運(yùn)算放大器的環(huán)路穩(wěn)定性

作為模擬工程師，環(huán)路穩(wěn)定性是一個(gè)繞不開的話題，很多運(yùn)算放大器的書籍也或多或少對(duì)運(yùn)算放大器的穩(wěn)定性都有介紹，但看下來都不夠完整，或者部分知識(shí)點(diǎn)有些陳舊，基于此，搬運(yùn)工重新梳理并整理成本文運(yùn)算放大器的穩(wěn)定性。本文比較長(zhǎng)，為了更有目的性的閱讀，大家可以帶著以下幾個(gè)問題點(diǎn)去詳細(xì)閱讀本文，并在閱讀完之后再回頭來看看這些問題是否都得到了很好的答案。

1. 運(yùn)算放大器的開環(huán)增益、環(huán)路增益、閉環(huán)增益的區(qū)別?

2. 運(yùn)算放大器環(huán)路不穩(wěn)定的判定條件以及原因?

3. 運(yùn)算放大器環(huán)路穩(wěn)定性的判定依據(jù)?

4. 什么是相位裕度和增益裕度?

5. 如何理解波特圖中的幅度改變率、相位改變率、極點(diǎn)、零點(diǎn)?

5. 如何理解運(yùn)算放大器規(guī)格書中Gain/Phase頻率曲線中Phase有正有負(fù)?

6. 如何根據(jù)規(guī)格書中開環(huán)Gain/Phase頻率曲線快速判定環(huán)路穩(wěn)定性?

7. 如何理解相位頻率曲線的非單調(diào)性以及其對(duì)群延時(shí)的影響?

8. 如何理解環(huán)路增益AOLβ中開環(huán)增益AOL和反饋系數(shù)β隨頻率變化的特性?

一、運(yùn)算放大器的負(fù)反饋

負(fù)反饋電路在運(yùn)算放大器的應(yīng)用中起著非常重要的作用，它可以改善運(yùn)放的許多特性，比如穩(wěn)定增益，減小失真，擴(kuò)展頻帶，阻抗變換等。但負(fù)反饋的引入也有可能會(huì)使得運(yùn)算放大器電路不穩(wěn)定，輕則帶來時(shí)域上的過沖，重則會(huì)引起自激振蕩。運(yùn)算放大器的自激震蕩

二、運(yùn)算放大器的穩(wěn)定性

為了簡(jiǎn)化分析，下面以同相放大器為例，來從零開始解析運(yùn)算放大器的穩(wěn)定性，如下圖所示，是同相放大器的環(huán)路系統(tǒng)框圖以及對(duì)于同相比例放大器的實(shí)際電路示意(標(biāo)注出對(duì)應(yīng)的反饋系數(shù)-β網(wǎng)絡(luò))。

從上圖反饋環(huán)路系統(tǒng)框圖中，得知對(duì)于一個(gè)負(fù)反饋電路，主要包含：

增益模塊：增益為a，接受輸入差分信號(hào)vd，輸出vo，即vo=a×vd，這里對(duì)于同相比例放大電路，其增益模塊即是運(yùn)算放大器本身，a則是其開環(huán)增益AOL。

反饋網(wǎng)絡(luò)：反饋信號(hào)網(wǎng)絡(luò)，vf=β×vo，β則是該反饋網(wǎng)絡(luò)的增益，也是常說的反饋系數(shù)。

疊加模塊：vd=vi-vf，這里可以看到所謂負(fù)反饋，是在輸入信號(hào)源上減去反饋的信號(hào)后得到差分信號(hào)，如果是vd=vi+vf，則是正反饋系統(tǒng)。 基于以上的簡(jiǎn)單推導(dǎo)，可以得到同相比例放大電路的閉環(huán)增益(Acl)表達(dá)式如下：

AOLβ，這是一個(gè)非常重要的表達(dá)式，稱之為環(huán)路增益，從上述閉環(huán)增益的表達(dá)式可以看出，一個(gè)負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度主要取決于其環(huán)路增益AOLβ，這里β對(duì)于同相比例放大電路，因?yàn)榉答伨W(wǎng)絡(luò)只有電阻元件，其值跟頻率沒有關(guān)系，β=vf/vo=RI/(RF+RI)，而AOL則是一個(gè)隨頻率變化的曲線(如上圖OPA規(guī)格書中給出的開環(huán)增益和相位與頻率的曲線圖，其幅度和相角都會(huì)隨頻率變化而變化 )，所以從數(shù)學(xué)上理解，AOL是一個(gè)復(fù)數(shù)，會(huì)對(duì)應(yīng)有幅度和相角度，所以這里對(duì)于環(huán)路增益AOLβ又可以表達(dá)成如下形式(其中f是代表頻率，θ代表相角)：

所以當(dāng)AOLβ=-1的時(shí)候，1+AOLβ為無窮大，閉環(huán)增益趨于無窮大，這個(gè)時(shí)候輸入端任何輕微的擾動(dòng)都會(huì)在輸出引起劇烈的反應(yīng)，此時(shí)負(fù)反饋系統(tǒng)變成了正反饋，進(jìn)而導(dǎo)致運(yùn)算放大器的自激震蕩的產(chǎn)生。從AOLβ的復(fù)數(shù)表達(dá)式來看(這里是以往所有講運(yùn)算放大器穩(wěn)定性都沒有提到的一個(gè)概念)，對(duì)于|AOLβ|=1，當(dāng)θ=-180°時(shí)，cos(θ)=-1，sin(θ)=0，則有AOLβ=-1，所以對(duì)于不穩(wěn)定的條件是|AOLβ|=1以及θ=-180°。所以判定穩(wěn)定性時(shí)，需要保證遠(yuǎn)離以上兩個(gè)進(jìn)入不穩(wěn)定的條件，下面分開從這兩個(gè)不穩(wěn)定條件來看：

1. 當(dāng)AOLβ的相角θ=-180°時(shí)(信號(hào)過系統(tǒng)之后的相移為-180°，負(fù)反饋?zhàn)兂烧答?：|AOLβ|<1：0<1+ AOLβ<1，正反饋信號(hào)逐漸衰減，會(huì)產(chǎn)生過沖但不會(huì)震蕩。|AOLβ|≥1：AOLβ=-|AOLβ|≤-1，即1+ AOLβ≤0，如果1+ AOLβ<0，則Acl<0，但因?yàn)檫\(yùn)算放大器本身的限制，對(duì)于同相比例放大無法產(chǎn)生負(fù)的閉環(huán)增益，從而最終只能工作在1+ AOLβ=0的狀態(tài)，導(dǎo)致運(yùn)算放大器工作在不穩(wěn)定條件下而發(fā)生震蕩。因此在|AOLβ|≥1的任何時(shí)候都需要避免反饋環(huán)路的相移達(dá)到或超過180°。

2. 當(dāng)|AOLβ|=1時(shí)：θ<-180°，這里主要看相位余量的大小，會(huì)有過沖，但不會(huì)震蕩，通常所說的相位裕度，就是指在|AOLβ|=1(環(huán)路增益20lg(1)=0dB)時(shí)候的相移距離-180°差值，一般AOLβ至少有45°的相位余量才能讓負(fù)反饋系統(tǒng)足夠穩(wěn)定。θ≥-180°，會(huì)震蕩。這里先不展開分析，為了更形象的說明上面兩個(gè)判定環(huán)路穩(wěn)定性的依據(jù)，我們有必要先引入一個(gè)分析環(huán)路穩(wěn)定性的必備工具，波特圖。

三、環(huán)路穩(wěn)定性少不了的工具-波特圖

這里先簡(jiǎn)單回顧下波特圖的幾個(gè)基本概念：

1. 幅度改變率(Roll off Rate)：幅度曲線中幅度改變的速率，一般用 dB/decade為單位。為正(+)值時(shí)表示上升，為負(fù)(一)時(shí)表示下降。

2. 相位改變率：相位曲線中相位改變的速率，一般用°/decade 為單位。為正(+)值時(shí)表示上升，為負(fù)(一)時(shí)表示下降。

3. Decade: 十倍頻，頻率按 ×10 的速度增加，如 10KHz 到 100KHz 為一個(gè) Decade。常與其他單位配合用來表示某個(gè)量在 10 倍頻程中改變的大小。

4. 極點(diǎn)：傳遞函數(shù)分母上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)稱為極點(diǎn)。以上圖為例，單個(gè)極點(diǎn)響應(yīng)在波特圖(幅度或增益曲線)上具有按 一20dB/decade 斜率下降的特點(diǎn)。與圖中的理想曲線不一樣的是，在現(xiàn)實(shí)中，極點(diǎn)位置在增益等干直流增益減去 3dB 的地方，該外對(duì)應(yīng)的頻率即為轉(zhuǎn)折頻率。在相位曲線上，極點(diǎn)在轉(zhuǎn)折頻率上具有-45°的相移。相位在轉(zhuǎn)折頻率的兩邊以-45°/decade 的斜率變化為 0°和-90°。請(qǐng)注意極點(diǎn)是如何影響直到高于和低于極點(diǎn)頻率 10倍頻程處的相移的。單極點(diǎn)電路可以用簡(jiǎn)單的 RC 低通濾波器表示。

5. 零點(diǎn)：和極點(diǎn)對(duì)應(yīng)，傳遞函數(shù)分子上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)稱為零點(diǎn)。以上圖右圖為例，單個(gè)零點(diǎn)響應(yīng)在波特圖(幅度或增益曲線)上具有按 +20dB/decade斜率上升的特點(diǎn)。與圖中的理想曲線不一樣的是，在現(xiàn)實(shí)中，零點(diǎn)位置在增益等于直流增益加上3dB的地方，該處對(duì)應(yīng)的頻率即為轉(zhuǎn)折頻率。在相位曲線上，極點(diǎn)在轉(zhuǎn)折頻率上具有-45°的相移，相位在轉(zhuǎn)折頻率的兩邊以 +45°/decade 的斜率變化為 0°和 +90°。請(qǐng)注意零點(diǎn)是如何影響直到高于和低于零點(diǎn)頻率 10 倍頻程處的相移的。單零點(diǎn)電路可以用簡(jiǎn)單的 RC 高通濾波器表示。到這里為止，回顧了波特圖中的幾個(gè)重要概念，下面我們來看看如何用波特圖來幫助我們分析運(yùn)算放大器的穩(wěn)定性。

四、利用波特圖分析運(yùn)算放大器環(huán)路穩(wěn)定性

相位裕度定義：在運(yùn)放開環(huán)增益和開環(huán)相移圖中，當(dāng)運(yùn)放的開環(huán)增益下降到1(0dB)時(shí)，開環(huán)相移值減去-180°得到的數(shù)值。

增益裕度定義：在運(yùn)放開環(huán)增益和開環(huán)相移圖中，當(dāng)運(yùn)放的開環(huán)相移下降到-180°時(shí)，增益dB值取負(fù)，或者是增益值的倒數(shù)。

從相位裕度和增益裕度的定義(上述定義摘錄《你好，放大器》2.14)，可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為相位裕度和增益裕度越大，說明放大器越容易穩(wěn)定，但顯然僅僅用相位裕度和增益裕度這兩個(gè)指標(biāo)來判定環(huán)路穩(wěn)定性是不夠的，上面我們有講過判定運(yùn)算放大器環(huán)路穩(wěn)定性的兩個(gè)依據(jù)(從工程經(jīng)驗(yàn)上來看，第二個(gè)判定依據(jù)實(shí)際應(yīng)用中更好去衡量)：

1. 當(dāng)AOLβ的相角θ=-180°時(shí)|AOLβ|<1：會(huì)產(chǎn)生過沖但不會(huì)震蕩。|AOLβ|≥1：會(huì)震蕩。

2. 當(dāng)|AOLβ|=1時(shí)：θ<-180°，會(huì)有過沖，但不會(huì)震蕩，相位余量45°以上環(huán)路更穩(wěn)定。θ≥-180°，會(huì)震蕩。

可以看到，對(duì)于運(yùn)算放大器的環(huán)路穩(wěn)定性的判定，本質(zhì)上都是對(duì)環(huán)路增益AOLβ的判定，所以嚴(yán)格來講，上述對(duì)相位裕度和增益裕度的定義并不準(zhǔn)確，應(yīng)該增加一個(gè)條件，即對(duì)于單位增益的時(shí)候，β=1，這個(gè)時(shí)候環(huán)路增益AOLβ就是運(yùn)算放大器的開環(huán)增益。因?yàn)橄辔辉６群驮鲆嬖６仁怯脕砗饬窟\(yùn)算放大器穩(wěn)定性比較量化的指標(biāo)，所以我們修正下這兩個(gè)定義如下：

相位裕度定義：在環(huán)路增益和相移頻率曲線中，當(dāng)環(huán)路增益下降到1(0dB)時(shí)，相移值減去-180°得到的數(shù)值。

增益裕度定義：在環(huán)路增益和相移圖中，當(dāng)環(huán)路相移下降到-180°時(shí)，增益dB值取負(fù)，或者是增益值的倒數(shù)。

基于此，我們來參考TI的OPA2991規(guī)格書中關(guān)于相位裕度(Phase Margin)這個(gè)指標(biāo)的標(biāo)注，可以看到，實(shí)際對(duì)于器件來說，相位裕度都是對(duì)于給定閉環(huán)增益(G=+1)條件下的一個(gè)指標(biāo)，即β=1，AOLβ=AOL。

上圖是OPA2991規(guī)格書中Open-Loop Gain and Phase頻率響應(yīng)曲線，基于這個(gè)曲線，對(duì)于G=+1(β=1)的時(shí)候，從圖中讀出在0dB處，其相位裕度為60°，可以判定OPA2991在單位增益(跟隨器)時(shí)環(huán)路是穩(wěn)定的。

上面討論的都是單位增益，如下圖所示，是一個(gè)典型的同相10倍放大電路，該電路的反饋系數(shù)β=R1/(R1+Rf)=1/10，1/β=20log(10)=20dB。

對(duì)于環(huán)路增益AOLβ取對(duì)數(shù)計(jì)算，可以得到如下：

所以對(duì)于環(huán)路增益AOLβ=0dB處的相位裕度，即可以在OPA2991開環(huán)增益曲線上先畫出1/β(20dB)的線，然后AOL和1/β曲線交叉處即是環(huán)路增益AOLβ=0dB處，同時(shí)其對(duì)應(yīng)的Phase就是AOLβ=0dB處的相位裕度80°(這里主要是因?yàn)閷?duì)于純電阻的反饋網(wǎng)絡(luò)β是不會(huì)引起額外的相頻曲線的變化)，所以對(duì)于OPA2991在G=+10的條件下，根據(jù)其環(huán)路增益的相位裕度為80°，判定環(huán)路穩(wěn)定的。

五、環(huán)路穩(wěn)定性分析中常見的幾個(gè)疑惑

1. 運(yùn)算放大器規(guī)格書中開環(huán)增益曲線中的Phase有正有負(fù)。

?

有細(xì)心的同學(xué)可能已經(jīng)注意到，本文上述提到過的兩個(gè)開環(huán)增益/相位頻率曲線中Phase的數(shù)值不太一樣，上圖(左)的Phase都是負(fù)值，上圖(右)的Phase則是從正到負(fù)。這里我們要先明確一點(diǎn)，對(duì)于信號(hào)經(jīng)過運(yùn)算放大器，其相位肯定是滯后的，即相角是負(fù)的。

對(duì)于上圖(左)中標(biāo)注的Phase就是我們正常理解的相移，對(duì)于這種圖示，其相位裕度是讀出來的Phase-(-180°)。

對(duì)于上圖(右)中標(biāo)注的Phase，其實(shí)是Phase Margin，即Phase+180°的值。

2. 為什么有些運(yùn)放規(guī)格書中相位頻率曲線不單調(diào)?不單調(diào)會(huì)帶來什么影響?一般運(yùn)算放大器規(guī)格書中都會(huì)標(biāo)注G=+1時(shí)候的相位裕度，通常對(duì)于單極點(diǎn)運(yùn)算放大器來說，其相位隨頻率變化是單調(diào)的，單位增益處的相位裕度是最小的，只要保證了單位增益處的相位裕度滿足穩(wěn)定性判定依據(jù)即可，上述提到的兩種開環(huán)增益/相位頻率曲線均符合。但這并不是絕對(duì)的，如下是國(guó)內(nèi)運(yùn)算放大器廠商思瑞浦TPA5562數(shù)據(jù)手冊(cè)中的開環(huán)增益/相位頻率曲線。

從上圖可以看到，TPA5562在單位增益(0dB)處的相位裕度是70°，但在25dB處的相位裕度是60°(25dB處的相位裕度比0dB處要小)，其整個(gè)相位頻率曲線是非單調(diào)的，可以明顯看出，在120kHz頻率處，TPA5562內(nèi)部做了零點(diǎn)補(bǔ)償，從而使得相位以+45°/decade的速率上升。單純的從環(huán)路穩(wěn)定性來看，TPA5562在1/β>0dB以上的環(huán)路增益對(duì)應(yīng)的相位裕度都可以滿足PM>60°，即保證了環(huán)路穩(wěn)定性，但這種相頻曲線對(duì)實(shí)際應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生什么影響呢?這里引入群延時(shí)(Group Delay)的概念，輸出正弦波和輸入正弦波之間，會(huì)存在相移，也就相應(yīng)的存在延時(shí)，當(dāng)輸入波形為復(fù)合波形，包含多個(gè)不同頻率的正弦波，且它們的相移沒有特殊的規(guī)律，就可能出現(xiàn)不同的延時(shí)，這會(huì)引起輸出波形與輸入波形形態(tài)不同，造成線性失真。所以對(duì)于TPA5562這種相頻曲線，對(duì)于輸入信號(hào)是包含100kHz~400kHz之間的多個(gè)不同頻率正弦波的復(fù)合波形，則輸出雖然環(huán)路穩(wěn)定，但會(huì)造成嚴(yán)重的線性失真。(本文主要講環(huán)路穩(wěn)定性，這里簡(jiǎn)單借助群延時(shí)的概念說明下這種相頻曲線的實(shí)際應(yīng)用影響，后續(xù)可以單獨(dú)詳細(xì)討論群延時(shí)。)

3. 反饋系數(shù)β會(huì)隨頻率變化么?

上面討論的都是基于反饋網(wǎng)絡(luò)是純電阻，即反饋系數(shù)β是不隨頻率變化的值，然后對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中很多時(shí)候反饋網(wǎng)絡(luò)包含了電容，對(duì)于包含電容的反饋網(wǎng)絡(luò)的反饋系數(shù)β的表達(dá)式就是一個(gè)隨頻率變化的函數(shù)。

如上圖所示，是一個(gè)典型的在比例放大電路上增加了反饋電容的電路，這個(gè)時(shí)候其β的表達(dá)式如下，其是一個(gè)隨頻率變化的值，這個(gè)時(shí)候分析環(huán)路穩(wěn)定性需要考慮1/β引入的額外的零極點(diǎn)(這部分后續(xù)會(huì)單獨(dú)寫文章討論關(guān)于同相比例放大電路的CF補(bǔ)償電容的計(jì)算)。