濾波器設(shè)計(jì)的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic

引言

在學(xué)習(xí)濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，書(shū)本上往往直接甩出濾波器的傳遞函數(shù)公式，讓人摸不著頭腦，到底這些傳遞函數(shù)公式是如何得來(lái)的呢？一般文章中也絕口不提其原理是什么，難道這背后是否有什么玄機(jī)，是不是隱藏著什么神秘的東西！

帶著疑問(wèn)梳理了巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function, Cauer)濾波器，終于對(duì)濾波器綜合和設(shè)計(jì)內(nèi)容有了比較系統(tǒng)的理解。如果大家有興趣對(duì)這部分內(nèi)容感興趣可以閱讀《威廉·卡爾(Wilhelm Cauer)的生活和工作》這篇文章，其中卡爾的網(wǎng)絡(luò)綜合綱領(lǐng)列出了濾波器綜合的3個(gè)問(wèn)題，即

• 1, 可實(shí)現(xiàn)性(realizability)
• 2, 近似(approximation)
• 3, 實(shí)現(xiàn)與等價(jià)(realization and equivalence)

實(shí)際上這三個(gè)問(wèn)題中第一個(gè)可實(shí)現(xiàn)性問(wèn)題在當(dāng)時(shí)已經(jīng)被解決了，即 正實(shí)函數(shù)(Positive-real function, PR, PRF) 可以被無(wú)源電路實(shí)現(xiàn)，隨著時(shí)代發(fā)展，這部分內(nèi)容已經(jīng)被歸入到信號(hào)與系統(tǒng)中。

現(xiàn)在濾波器設(shè)計(jì)類(lèi)書(shū)籍中討論最多的是第三個(gè)問(wèn)題，即實(shí)現(xiàn)與等價(jià)，比如隨著計(jì)算機(jī)發(fā)展，我們還是沿著模擬濾波器的設(shè)計(jì)思路在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，并且在不同平臺(tái)中實(shí)現(xiàn)，如何讓資源最小，速度最快等等方向發(fā)展；另外往高頻方向發(fā)展就引出了微波射頻濾波器，如微帶濾波器，腔體濾波器等等。現(xiàn)在工程中濾波器設(shè)計(jì)也主要集中在這一方面；有源器件發(fā)展的進(jìn)步也豐富了濾波器設(shè)計(jì)。

現(xiàn)在關(guān)注最少的就是沒(méi)有被提及的第二個(gè)問(wèn)題，即近似(逼近，Approximation)，濾波器近似可以說(shuō)不是工程師的強(qiáng)項(xiàng)，因?yàn)檫@涉及到太多太復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，從濾波器名字可以看出，這里用到了多少數(shù)學(xué)知識(shí)：

可以看到一票的數(shù)學(xué)家，這方面發(fā)展現(xiàn)在主要集中在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，比如逼近論就是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。

本文并不會(huì)嚴(yán)格的對(duì)數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo)，只是從工程師角度去直觀理解濾波器設(shè)計(jì)所用的逼近方法，讓人不再對(duì)濾波器設(shè)計(jì)存在盲區(qū)和疑惑。

另外下述討論的濾波器設(shè)計(jì)逼近方法都是針對(duì)低通濾波器而言。

下圖是對(duì)濾波器綜合設(shè)計(jì)流程的梳理：

在濾波器逼近中最重要的是一步就是確定 約束條件 ，通俗一點(diǎn)講就是提指標(biāo)。下述濾波器逼近中單獨(dú)將約束條件作為一個(gè)小結(jié)來(lái)說(shuō)明。

特征函數(shù)(The Characteristic Function)

在電路中，歷史上濾波器傳遞函數(shù)定義是:

由電壓轉(zhuǎn)到功率:

再由功率反射，得到反射系數(shù)，即反射到信號(hào)源的功率和輸入總功率的比值:

聯(lián)立(1),(2)得到：

令，得到

這里的就是 特征函數(shù) 。

特征函數(shù)有個(gè)好處是它只關(guān)注濾波器形狀本身，并不關(guān)心濾波器的這個(gè)低頻分量1，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算，以下我們對(duì)濾波器函數(shù)的逼近最終都逼近到特征函數(shù)為止。

濾波器的衰減用如下公式計(jì)算，單位為dB:

現(xiàn)在濾波器設(shè)計(jì)中我們往往使用如下傳遞函數(shù)表示幅頻響應(yīng)：

注意它的dB形式和衰減的dB形式函數(shù)圖像沿著橫坐標(biāo)鏡像對(duì)稱(chēng)。

巴特沃斯濾波器逼近

巴特沃斯濾波器是具有最平坦頻響特性的濾波器，如何理解這句話？在低通濾波器中，最平坦是指0頻率處有最平坦特性，假設(shè)特征多項(xiàng)式為，其中為截止頻率處的最大衰減量。

約束

由前面可知要實(shí)現(xiàn)一個(gè)可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個(gè)正實(shí)函數(shù)來(lái)逼近所需要的特性，要滿(mǎn)足0頻率處由最平坦特性，那么要求其：

• 1, 是一個(gè)階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，在頻率為0的位置無(wú)衰減)
• 3, (低通定義，截止頻率在1)
• 4, 在0頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)

函數(shù)逼近

由以上約束條件1，我們定義多項(xiàng)式為：

由約束條件2，得到：

由約束條件4，我們求其1階導(dǎo)數(shù)：

并且讓等于0，得到:

同理我們讓其2階導(dǎo)數(shù)為0，得到:

一直到第階導(dǎo)數(shù)為0，得到:

這時(shí)不能再求導(dǎo)，因?yàn)樵偾髮?dǎo)就會(huì)使得，那么就不是一個(gè)階多項(xiàng)式了。 到這里特征多項(xiàng)式變?yōu)?

由約束條件3，得到：

最終得到巴特沃斯濾波器特征函數(shù)：

將巴特沃斯濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)重寫(xiě)如下：

擴(kuò)展

若我們想要得到處具有最平坦響應(yīng)的低通濾波器，那么特征函數(shù)應(yīng)該是什么樣呢？

照例還是寫(xiě)下約束條件：

• 1, 是一個(gè)階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，在頻率為0的位置無(wú)衰減)
• 3, (低通定義，截止頻率在1)
• 4, 在1/2頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)

m階導(dǎo)數(shù)等于0，且，且，得到個(gè)方程的方程組:

設(shè)，則有

解得：，最終得多項(xiàng)式為：

設(shè)，則有

解得：

最終得多項(xiàng)式為：

繪制5階和7階頻響曲線如下：

從頻響曲線可以看出，在處有最大平坦特性，在這里我們綜合出了一種特殊的濾波器！

比較這種B0p5(暫且叫做這個(gè)B0p5)濾波器和傳統(tǒng)的巴特沃斯濾波器特性，有圖有真相(圖中比較位置將巴特沃斯濾波器頻響往下移動(dòng)并和B0p5重合，方便比較)：

結(jié)果顯示對(duì)于高階，B0p5和普通巴特沃斯在高頻抑制方面基本沒(méi)有太大區(qū)別，區(qū)別在于快接近截止頻率處B0p5要更為平坦，但是其代價(jià)就是犧牲了插損，差不多有1dB!有得必有失。

切比雪夫?yàn)V波器逼近

實(shí)際應(yīng)用巴特沃斯濾波器的過(guò)程中，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，即巴特沃斯濾波器在截止頻率附近的衰減都比較大，比如要濾除一個(gè)點(diǎn)頻測(cè)試源的3次諧波，那么截止頻率設(shè)計(jì)值要比實(shí)際有用信號(hào)頻率值要高很多才不至于將我們關(guān)心的基波頻率衰減很多。這也從側(cè)面反應(yīng)了巴特沃斯濾波器的一個(gè)缺點(diǎn)是為了保證0頻率附近的平坦性，犧牲了其他頻率的插損。尤其頻率越高插損越大。

所以為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們改變了濾波器綜合思路，不再去強(qiáng)調(diào)某一個(gè)點(diǎn)的特性，我們關(guān)注一個(gè)頻段的特性，這也就是我們將要介紹的切比雪夫?yàn)V波器綜合所要討論的內(nèi)容。

切比雪夫?yàn)V波器特性是通帶范圍內(nèi)具有等紋波特性。假設(shè)特征多項(xiàng)式為，其中為通帶紋波。

約束

由前面可知要實(shí)現(xiàn)一個(gè)可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個(gè)正實(shí)函數(shù)來(lái)逼近所需要的特性，要滿(mǎn)足在通帶內(nèi)具有等紋波特性，那么要求其：

• 1, 是一個(gè)階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，截止頻率在1)
• 3, 在通帶內(nèi)擺動(dòng)幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
• 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實(shí)現(xiàn)性，方便實(shí)現(xiàn))

函數(shù)逼近

這里為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只對(duì)進(jìn)行討論，其他階數(shù)的任意階濾波器都可以用類(lèi)似的方法去推導(dǎo)。 首先我們由約束2，3和4繪出階濾波器的的大致函數(shù)圖像(階函數(shù)具有個(gè)過(guò)0點(diǎn))：

由約束1，令特征多項(xiàng)式為一個(gè)5次多項(xiàng)式：

若對(duì)這個(gè)方程求導(dǎo)，則得到一個(gè)4次方程，這個(gè)方程有4個(gè)根，由上述曲線極值點(diǎn)位置，可以得到這4個(gè)根，則列出第一個(gè)方程：

為了再和這些根扯上關(guān)系，繪出的函數(shù)圖像

那么依據(jù)過(guò)0點(diǎn)位置，我們又可以得到一組方程：

這里要注意，由于曲線在拐彎的位置是有兩個(gè)重根的，上式驗(yàn)算下方程的方次也可以推算出來(lái)。 同理，我們繪出的函數(shù)圖像

那么依據(jù)過(guò)0點(diǎn)位置，我們還可以得到一組方程：

將(8)和(9)左右相乘得到：

將(7)和(10)聯(lián)立得到：

式(11)變形如下:

上式微分方程可以通過(guò)兩邊積分，得到：

于是得到時(shí)眾所周知的切比雪夫函數(shù)：

對(duì)于其他階數(shù)的切比雪夫?yàn)V波器，可以用同樣的辦法，最終得到階切比雪夫函數(shù)為：

另外，對(duì)于這個(gè)公式比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)見(jiàn)譯文《切比雪夫逼近方法》。

擴(kuò)展

假設(shè)我們不關(guān)心低通濾波器的低頻第一個(gè)紋波，而是讓低頻到之間在之間等紋波，低頻之間有最大值，那么應(yīng)該如何進(jìn)行函數(shù)逼近呢？ 照例列出約束條件：

• 1, 是一個(gè)階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性)
• 2, (低通定義，截止頻率在1)
• 3, 在通帶內(nèi)擺動(dòng)幅度在內(nèi)(規(guī)定的通帶內(nèi)等紋波特性)
• 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實(shí)現(xiàn)性，方便實(shí)現(xiàn))

PS. 這里暫時(shí)討論偶數(shù)階情況，具體的；奇數(shù)階情況非常復(fù)雜，留著以后討論。

則特征多項(xiàng)式為：

同樣的對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得到：

然后計(jì)算，得到：

然后計(jì)算，得到：

同樣將上式左右兩邊相乘：

將微分方程代入上式：

整理得到：

其中

所以最終結(jié)果為：

不同下繪圖：

!

實(shí)際上這種濾波器名叫Achieser–Zolotarev濾波器或Zolotarev濾波器，在數(shù)字濾波器和微波濾波器中有應(yīng)用。

橢圓函數(shù)濾波器逼近

由[模擬無(wú)源濾波器設(shè)計(jì)(六)-Chebyshev濾波器設(shè)計(jì)詳解]可知逆切比雪夫?yàn)V波器"具有最平坦的通帶頻率響應(yīng)，阻帶具有等紋波特性"，而同樣具有最平坦通帶響應(yīng)的巴特沃斯濾波器，同樣的階數(shù)，那么為什么逆切比雪夫?yàn)V波器過(guò)渡帶如此陡峭呢，究其原因就是因?yàn)槟媲斜妊┓驗(yàn)V波器的零點(diǎn)不在無(wú)窮遠(yuǎn)，它以犧牲無(wú)窮遠(yuǎn)處的衰減為代價(jià)換來(lái)了陡峭的過(guò)渡帶。

那么沿著同樣的思路，對(duì)于切比雪夫?yàn)V波器具有的無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)，我們是否也可以將其移動(dòng)到有限位置，從而讓過(guò)渡帶更加陡峭呢，答案是肯定的，這就是這一節(jié)所介紹的橢圓函數(shù)濾波器。

橢圓函數(shù)濾波器是通帶和阻帶都具有等紋波特性的濾波器。假設(shè)特征多項(xiàng)式為，其中為通帶紋波。

約束

由前面可知要實(shí)現(xiàn)一個(gè)可以綜合的網(wǎng)絡(luò)，首先我們要找到一個(gè)正實(shí)函數(shù)來(lái)逼近所需要的特性，要滿(mǎn)足在通帶和阻帶內(nèi)都具有等紋波特性，那么要求其：

• 1, 是階的兩個(gè)有理數(shù)多項(xiàng)式之比(可實(shí)現(xiàn)性)
• 2, (自逆性，方便實(shí)現(xiàn))
• 3, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實(shí)現(xiàn)性)
• 4, 的所有個(gè)零點(diǎn)都在頻帶內(nèi)，所有個(gè)極點(diǎn)都在帶外(等紋波特性)
• 5, 在通帶范圍擺動(dòng)幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
• 6, (低通定義，截止頻率在1)
• 7, 在阻帶范圍擺動(dòng)幅度在內(nèi)，其中和都在范圍內(nèi)(阻帶內(nèi)等紋波特性)

函數(shù)逼近

對(duì)于為偶數(shù)，由約束1, 2, 3, 4可得，有如下形式的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)：

這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是零極點(diǎn)相互關(guān)系固定，當(dāng)確定了零點(diǎn)位置那么極點(diǎn)位置也就確定了，并且通帶和阻帶零極點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)。

為簡(jiǎn)便直觀起見(jiàn)，這里對(duì)進(jìn)行函數(shù)逼近。

繪出得草圖，得到：

和之前切比雪夫逼近類(lèi)似，首先建立微分關(guān)系，從圖中可以觀察到對(duì)于階的函數(shù)，其通帶內(nèi)極值點(diǎn)在值為1處有個(gè)(圖中的和)，在通帶內(nèi)值為-1處的極值點(diǎn)有個(gè)(圖中的, 和)；在阻帶值為處有個(gè)(圖中的和)，在阻帶值為處有個(gè)(圖中的, 和)，在阻帶的極值點(diǎn)可以通過(guò)約束4來(lái)推導(dǎo)，個(gè)數(shù)同通帶內(nèi)極值點(diǎn)。圖中所有極值點(diǎn)都用紅色字符標(biāo)注，注意無(wú)窮只算一個(gè)極值點(diǎn)。對(duì)于階函數(shù)，總的極值點(diǎn)有個(gè)。函數(shù)求導(dǎo)并平方后的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為。

所有極值點(diǎn)都位于函數(shù)值等于和處，另外再除掉頻率為和的4個(gè)點(diǎn)(圖中的和)。

所以最終函數(shù)求導(dǎo)后再平方結(jié)果如下：

上式為常數(shù)，化簡(jiǎn)得到：

整理得到：

令，再次整理得到最終標(biāo)準(zhǔn)微分方程：

對(duì)上式兩邊積分，得到第一類(lèi)橢圓積分標(biāo)準(zhǔn)形式，具體求解過(guò)程見(jiàn)《濾波器設(shè)計(jì)中的橢圓函數(shù)講解》，最終得到濾波器特征方程為：

是雅克比橢圓函數(shù)，類(lèi)比于三角余弦函數(shù)，可以看到其方程形式和切比雪夫?yàn)V波器特征方程(15)一樣。

濾波器頻率響應(yīng):

式中, , 繪圖得到：

對(duì)于其他階橢圓函數(shù)濾波器，令并且，其特征函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)微分方程為：

上式是一個(gè)中間變量，便于分析和后續(xù)處理，最終特征函數(shù)為：

總結(jié)

本章節(jié)對(duì)巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function/Cauer)濾波器綜合中的逼近方法進(jìn)行了講解，并且做了一些拋磚引玉式的擴(kuò)展，總體來(lái)說(shuō)函數(shù)逼近論比較復(fù)雜，比如對(duì)切比雪夫?yàn)V波器得擴(kuò)展就在奇數(shù)階設(shè)計(jì)綜合中遇到了困難，這里涉及到比較多的雅可比橢圓函數(shù)的知識(shí)。后續(xù)的其他濾波器綜合類(lèi)文章，都是按照濾波器綜合流程來(lái)行文，這樣更加系統(tǒng)和連貫。