怎么設(shè)計(jì)模擬無源濾波器-2

本節(jié)主要介紹LC梯形網(wǎng)絡(luò)的綜合方法，包括經(jīng)典鏡像法、插入損耗法和轉(zhuǎn)移函數(shù)法這三種網(wǎng)絡(luò)綜合的設(shè)計(jì)方法。

現(xiàn)代濾波器網(wǎng)絡(luò)綜合所解決的問題

現(xiàn)代濾波器綜合技術(shù)所解決的問題非常有限，下圖是對(duì)模擬無源網(wǎng)絡(luò)做一個(gè)簡單分類總結(jié):

圖中綠色陰影部分是本節(jié)內(nèi)容所能夠解決的部分，其他網(wǎng)絡(luò)目前筆者并未見到比較成熟統(tǒng)一的理論，后續(xù)有機(jī)會(huì)我們?cè)龠M(jìn)行深入分析和研究。

濾波器綜合技術(shù)是數(shù)學(xué)和電路兩門學(xué)科的交叉學(xué)科，要掌握這門技術(shù)，需要同時(shí)掌握這兩個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。電路中涉及到電路分析、微波射頻、信號(hào)系統(tǒng)等等理論，而在數(shù)學(xué)就涉及到更多，諸如矩陣論、復(fù)變函數(shù)、特殊函數(shù)、函數(shù)逼近等等知識(shí)。

可以預(yù)見的是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)，AI技術(shù)(濾波器綜合的本質(zhì)上是依照特定功能設(shè)計(jì)出符合一定結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，所以當(dāng)下AI等技術(shù)的發(fā)展可以說給濾波器綜合技術(shù)帶來了新的希望)的發(fā)展，所有關(guān)于濾波器網(wǎng)絡(luò)綜合的問題在可預(yù)見的未來一定會(huì)得到很好的解決。

濾波器綜合的基本知識(shí)

前提

本節(jié)模擬無源濾波器綜合必須：

1. 濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為梯形
2. 濾波器網(wǎng)絡(luò)除輸入和輸出外，剩下的全部是電容和電感，即濾波器網(wǎng)絡(luò)為無耗網(wǎng)絡(luò)，阻抗的零極點(diǎn)必在虛軸上交替排列, 濾波器是無條件穩(wěn)定的,對(duì)于輸入的任何激勵(lì)不會(huì)出現(xiàn)自激,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)中極點(diǎn)不在右半平面
3. 濾波器為有限階

由連分式綜合出梯形網(wǎng)絡(luò)

LC梯形網(wǎng)絡(luò)綜合離不開網(wǎng)絡(luò)的連分式展開(continued fraction)這個(gè)工具，它是荷蘭數(shù)學(xué)家“連分式分析之父”的斯蒂爾吉斯(Thomas Joannes Stieltjes)所提出，連分式可以用有理數(shù)來表示無理數(shù)，對(duì)于無理數(shù) 我們有如下連分式表示方法： 在電路設(shè)計(jì)領(lǐng)域，梯形網(wǎng)絡(luò)(Ladder network)的阻抗可以用連分式來表達(dá)，如下:

所以可以得到此梯形網(wǎng)絡(luò)的連分式表示： 這種連分式寫法可以很方便的依據(jù)表達(dá)式綜合(Synthesis)出電路來，如上述的 用電阻來實(shí)現(xiàn)就為：

連分式可謂將網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗和梯形網(wǎng)絡(luò)緊密的聯(lián)系起來了，那么一個(gè)梯形網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗和其傳遞函數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

下面我們通過簡單的2階LC低通濾波器來進(jìn)行分析，讓大家對(duì)濾波器電路分析有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)：

從上圖可以看到即使分析一個(gè)簡單的濾波器，最終傳遞函數(shù)公式也是比較復(fù)雜且沒有什么規(guī)律可循。倘若再分析3階或5階濾波器就更費(fèi)勁了。那么我們應(yīng)該如何去分析呢，若我們將濾波器看成一個(gè)黑盒子來研究，這將大大降低電路分析難度。

濾波器電路黑盒子有4個(gè)端口，分別為1,1',2,2'，前面我們知道，輸入阻抗 可以用來描述一個(gè)梯形網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，所以在4端口網(wǎng)絡(luò)中，我們盡量往Z1上靠，所以在這里我們選擇阻抗Z網(wǎng)絡(luò)。 式中 表示4端口網(wǎng)絡(luò)的輸出口開路時(shí)的輸入阻抗，注意到濾波器綜合的前提條件2，可以得到所有Z參數(shù)的零極點(diǎn)都在虛軸上，非常容易研究其性質(zhì)。

濾波器網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出可以交換的(互易),所以有 。

有了四端口阻抗網(wǎng)絡(luò)定義，我們可以找到平時(shí)非常關(guān)心的網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移特性，即輸出和輸入的關(guān)系，轉(zhuǎn)移阻抗 就是比較常見的一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，它和Z網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系如下(對(duì) 進(jìn)行歸一化處理): 若給定網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移阻抗 ，我們可以通過表達(dá)式結(jié)構(gòu)求出 和 ，再由 的零極點(diǎn)，將 的極點(diǎn)一步步去除，從而可以綜合出對(duì)應(yīng)的濾波器。

對(duì)于Z網(wǎng)絡(luò)還有一個(gè)重要的性質(zhì)是 包含網(wǎng)絡(luò)的所有極點(diǎn)，這個(gè)可以由電路方程的解中都包含整個(gè)參數(shù)矩陣的行列式來理解，這一點(diǎn)在電路綜合中非常重要。

階梯網(wǎng)絡(luò)綜合方法

兩端接載-插入損耗法

兩端接載的梯形網(wǎng)絡(luò)綜合采用插入損耗法，使用插入損耗法來綜合網(wǎng)絡(luò)的方法是由達(dá)林頓(Darlington)在1939年提出的，這種綜合法流程在前文中有提到過，基本綜合流程如下圖所示，若需要了解更多可參考插入損耗法原理推導(dǎo) ：

下圖顯示一個(gè)3階巴特沃斯低通濾波器的綜合過程：

注意此濾波器綜合的頻率為 ，另外圖中 的定義與初始達(dá)林頓的有所區(qū)別，以便和現(xiàn)代傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)。

上述方法是由傳輸功率-->反射-->輸入阻抗這一基本線路進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)綜合.上述綜合成立的條件是網(wǎng)絡(luò)兩端都需要端接，若任意一端開路或短路， 的定義將會(huì)失效，故需要使用插入電壓比來進(jìn)行定義和計(jì)算。

一端接載-轉(zhuǎn)移函數(shù)法

前述插入損耗法僅僅適用于兩端接載，當(dāng)濾波器網(wǎng)絡(luò)一端短路或開路，我們必須改變傳遞函數(shù)的定義，由插入損耗法可知 , 所以理所當(dāng)然的使用電壓轉(zhuǎn)移函數(shù) 進(jìn)行定義：

這樣定義后由于源端全反射，不能用反射理論來進(jìn)行分析，只能回歸本源使用前述的4端口網(wǎng)絡(luò)相關(guān)理論來進(jìn)行分析，用 和 得到: 若將 和 對(duì) 進(jìn)行歸一化，即可得到和轉(zhuǎn)移函數(shù) 一樣的表達(dá)式，這樣可以通過極點(diǎn)移除法來綜合了。

下圖顯示一個(gè)一端接阻的3階巴特沃斯低通濾波器的綜合過程：

圖中由一種傳輸函數(shù)可以得到4種不同的濾波器端接結(jié)構(gòu)，從中可以得到規(guī)律，從端接電阻看過去的阻抗或?qū)Ъ{不變。

上述由傳遞函數(shù)推導(dǎo)出Z或Y參數(shù)的一個(gè)技巧是將傳遞函數(shù)的分母分為偶部M和奇部的和，這樣是為了湊出 、 、 、 ，這是因?yàn)樘菪尉W(wǎng)絡(luò)的策動(dòng)點(diǎn)阻抗或?qū)Ъ{為方次差1的兩個(gè)多項(xiàng)式之比（由網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性推導(dǎo)而來）。

從之前的網(wǎng)絡(luò)綜合可以看出，當(dāng)傳遞函數(shù)一定，綜合出來的網(wǎng)絡(luò)可能有很多種。

鏡像法綜合

由于鏡像法綜合歷史非常悠久，最初濾波器被發(fā)明以來就使用了這一分析方法，我們需要清楚這一分析觀點(diǎn)--波的分析方法。很多最初的想法在現(xiàn)在微波領(lǐng)域任然在使用，鏡像法在行波放大器設(shè)計(jì)中也能用到 。這里只對(duì)鏡像法做一個(gè)概念入門，并給出一個(gè)簡單的設(shè)計(jì)實(shí)例。

定k濾波器

之前已經(jīng)介紹過鏡像法最早是由傳輸線線理論發(fā)展而來，其結(jié)構(gòu)是無限長周期結(jié)構(gòu)，為了簡化分析我們將無限長周期結(jié)構(gòu)拆分為一個(gè)T節(jié)或PI節(jié)，如下所示：

這種簡化的關(guān)鍵是T或PI節(jié)輸入和輸出阻抗都相等，并且在頻率為0處的阻抗都和傳輸線的特征阻抗相等,即 ，這也是定k的來源。另外由阻抗公式可以看到當(dāng)根號(hào)下為0時(shí)即可得到傳輸線的截止頻率 。

所以可以通過以上兩式求得濾波器的參數(shù)值： 定k濾波器是最簡單的濾波器，由于輸入輸出阻抗匹配，所以若需要增加濾波器階數(shù)可以簡單的將T型或PI型節(jié)級(jí)聯(lián)即可，這一點(diǎn)在射頻濾波器設(shè)計(jì)中非常常見。

定k濾波器的缺點(diǎn)也很明顯:

• 濾波器截止特性并不好
• 濾波器截止頻率點(diǎn)并不非常準(zhǔn)確
• 可以看到濾波器輸入輸出阻抗匹配特性并不是太好，若輸入或輸出接純電阻作為源或負(fù)載，只有一個(gè)點(diǎn)能夠匹配上。

為了克服上述缺點(diǎn)，佐貝爾(Zobel)發(fā)明了m推演型濾波器(m-derived filter)。

m推演型濾波器

m推演型濾波器設(shè)計(jì)基本思想和定k濾波器一樣，保證濾波器節(jié)網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出阻抗相等(便于濾波器級(jí)聯(lián))，并且找出阻抗基本恒定的網(wǎng)絡(luò)(便于和源和負(fù)載匹配)。其推導(dǎo)原理如下圖所示：

由定k濾波器T型節(jié)出發(fā)，將電感乘以一個(gè)參數(shù)m，這樣我們得到另外一個(gè)T型網(wǎng)絡(luò)，并令對(duì)地臂阻抗為 ，這樣我們令這個(gè)新的T型網(wǎng)絡(luò)和定k濾波器T型節(jié)阻抗相同，從而推導(dǎo)出 為一個(gè)電感和一個(gè)電容串聯(lián)而成，對(duì)地臂提供了一個(gè)傳輸零點(diǎn)，從而使得傳遞函數(shù)出現(xiàn)零點(diǎn)，從而可以在截止頻率處提供更為陡峭的衰減。

由m推演型的推導(dǎo)過程可知，m推演的T型結(jié)構(gòu)和定K的阻抗相等(和m無關(guān))，阻抗會(huì)隨著頻率頻率變化而劇烈變化，見圖中 表達(dá)式；但是m推演型的PI型結(jié)構(gòu)阻抗卻隨m的變化而變化，在m=0.6時(shí)，阻抗會(huì)呈現(xiàn)比較恒定的值（圖中右上圖所示），這就有利于和源和負(fù)載進(jìn)行匹配，所以一般設(shè)計(jì)中m=0.6的m推演型半PI節(jié)會(huì)作為輸入和輸出匹配節(jié)來使用。

中間節(jié)點(diǎn)就使用正常的T型節(jié)和定k濾波器節(jié)。

當(dāng)m=0時(shí)，m推演型濾波器就化為定K濾波器，即定k濾波器是m推演型濾波器的一種特殊情況。

由于m推演型濾波器的T型節(jié)阻抗和m值無關(guān)，所以在濾波器綜合過程中可以任意改變T型節(jié)位置和增加濾波器階數(shù)，整個(gè)濾波器匹配特性將保持不變。改變m的值可以移動(dòng)傳輸零點(diǎn)位置，所以可以有選擇性的抑制我們所需要抑制的頻點(diǎn)。

下圖給出了綜合一個(gè)截止頻率為 ，希望在0.17Hz以及無窮大處有最大抑制點(diǎn)，阻抗匹配到1Ω。

由阻抗和截止頻率可以計(jì)算出基本的L和C值，同定k濾波器設(shè)計(jì)： 傳輸零點(diǎn)位置和m的關(guān)系如下: 得到0.17Hz處傳輸零點(diǎn) ，進(jìn)而得到m推演型T型節(jié)的0.17Hz的傳輸零點(diǎn)。

詳細(xì)綜合過程如下：

小結(jié)

上述3種網(wǎng)絡(luò)綜合方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，并不存在一個(gè)萬能的綜合方法，后期小程序軟件設(shè)計(jì)中也會(huì)依據(jù)不同的端接類型來選擇不同的綜合工具實(shí)現(xiàn)。接下來工作是進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)仿真方面的工作，若感興趣的同學(xué)可以后臺(tái)留言交流。