校正裝置的相位超前特性來增大系統(tǒng)的相位裕量，改變系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，并要求校正網(wǎng)絡(luò)最大的相位超前角
φm出現(xiàn)在系統(tǒng)新的剪切頻率處，使校正后系統(tǒng)具有如下特點：低頻段的增益滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求；中頻段對數(shù)幅頻特性的斜率為-20db/dec ，并具有較寬的頻帶，使系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能；高頻段要求幅值迅速衰減，以減少噪聲的影響。

用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行串聯(lián)超前校正的一般步驟可分為：

1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K，并據(jù)此畫出未校正系統(tǒng)的伯德圖，并測出其相位裕量γ1。
2）由期望的相位裕量值γ ，計算超前校正裝置應(yīng)提供的相位超前量 φ，即

式中的ε是用于補(bǔ)償因超前校正裝置的引入，使系統(tǒng)的剪切頻率增大而導(dǎo)致未校正系統(tǒng)相角遲后量的增加。ε值可以這樣估計的：如果未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的斜率為-40db/dec ，一般取ε=5°-10° ；如果該頻段的斜率為
-60db/dec ，則取ε=15°-20°。
3）根據(jù)所確定的最大相位超前角φm ，按式（6—8）算出相應(yīng)的 α值，即

4）計算校正裝置在ωm處的幅值10lg1/α (參見圖6—5)。由未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖，求得其幅值為-10lg1/α 處的頻率，則該頻率ωm就是校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率ωm，即ωc=ωm 。

5）確定校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率ω1 和ω2

,

6）畫出校正后系統(tǒng)的伯德圖，并驗算相位裕量是否滿足要求？如果不滿足，則需增大ε值，從步驟3）開始重新進(jìn)行計算，直到滿足要求。

例 6—1 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

設(shè)計一超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù) 等于 ，相位裕量γ不小于 ,增益裕量 不小于 .

解：（1）根據(jù)對靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K。

，

當(dāng) 時，未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

繪制未校正系統(tǒng)的伯德圖，如圖6—6中的虛線所示。由該圖或用Matlab中的margin命令，可得未校正系統(tǒng)的幅值裕量為無窮大，相位裕量約為。

（2）根據(jù)相位裕量的要求確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的相位超前角：

（3）由式（6—8）求得：

（4）超前校正裝置在 處的幅值為：

，在未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅值對應(yīng)的頻率 ，這一頻率即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。

（5）確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率，并確定超前裝置的傳遞函數(shù)。

由 ,則 ,

,于是求得超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

為補(bǔ)償因超前校正網(wǎng)絡(luò)的引入而造成系統(tǒng)開環(huán)增益的衰減，必須使附加放大器的放大倍數(shù)為 .

（6)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

對應(yīng)的伯德圖如圖6—15中的細(xì)實線所示。由該圖可見，校正后系統(tǒng)的相位裕量γ為 ，增益裕量為 ，，滿足設(shè)計的要求。

通過上例可以看出，串聯(lián)超前校正有如下特點；

1）這種校正主要對未校正系統(tǒng)中頻段的頻率特性進(jìn)行校正，使校正后中頻段幅值的斜率為-20db/dec，且有足夠大的相位裕量。

2）超前校正會使系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快。由例6—1可知，校正后系統(tǒng)的剪切頻率由未校正前的6.3增大到9。這表示校正后系統(tǒng)的頻帶變寬，瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快；但系統(tǒng)抗高頻噪聲的能力也變差。

3）雖然超前校正一般能較有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，但當(dāng)未校正系統(tǒng)的相頻特性曲線在剪切頻率ωc附近急劇地下降時，若用單級的超前校正網(wǎng)絡(luò)去校正，收效不大。因為校正后系統(tǒng)的剪切頻率向高頻段移動。在新的剪切頻率處，由于未校正系統(tǒng)的相角遲后量過大，因而用單級的超前校正網(wǎng)絡(luò)難于獲得較大的相位裕量。此時可采用多級串聯(lián)校正。

6.3.2 遲后校正
根據(jù)遲后校正網(wǎng)絡(luò)具有低通濾波器的特性，因而當(dāng)它與系統(tǒng)的不可變部分Gc(s)串聯(lián)時，它對頻率特性的低頻段影響甚微，但會使系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的中頻和高頻段增益降低，剪切頻率ωc減小，從而有可能使系統(tǒng)獲得足夠大的相位裕量。由此可見，遲后校正在一定的條件下，也能使系統(tǒng)同時滿足動態(tài)和靜態(tài)性能的要求。

不難看出，遲后校正的不足之處是：校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc會減小，頻帶變窄，瞬態(tài)響應(yīng)速度變慢；同時，在剪切頻率ωc處，遲后校正網(wǎng)絡(luò)會產(chǎn)生一定的相角遲后量。為此，應(yīng)盡可能地減少遲后角。理論上可選取 的兩個轉(zhuǎn)折頻率ω1 、ω2比
ωc越小越好，但考慮到物理實現(xiàn)上的可行性，一般取ω2=1/T=ωc/5 ~ωc/10為宜。

根據(jù)上述分析，用頻率法對系統(tǒng)進(jìn)行遲后校正的一般步驟為：

1）根據(jù)給定靜態(tài)誤差系數(shù)的要求，計算系統(tǒng)的開環(huán)增益K。并畫出未校正系統(tǒng)的伯德圖，求出相應(yīng)的相位裕量和增益裕量。

2）在已作出的相頻曲線上尋找一個頻率點，要求在該點處的開環(huán)頻率特性的相角為：φ=-180°+γ+ε

以這一頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωc 。上式中，γ為系統(tǒng)所要求的相位裕量，ε是補(bǔ)償因遲后網(wǎng)絡(luò)的引入而在剪切頻率ωc處產(chǎn)生的相位遲后量，工程上可取
ε=5°-10°。

3）設(shè)未校正系統(tǒng)在處ωc的幅值等于20lgβ，據(jù)此確定遲后網(wǎng)絡(luò)的β值。據(jù)此可保證在剪切頻率ωc處，校正后開環(huán)系統(tǒng)的幅值為0。

4）選擇遲后校正網(wǎng)絡(luò)中的一個轉(zhuǎn)折頻率ω2=1/T=ωc/5 ~ωc/10，則另一個轉(zhuǎn)折頻率為ω1=1/βT 。

5）畫出校正后系統(tǒng)的伯德圖，并求出校正后系統(tǒng)的相位裕量。校核設(shè)計指標(biāo)，如果不滿足要求，則可通過改變T值，重新設(shè)計遲后校正網(wǎng)絡(luò)。

例6—2 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求設(shè)計一串聯(lián)遲后校正裝置，使系統(tǒng)具有下列的性能指標(biāo)：靜態(tài)速度誤差系數(shù) ；相位裕量γ不低于 ；增益裕量不小于10dB。

解：（1）調(diào)整開環(huán)增益K，使之滿足靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求。

增益調(diào)整后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

相應(yīng)的伯德圖如圖6—16中的虛線所示。由該圖可知，未校正系統(tǒng)的相位裕量約等于 ，或使用Matlab中的margin函數(shù)，可得到校正前的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

（2）在作出的相頻特性曲線上，根據(jù)下式確定相角

對應(yīng)于這個φ角的頻率 ，并選它作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。

（3）計算 。由于未校正系統(tǒng)在 處的幅值等于20dB，即 ，故β=10。

（4）取 ，則 。這樣，遲后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為：

（5）校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

對應(yīng)的伯德圖如圖6—16中的實線所示。由圖或由Matlab中的margin函數(shù)可知，校正后系統(tǒng)的相位裕量約為，增益裕量約等于14dB，滿足設(shè)計要求。

6.3.3 遲后－超前校正
如果未校正系統(tǒng)為不穩(wěn)定，或?qū)πＵ笙到y(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能均有較高的要求時，只采用上述的超前校正或遲后校正，難于達(dá)到預(yù)期的校正效果。此時，宜對系統(tǒng)采用串聯(lián)遲后—超前校正。

應(yīng)用頻率法設(shè)計遲后－超前校正裝置，即利用校正裝置的超前部分來增大系統(tǒng)的相位裕量，以改善其動態(tài)性能，但因加大了帶寬，易受高頻噪聲的影響，降低了系統(tǒng)的抗干擾能力；利用它的遲后部分來改善系統(tǒng)的靜態(tài)性能，但會惡化系統(tǒng)的動態(tài)性能，對系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性不利。因此采用這種校正方式，應(yīng)合理應(yīng)用遲后和超前校正各自的優(yōu)點，克服它們各自的弱點，經(jīng)多次試探才能成功。

例6—3 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

要求校正后系統(tǒng)具有下列的性能指標(biāo)：相位裕量 ；增益裕量 ；靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。。試設(shè)計一遲后—超前校正裝置。

解：與超前校正和遲后校正相似，遲后—超前校正可按如下步驟進(jìn)行：

（1）求取開環(huán)增益并作出伯德圖。其根據(jù)對的要求，系統(tǒng)的增益K由

求得K=10。

未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6—17中的虛線所示。由圖可得到系統(tǒng)相位裕量等于 ，表明原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在這種情況下，如果采用超前校正，由于系統(tǒng)的剪切頻率的增大使原系統(tǒng)產(chǎn)生的遲后相位的增加比超前校正裝置提供的相位增加還快，這樣無法起到校正的作用，同時將增大剪切頻率，不利抑制噪聲。

（2）確定校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。在未對系統(tǒng)的快速性提出要求時，可選擇相頻特性上相角等于 的頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 。在本題中，由未校正系統(tǒng)的相頻曲線可見，當(dāng) 時， 。選擇該頻率值作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率 ，顯然較為合理。因為遲后—超前校正網(wǎng)絡(luò)在該頻率處產(chǎn)生 的相位超前角是完全能實現(xiàn)的，并且 也不算小，使校正后的系統(tǒng)仍具有一定的響應(yīng)速度。

（3）確定遲后—超前網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率。首先確定遲后部分的轉(zhuǎn)折頻率，令它的一個轉(zhuǎn)折頻率 ，選取β=10，則另一個轉(zhuǎn)折頻率 ，于是求得校正裝置遲后部分的傳遞函數(shù)為

它在剪切頻率 處產(chǎn)生約 的相位遲后。接著確定超前部分的轉(zhuǎn)折頻率：由圖6—29可見，未校正系統(tǒng)在 處的幅值為13dB，欲使該頻率成為校正后系統(tǒng)的剪切頻率，必須使該頻率點的開環(huán)幅值為0dB，即要求遲后—超前網(wǎng)絡(luò)在 處產(chǎn)生-13dB的幅值。據(jù)此，通過點 ， 作一條斜率為 的直線，該直線與0dB線與-20dB的水平線的交點，它們分別為 ， ，就是要求的超前部分的轉(zhuǎn)折頻率。因此超

前部分的傳遞函數(shù)為：

將校正網(wǎng)絡(luò)的遲后部分和超前部分的傳遞函數(shù)組合在一起，就得到遲后—超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：

（4）校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

相應(yīng)的伯德圖如圖6—17中的實線所示。校正后系統(tǒng)的相位裕量 ，增益裕量13.6db，靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，所要求的性能指標(biāo)均已滿足。

前面我們介紹了基于頻率法的串聯(lián)控制器的順向設(shè)計方法，即依據(jù)指標(biāo)或設(shè)計要求，首先選擇三類控制器中的一種方式，然后按設(shè)計規(guī)則進(jìn)行設(shè)計。事實上，若能根據(jù)指標(biāo)設(shè)計出校正后的期望頻率特性，則根據(jù)：G(jω)=Gc(jω)G0(jω) ，由校正前后的幅頻特性和相頻，亦可得到待定的控制器。此法對于最小相位系統(tǒng)尤其有效。

6.3.4基于頻率法的Matlab串聯(lián)校正設(shè)計
根據(jù)上面對三類控制器頻率法設(shè)計思路的介紹，可總結(jié)出一般性的設(shè)計步驟：

（1）根據(jù)靜態(tài)性能指標(biāo)，設(shè)計開環(huán)系統(tǒng)的增益，然后求出校正前系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量，并與設(shè)計要求比較；

（2）確定校正后期望的剪切頻率ωc，具體值的選取與選擇的校正方式（相位超前、遲后或遲后－超前等）相適應(yīng)；

（3）根據(jù)待設(shè)計的校正裝置的形式和轉(zhuǎn)折頻率，計算有關(guān)參數(shù)，進(jìn)而確定校正裝置；

（4）得出校正后系統(tǒng)，并校驗是否滿足設(shè)計要求。不滿足，則從（2）重新開始。

但畢竟，控制系統(tǒng)的設(shè)計是一項十分麻煩的工作，并需要大量的經(jīng)驗，為此，可借助飛速發(fā)展的計算機(jī)仿真技術(shù)，簡化控制系統(tǒng)的設(shè)計工作。

本節(jié)介紹頻率法的MATLAB設(shè)計方法，主要利用伯德（Bode）圖進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計，常用的函數(shù)有：

Bode--—伯德圖作圖命令；

Margin—求取系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度；

Bode_asymp—伯德圖幅頻特性的漸近線(自編函數(shù))；

Semilogx—半對數(shù)作圖函數(shù)；

Logspace—用于在某個區(qū)域中產(chǎn)生若干頻點；

Nicols、Mgrid—用于Nicols曲線和等M圓、等N圓的作圖命令；

Nyquist—Nyquist曲線作圖命令；

Phase、Abs—求取復(fù)數(shù)行矢量的相角和幅值函數(shù)。 這些函數(shù)或命令大部分在第五章或第九章作過說明。

結(jié)合例6－4介紹采用Matlab進(jìn)行設(shè)計的具體步驟，設(shè)計一個補(bǔ)償器

例6-4 對一給定的對象環(huán)節(jié)：

設(shè)計一個補(bǔ)償器，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，剪切頻率大于60，相位裕量 。

解：（1）首先根據(jù)對靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K＝100。

（2）寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)G0并計算其幅值裕量和相位裕量：

G0=tf(100,conv([1,0],[0.04,1]));

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G0);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]

ans =

Inf 28.0202 NaN 46.9782

w=logspace(-1,3);[m,p]=bode(G0,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(m(:)))

subplot(212),semilogx(w,p(:))

可以看到，未校正環(huán)節(jié)的幅值裕量無窮大，相位裕量 ，剪切頻率 ，不滿足要求。其伯德圖如圖6－18a中的虛線所示。

(3) 根據(jù)系統(tǒng)對動態(tài)性能的要求，可試探性引入一個超前補(bǔ)償器來增加相角裕量，則可假設(shè)校正裝置的傳遞函數(shù)為：

則可通過下列的Matlab語句得到校正后系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量：

Gc=tf([0.0262,1],[0.0106,1]);bode(Gc,w)

G_o=Gc*G0;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G_o);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]

ans =

Inf 47.5917 NaN 60.3252

從而可得到補(bǔ)償器的Bode圖如圖6－18b所示。可以看出，在頻率 處系統(tǒng)的幅值和相位均增加了。在這樣的控制器下，校正后系統(tǒng)的相位裕量增加到 ，而剪切頻率增加到 。

(4) 繪制校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6－18a中的實線所示。用如下的Matlab語句繪制校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6－18c。

[m,p]=bode(G0,w);[m1,p1]=bode(G_o,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10([m(:),m1(:)]))

subplot(212),semilogx(w,[p(:),p1(:)])

G_c1=feedback(G0,1);G_c2=feedback(G_o,1);

[y,t]=step(G_c1);y=[y,step(G_c2,t)];

figure,plot(t,y)