一種基于Diakoptics的計(jì)算微波電路的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn) - 全文

一、引 言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，時(shí)域有限差分法（FiniteDifference TimeDomain）是一種求解電磁問題的數(shù)值計(jì)算技術(shù)，由K.S.Yee于1966年提出。他的基本思想是根據(jù)時(shí)域麥克斯韋方程的場(chǎng)分量微分式，用差分替代微分式，進(jìn)行各場(chǎng)分量的迭代，但是這種方法隨著頻率升高，計(jì)算網(wǎng)格將顯著增加，PC機(jī)的性能將很難滿足需要，而且單純依靠計(jì)算機(jī)性能的提高也是不實(shí)際的。例如，在分析波導(dǎo)膜片濾波器時(shí)，為正確模擬全部膜片的幾何結(jié)構(gòu)，F(xiàn)DTD柵網(wǎng)的網(wǎng)格尺寸選得非常小，從而導(dǎo)致描述整個(gè)波導(dǎo)濾波器的網(wǎng)格數(shù)量非常大。由于每?jī)蓚€(gè)膜片之間都是均勻波導(dǎo)傳輸線，使用與膜片相同的柵網(wǎng)顯然是不必要的。人們?cè)褂梅蔷鶆騀DTD柵網(wǎng)的辦法解決這個(gè)問題，當(dāng)柵網(wǎng)的大小相差比較大時(shí)，不但收斂性不易控制，而且仍無法確保節(jié)省計(jì)算時(shí)間。將Diakoptics思想運(yùn)用于微波電路的全波分析，通過將電路分割為若干獨(dú)立的部分，根據(jù)每部分的具體結(jié)構(gòu)采用不同的網(wǎng)格，獨(dú)立地對(duì)各個(gè)部分進(jìn)行全波時(shí)域分析，由于每部分的網(wǎng)格是均勻的，因而容易保證算法的收斂性。

二、Diakoptics的概念

Diakoptics的概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。其定義為：將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)分解為若干子網(wǎng)絡(luò)，對(duì)每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)單獨(dú)求解，最后通過一定的連接條件，由諸子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)求出網(wǎng)絡(luò)總的響應(yīng)。連接條件按形式不同可分為串行連接及并行連接。串行連接是依照一定的順序由網(wǎng)絡(luò)的一端向另一端單向連接，見圖1,其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，但最大的問題是當(dāng)其中一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)改變時(shí)，將對(duì)其后的網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生影響。并行連接可克服這個(gè)缺點(diǎn)。并行連接可在任意兩個(gè)相鄰的子網(wǎng)絡(luò)間進(jìn)行，且若干并行連接可同時(shí)獨(dú)立進(jìn)行，并行時(shí)域Diakoptics假設(shè)子網(wǎng)絡(luò)為M+N端口網(wǎng)絡(luò)，其中M個(gè)端口和前一級(jí)子網(wǎng)絡(luò)相連，N個(gè)端口和后一級(jí)子網(wǎng)絡(luò)相連。子網(wǎng)絡(luò)的離散格林函數(shù)為g（i,j,n′）即j（j=1,M+N）端口t=0時(shí)刻的激勵(lì)，在i（i=1,M+N）端口t=n′時(shí)刻的沖擊響應(yīng)。

研究微波電路問題時(shí)，若微波電路可以被等效為一個(gè)線性網(wǎng)絡(luò)的話，則可以設(shè)想描述微波電路特性的格林函數(shù)可對(duì)應(yīng)于電路理論中的沖擊響應(yīng)函數(shù)。從電磁場(chǎng)理論角度看，時(shí)域格林函數(shù)g（r,t;r0,t0）為位于r0點(diǎn)的點(diǎn)源t0時(shí)刻施加的單位沖擊信號(hào)在觀察點(diǎn)r及t時(shí)刻的場(chǎng)，且滿足方程

兩個(gè)微波子電路連接時(shí)，其連接參考面上存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系，這種耦合關(guān)系可以用電磁波在存在兩個(gè)不連續(xù)界面的媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象來形象描述，如圖1所示。那么如何將Diakoptics算法應(yīng)用于微波電路特性分析中呢？在介紹這一點(diǎn)之前，本文首先簡(jiǎn)要介紹Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。

圖1　媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象可以用來形象描述兩個(gè)微波子電路間的耦合關(guān)系

三、Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述

以兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)的串、并行連接給出Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述。圖2假設(shè)兩個(gè)子電路的反射及透射波的沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：gr1（t），gr2（t），gt1（t），gt2（t）和hr1（t），hr2（t），ht1（t），ht2（t），上標(biāo)"r"表示反射波，"t" 表示傳輸波，下標(biāo)1表示從輸入?yún)⒖济鎸?duì)電路作激勵(lì)，下標(biāo)2表示從輸出參考面對(duì)電路作激勵(lì)。設(shè)f為兩個(gè)子電路連接后電路的沖擊響應(yīng)函數(shù)。使用串行算法，從f 網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济婵慈氲臎_擊響應(yīng)為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…； （2）

使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr1（t），ft2（t）以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr2（t），ft1（t）分別為：

fr1（t）=gr1（t）+gt2（t）*hr1（t）*gt1（t）+gt2（t）*hr1（t）

*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…+gt2（t）*（hr1（t）

*gr2（t））n*hr1（t）*gt1（t）+…

ft2（t）=gt2（t）*hr2（t）+gt2（t）*hr1（t）*gr2（t）*ht2（t）+…

+gr2（t）*（hr1（t）*gr2（t））n*hr2（t）+… （3）

fr2（t）=hr2（t）+ht1（t）*gr2（t）*ht2（t）+ht1（t）*gr2（t）

*hr1（t）*gt2（t）*ht2（t）+…+ht1（t）*（gr2（t）

*hr1（t））n*gr2（t）*ht2（t）+…

ft1（t）=ht1（t）*gt1（t）+ht1（t）*gr2（t）*hr1（t）*gt1（t）+…

+ht1（t）*（gr2（t）*hr1（t））n*gr1（t）+…

其中，*代表時(shí)域卷積，上下標(biāo)的含義不變。

?

圖2　可說明Diakoptics算法的兩個(gè)子電路連接示意圖

多端口子電路連接時(shí)，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數(shù)應(yīng)換為相應(yīng)的子矩陣。例如設(shè)g網(wǎng)絡(luò)為輸入端有M個(gè)、輸出端有N個(gè)端口的M+N端口網(wǎng)絡(luò)，h網(wǎng)絡(luò)為輸入端有N個(gè)、輸出端有L個(gè)端口的N+L端口網(wǎng)絡(luò)（g與h相鄰面的端口數(shù)目應(yīng)相同），g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫣幍姆瓷?、傳輸子矩陣分別為：

?

和

式中下標(biāo)代表參考面，i←j的意思為：i為響應(yīng)所在參考面，j為激勵(lì)所在參考面；上標(biāo)代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口。同理，g網(wǎng)絡(luò)輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

和

h網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)子矩陣可用同樣方法求得。連接后網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)函數(shù)[f]為：

[fr1（t）]=[gr1（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+[gt2（t）]

*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+…

[ft2（t）]=[gt2（t）]*[ht2（t）]+[gt2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…

[fr2（t）]=[hr2（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+[ht1（t）]

*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gr2（t）]*[ht2（t）]+…

[ft1（t）]=[ht1（t）]*[gt1（t）]+[ht1（t）]*[gr2（t）]*[hr1（t）]*[gt1（t）]+… （4）

其中[fr1（t）]、[ft1（t）]、[fr2（t）]和[ft2（t）]分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣。下面以[gt2（t）]*[ht2（t）]為例說明如何計(jì)算矩陣卷積，并以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個(gè)元素為例，說明其物理意義：

g1←11←2*h1←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh連接面第1個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh交界面第2個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過gh交界面第N個(gè)端口的耦合，在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；所以[gt2（t）]*[ht2（t）]的第一個(gè)元素描述了h網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口上的輸入耦合到g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济娴谝粋€(gè)端口的輸出。